關(guān)于三角形四心的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心。證明外心定理證明:設(shè)AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．OO第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。到的三頂點距離相等。故是解析：由向量模的定義知的外心

，選B。O是的外心若為內(nèi)一點，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心B第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1．如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條高，求證：AD、BE、CF相交于一點。ABCDEFH又∵點D在AH的延長線上，∴AD、BE、CF相交于一點．證：設(shè)BE、CF交于一點H，垂心第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.O是的垂心是△ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心.第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例3．

O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，

動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的

_______∵∴∴在△ABC的邊BC的高AD上.P的軌跡一定通過△ABC的垂心.所以，時，解:第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解:例4.點O是ΔABC所在平面上一點，若，則點O是ΔABC的（）（A）三個內(nèi)角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高線的交點則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.D垂心5.P是△ABC所在平面上一點，若 則P是△ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心D第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心。證明重心定理

E

F

D

G第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天3.O是的重心為的重心.是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心.2.在中，給出等于已知AD是中BC邊的中線;第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心證明:∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（證略））思考：若O為△ABC外心，G是△ABC的重心，則O為△ABC的內(nèi)心、垂心呢？第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2．證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．

A

B

C

E

F

D

G證：設(shè)∵A,G,D共線，B,G,E共線．∴可設(shè)即：AG=2GD

同理可得：AG=2GD,CG=2GF

．重心第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2．證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．另證:

A

B

C

E

F

D

G重心想想看？第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天四、內(nèi)心ABCABCABCABCABC三角形三內(nèi)角平分線交于一點，這一點為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。證明內(nèi)心定理證明:設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I,過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點．II

E

F

D第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是三角形ABC內(nèi)心的充要條件是ACBOabc第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2.O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，

動點P滿足

則P的軌跡一定通過△ABC的（

）

A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心B內(nèi)心是∠BAC的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心；

第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

3.（2006陜西）已知非零向量與滿足

則△ABC為（）

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形解法一：根據(jù)四個選擇項的特點，本題可采用驗證法來處理.不妨先驗證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時排除其他三個選擇項，故答案必選D.D第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解法二：由于所在直線穿過△ABC的內(nèi)心，則由(等腰三角形的三線合一定理)；又，所以,即△ABC為等邊三角形，故答案選D.注:

等邊三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、內(nèi)心、中心”五心合一！第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

法一抓住了該題選擇項的特點而采用了驗證法,是處理本題的巧妙方法；法二要求學(xué)生能領(lǐng)會一些向量表達式與三角形某個“心”的關(guān)系，如

所在直線一定通過△ABC的內(nèi)心;

所在直線過BC邊的中點，從而一定通過△ABC的重心；

所在直線一定通過△ABC的垂心等.第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天【總結(jié)】(1).是用數(shù)量積給出的三角形面積公式;(2).則是用向量坐標(biāo)給出的三角形面積公式.4.在△ABC中:

(1)若CA＝a，CB＝b，求證△ABC的面積

(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求證：△ABC的面積

解:第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天ABCP第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天思考:

如圖，設(shè)點O在內(nèi)部，且有則

的面積與的面積的比為___________．

3作AC、BC邊上的中點E、D，解1:DE