2021年山東省煙臺市中考數學試卷一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標號為A,B,C,D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的1．（3分）若x的相反數是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±32．（3分）下列數學符號中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2÷a3＝a4．（3分）一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）2021年5月15日，天問一號探測器成功著陸火星，邁出了我國星際探測征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬公里，5500萬用科學記數法表示為（）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×1036．（3分）一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個三角板的直角頂點都在另一個三角板的斜邊上，圖中∠α的度數為（）A．45° B．60° C．75° D．85°7．（3分）如圖，在直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點D的坐標為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）8．（3分）如圖所示，若用我們數學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：按鍵的結果為m；按鍵的結果為n；按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k9．（3分）已知關于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數軸上的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定10．（3分）連接正六邊形不相鄰的兩個頂點，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區域的概率為（）A． B． C． D．11．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．下列結論：①ac＞0；②當x＞0時，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（3分）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為．14．（3分）《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為米．15．（3分）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為．16．（3分）數學興趣小組利用無人機測量學校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為米．（結果精確到1米，參考數據：≈1.41，≈1.73）17．（3分）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則sin∠ACB的值是．18．（3分）綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為cm．三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分19．（6分）先化簡，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數值代入求值．20．（8分）2021年是中國共產黨成立100周年．為普及黨史知識，培養愛國主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識競賽，每個班級各選派15名學員參加了網上測試，現對甲、乙兩班學員的分數進行整理分析如下：甲班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分數段整理兩班測試成績班級70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖；（3）兩班測試成績的平均數、眾數、中位數、方差如表所示：班級平均數眾數中位數方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝，y＝．（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是班；（5）本次測試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現從以上三人中隨機抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識競賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率．21．（8分）如圖，正比例函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，OB＝4，點C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長；（2）點P為B點上方y軸上一點，當△POC與△PAC的面積相等時，請求出點P的坐標．22．（9分）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請按如下要求完成尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點O；③以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓，交邊AB于點M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．24．（11分）有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點E，F分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點，連接AM交DE于點N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數量關系是，位置關系是；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°，點G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關系是否仍然成立？并說明理由．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點C，且OC＝2OA，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．直線y＝mx+n經過B，C兩點．（1）求拋物線及直線BC的函數表達式；（2）點F是拋物線對稱軸上一點，當FA+FC的值最小時，求出點F的坐標及FA+FC的最小值；（3）連接AC，若點P是拋物線上對稱軸右側一點，點Q是直線BC上一點，試探究是否存在以點E為直角頂點的Rt△PEQ，且滿足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

2021年山東省煙臺市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標號為A,B,C,D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的1．（3分）若x的相反數是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3【分析】只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．【解答】解：﹣3的相反數是3，∴x＝﹣3．故選：A．【點評】本題主要考查的是相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．2．（3分）下列數學符號中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義進行判斷，即可求出答案．【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后和原圖形重合．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2÷a3＝a【分析】根據同底數冪的乘法，合并同類項，冪的乘方，同底數冪的除法法則進行計算，然后作出判斷．【解答】解：A．a2?a3＝a5，故此選項不符合題意；B．a2與a3不是同類項，不能進行合并計算，故此選項不符合題意；C．（a2）3＝a6，正確，故此選項符合題意；D．a2÷a3＝，故此選項不符合題意，故選：C．【點評】本題考查同底數冪的乘法，合并同類項，冪的乘方，同底數冪的除法，掌握運算法則是解題基礎．4．（3分）一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可．【解答】解：從左邊看，是一個正方形，正方形的中間有一條橫向的虛線．故選：C．【點評】本題主要考查了幾何體的三種視圖和學生的空間想象能力，正確掌握觀察角度是解題關鍵．5．（3分）2021年5月15日，天問一號探測器成功著陸火星，邁出了我國星際探測征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬公里，5500萬用科學記數法表示為（）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【解答】解：5500萬＝55000000＝5.5×107．故選：B．【點評】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．6．（3分）一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個三角板的直角頂點都在另一個三角板的斜邊上，圖中∠α的度數為（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】根據EF∥BC得出∠FDC＝∠F＝30°，進而得出∠α＝∠FDC+∠C即可．【解答】解：如圖，∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠F＝30°，∴∠α＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，故選：C．【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據EF∥BC得出∠FDC的度數和三角形外角性質分析．7．（3分）如圖，在直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點D的坐標為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）【分析】根據直角三角形的性質得出OB，OA的長，進而利用菱形的性質得出點的坐標即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故選：D．【點評】此題考查菱形的性質，關鍵是根據菱形的性質得出∠ABC＝60°解答．8．（3分）如圖所示，若用我們數學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：按鍵的結果為m；按鍵的結果為n；按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【分析】分別計算出m，n，k的值即可得出答案．【解答】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；n＝﹣22＝4﹣4＝0；k＝﹣cos60°＝﹣＝4；∴m＝k，故選：C．【點評】本題考查了計算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．9．（3分）已知關于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數軸上的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定【分析】先由數軸得出m，n與0的關系，再計算判別式的值即可判斷．【解答】解：由數軸得m＞0，n＜0，m+n＜0，∴mn＜0，∴△＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．10．（3分）連接正六邊形不相鄰的兩個頂點，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區域的概率為（）A． B． C． D．【分析】如圖，將陰影部分分割成圖形中小三角形的大小，令小三角形的面積為a，分別表示出陰影部分的面積和正六邊形的面積，根據概率公式求解即可．【解答】解：如圖所示，令S△ABC＝a，則S陰影＝6a，S正六邊形＝18a，∴將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區域的概率為＝，故選：B．【點評】本題主要考查幾何概率，求概率時，已知和未知與幾何有關的就是幾何概率．計算方法是長度比，面積比，體積比等．11．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．下列結論：①ac＞0；②當x＞0時，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】把點A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c，可得二次函數的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由圖象可知，函數圖象開口向下，所以a＜0，可得b和c的符號，及a和c的數量關系；由函數解析式可得拋物線對稱軸為直線：x＝﹣＝1，根據函數的增減性和最值，可判斷②和④的正確性．【解答】解：把點A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c，可得二次函數的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵該函數圖象開口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①錯誤，③正確；∵對稱軸為直線：x＝﹣＝1，∴x＜1時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而減小；②錯誤；∴當x＝1時，函數取得最大值，即對于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正確．綜上，正確的個數有2個，故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．12．（3分）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長為（）A． B． C． D．【分析】由∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的長．【解答】解：由圖可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∴∠A＝∠OBA＝∠BCD＝…＝∠OLM＝60°，∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，同理可得，OC＝OB＝（）2OA，OD＝OC＝（）3OA，…OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．故選：A．【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形的三邊關系，屬于基礎題，掌握含30°角的直角三角形的三邊關系是解題基礎．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為x≤2．【分析】二次根式的被開方數是非負數．【解答】解：依題意，得2﹣x≥0，解得，x≤2．故答案是：x≤2．【點評】考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．14．（3分）《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為3米．【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，根據題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關鍵．15．（3分）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為2．【分析】利用幻方中每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，可求出幻方右下角及第二行中間的數字，再利用幻方中對角線上的數字之和為15，即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：幻方右下角的數字為15﹣8﹣3＝4，幻方第二行中間的數字為15﹣6﹣4＝5．依題意得：8+5+a＝15，解得：a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及數字常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．16．（3分）數學興趣小組利用無人機測量學校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為14米．（結果精確到1米，參考數據：≈1.41，≈1.73）【分析】過O點作OC⊥AB于C點，利用直角三角形的解法得出OC，進而解答即可．【解答】解：過O點作OC⊥AB于C點，∵當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，∴AC＝45米，∠CAO＝30°，∴OC＝AC?tan30°＝（米），∴旗桿的高度＝40﹣15≈14（米），故答案為：14．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角、俯角的問題，以及解直角三角形方法，解題的關鍵是從實際問題中構造出直角三角形，難度不大．17．（3分）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則sin∠ACB的值是．【分析】連接AO并延長交⊙O于D，根據圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根據勾股定理求出AD，根據正弦的定義計算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AO并延長交⊙O于D，由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、圓周角定理、解直角三角形，正確作出輔助線、根據圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB是解題的關鍵．18．（3分）綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為22cm．【分析】延長AT交BC于點P，利用三角形的面積公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得結論．【解答】解：延長AT交BC于點P，∵AP⊥BC，∴?BC?AP＝24，∴×8×AP＝24，∴AP＝6（cm），由題意，AT＝PT＝3（cm），∴BE＝CD＝PT＝3（cm），∵DE＝BC＝8cm，∴矩形BCDE的周長為8+8+3+3＝22（cm）．故答案為：22．【點評】本題考查圖形的拼剪，矩形的性質，解題的關鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分19．（6分）先化簡，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數值代入求值．【分析】根據分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后從﹣2＜x≤2中選出一個使得原分式有意義的整數代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：＝[]?＝?＝＝，∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，∴x的整數值為﹣1，0，1，2且x≠±1，2，∴x＝0，當x＝0時，原式＝＝﹣1．【點評】本題考查分式的化簡求值、一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．20．（8分）2021年是中國共產黨成立100周年．為普及黨史知識，培養愛國主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識競賽，每個班級各選派15名學員參加了網上測試，現對甲、乙兩班學員的分數進行整理分析如下：甲班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分數段整理兩班測試成績班級70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝4；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖；（3）兩班測試成績的平均數、眾數、中位數、方差如表所示：班級平均數眾數中位數方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝87，y＝88．（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是乙班；（5）本次測試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現從以上三人中隨機抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識競賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率．【分析】（1）由甲班15名學員的測試成績即可求解；（2）由（1）的結果，補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖即可；（3）由眾數、中位數的定義求解即可；（4）從平均數、中位數、方差幾個方面說明即可；（5）畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由題意得：a＝4，故答案為：4；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖如下：（3）甲班15名學員測試成績中，87分出現的次數最多，∴x＝87，由題意得：乙班15名學員測試成績的中位數為88，故答案為：87，88；（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是乙班，理由如下：①甲、乙兩個班的平均數相等，但乙班的中位數大于甲班的中位數；②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成績更穩定；故答案為：乙；（5）把甲班2人記為A、B，乙班1人記為C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結果有4種，∴恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率為＝．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法、頻數分布直方圖、統計表、眾數、中位數等知識．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．21．（8分）如圖，正比例函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，OB＝4，點C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長；（2）點P為B點上方y軸上一點，當△POC與△PAC的面積相等時，請求出點P的坐標．【分析】（1）根據正比例函數的解析式求出A點坐標，由A在反比例函數上，可求出k，再根據AC＝OC求出點C的坐標，即可得線段BC的長；（2）設點P（0，p），根據△POC與△PAC的面積相等，得出關于p的方程，解方程即可得點P的坐標．【解答】解：（1）∵點A在正比例函數y＝x上，AB⊥y軸，OB＝4，∵點B的坐標為（0，4），∴點A的縱坐標是4，代入y＝x，得x＝8，∴A（8，4），∵點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝4×8＝32，∵點C在線段AB上，且AC＝OC．設點C（c，4），∵OC＝＝，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，∴＝8﹣c，解得：c＝3，∴點C（3，4），∴BC＝3，∴k＝32，BC＝3；（2）如圖，設點P（0，p），∵點P為B點上方y軸上一點，∴OP＝p，BP＝p﹣4，∵A（8，4），C（3，4），∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，∵△POC與△PAC的面積相等，∴×3p＝×5（p﹣4），解得：p＝10，∴P（0，10）．【點評】本題考查一次函數與反比例函數的圖象及解析式，根據兩點間的距離建立方程式求解點的坐標是解題的關鍵．22．（9分）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【分析】（1）根據日利潤＝每件利潤×日銷售量，可求出售價為60元時的原利潤，設售價應定為x元，則每件的利潤為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，根據日利潤＝每件利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）設該商品需要打a折銷售，根據銷售價格不超過50元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）設售價應定為x元，則每件的利潤為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，依題意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售價應定為50元；（2）該商品需要打a折銷售，由題意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：該商品至少需打8折銷售．【點評】本題考查了一元二次方程的應用和由實際問題抽象出一元一次不等式，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請按如下要求完成尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點O；③以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓，交邊AB于點M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．【分析】（1）①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個交點為圓心，以大于兩點之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內部一點，將點A與它連接并延長，與BC交于點D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點A、點D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點O；（2）根據線段垂直平分線及角平分線的性質推出角之間的關系，再根據平行線的判定得出OD∥AC，從而得出OD⊥BC即可；（3）根據題意得到線段之間的關系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根據相似三角形的性質求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個交點為圓心，以大于兩點之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內部一點，將點A與它連接并延長，與BC交于點D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點A、點D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點O；③如圖，⊙O與AB交于點M；（2）證明：∵EF是AD的垂直平分線，且點O在AD上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切線．（3）根據題意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD與Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半徑為6．【點評】本題考查圓的綜合運用，將圓的相關性質與角平分線及垂直平分線的性質結合一起，要充分的數形結合，找到圖中相等的角、線段或者相似三角形，從而進行求解．24．（11分）有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點E，F分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點，連接AM交DE于點N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數量關系是DE＝2AM，位置關系是DE⊥AM；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°，點G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關系是否仍然成立？并說明理由．【分析】（1）由正方形的性質得出AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，證明△DAE≌△BAF（SAS），由全等三角形的性質得出DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，由直角三角形的性質可得出結論；（2）延長AM至點H，使得AM＝MH，連接FH，證明△AMB≌△HMF（SAS），由全等三角形的性質得出AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，證明△EAD≌△AFH（SAS），由全等三角形的性質得出DE＝AH，則可得出答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中點，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案為DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，證明如下：延長AM至點H，使得AM＝MH，連接FH，∵M是BF的中點，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝