第1頁/共1頁2022北京初二（下）期末數學匯編平行四邊形一、單選題1．（2022·北京延慶·八年級期末）矩形、菱形、正方形都具有的性質是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分C．對角線互相垂直 D．對角線平分對角2．（2022·北京石景山·八年級期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，若DE=4，則BC等于（

）A．2 B．4 C．8 D．103．（2022·北京門頭溝·八年級期末）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，只需添加一個條件，即可證明菱形是正方形，這個條件可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京平谷·八年級期末）菱形具有而平行四邊形不具有的性質是（

）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．四個角都相等5．（2022·北京西城·八年級期末）點P從某四邊形的一個頂點A出發，沿著該四邊形的邊逆時針勻速運動一周．設點P運動的時間為x，點P與該四邊形對角線交點的距離為y，表示y與x的函數關系的大致圖像如圖所示，則該四邊形可能是（

）A． B．C． D．6．（2022·北京東城·八年級期末）如圖，在中，AD＝AC，∠ACD＝70°，則∠B的度數是（

）A．40° B．60° C．70° D．80°7．（2022·北京順義·八年級期末）學習了四邊形之后，王老師用如下圖所示的方式表示了四邊形與特殊的四邊形的關系，則圖中的“M”和“N”分別表示（

）A．M表示菱形，N表示正方形 B．M表示正方形，N表示菱形C．M表示正方形，N表示梯形 D．M表示菱形，N表示梯形二、填空題8．（2022·北京平谷·八年級期末）如圖，在矩形中，，M為的中點，沿過點M的直線翻折，使點C落在邊上，記折痕為，則折痕的長為_________．9．（2022·北京延慶·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于點E，則的長為___________．10．（2022·北京門頭溝·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，且，動點從點出發，以每秒個單位的速度沿線段向點運動，同時動點從點出發，以同樣每秒個單位的速度沿折線向點運動，當，有一點到達終點時，點，同時停止運動．設點，運動時間為秒，在運動過程中，如果，那么______秒．11．（2022·北京延慶·八年級期末）如圖，A，B兩點被池塘隔開，在直線外選一點C，連接和分別取，的中點D，E，測得D，E兩點間的距離為10m，則A，B兩點間的距離為________．12．（2022·北京平谷·八年級期末）如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F，G在邊BC上，且DFEG．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是___．(寫出一個即可)13．（2022·北京門頭溝·八年級期末）在?中，對角線，相交于點，點為的中點，如果?周長為，，那么______．14．（2022·北京石景山·八年級期末）如圖，正方形的邊長為1，以對角線為邊作第二個正方形，再以對角線為邊作第三個正方形，…，則第二個正方形的面積為_____________，第n個正方形的面積為_____________（用含n的代數式表示）．15．（2022·北京房山·八年級期末）已知：直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，當點P在直線上運動時，平面內存在點Q，使得以點O、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形，請你寫出所有滿足條件的點Q的坐標______．16．（2022·北京東城·八年級期末）如圖，兩段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為2km，則M，C兩點間的距離為______km．17．（2022·北京西城·八年級期末）在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的四個頂點都在坐標軸上．若，，則菱形ABCD的面積是______．18．（2022·北京朝陽·八年級期末）如圖，在中，AE⊥BC于點E，點F在BC邊的延長線上，只需再添加一個條件即可證明四邊形AEFD是矩形，這個條件可以是______（寫出一個即可）．三、解答題19．（2022·北京市燕山教研中心八年級期末）下面是小蕓設計的“作平行四邊形ABCD的邊AB的中點”的尺規作圖過程．已知：?ABCD．求作：點P，使點P為邊AB的中點．作法：①作射線DA；②以點A為圓心，BC長為半徑畫弧，在點A左側與射線DA交于點E；③連接CE交AB于點P．點P即為所求作的邊AB的中點．根據小蕓設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接AC，EB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BC．∵AE＝，∴四邊形EBCA是平行四邊形，（）（填推理的依據）∴AP＝PB，（）（填推理的依據）點P即為所求作的邊AB的中點．20．（2022·北京延慶·八年級期末）如圖，四邊形是正方形，點E是邊上的點，連接，，過點D作，垂足為F，延長到點G，使，連接，，延長交的延長線于點H．(1)依題意補全圖形；(2)用含α的式子表示；(3)直接寫出的度數；(4)用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．21．（2022·北京門頭溝·八年級期末）下面是小李設計的“利用直角和線段作矩形”的尺規作圖過程．已知：如圖，線段，，及．求作：矩形，使，．作法：如圖，①在射線，上分別截取，；②以為圓心，長為半徑作弧，再以為圓心，長為半徑作弧，兩弧在內部交于點；③連接，．四邊形就是所求作的矩形．根據小李設計的尺規作圖過程，解答下列問題：(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：，______，四邊形是平行四邊形（_____）（填推理的依據）．，四邊形是矩形（______）（填推理的依據）．22．（2022·北京延慶·八年級期末）如圖，在矩形中，，相交于點O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．23．（2022·北京延慶·八年級期末）在平面直角坐標系中，對于直線l：（）與圖形M給出如下定義：若直線l與圖形M有兩個交點P，Q，則線段的長度稱為直線l關于圖形M的“截距”．如圖，矩形的其中三個頂點的坐標為，，．(1)點C的坐標是．(2)直線關于矩形的“截距”是；直線關于矩形的“截距”是，求m的值．(3)如果直線（）經過點，且關于矩形的“截距”的最小值是，求k的取值范圍．24．（2022·北京延慶·八年級期末）閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：已知：如圖，在中，．求作：矩形．小明的思考過程是：（1）由于求作矩形，回顧了矩形的定義和判定：矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；矩形判定1：對角線相等的平行四邊形是矩形；矩形判定2：有三個角是直角的四邊形是矩形．（2）條件給出了，可以選矩形的定義或者矩形判定2；經過思考，小明選擇了“矩形定義”．（3）小明決定通過作線段AC的垂直平分線，作出線段的中點O，再倍長線段，從而確定點D的位置．小明的作法如下：作法：（1）分別以點A，C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點E，F；（2）作直線，直線交于點O；（3）作射線，在上截取，使得；（4）連接，．∴四邊形就是所求作的矩形．請你根據小明同學設計的尺規作圖過程：(1)使用直尺和圓規，依作法在圖1中補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明：證明：∵直線是的垂直平分線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形（①）（填推理的依據）．∵，∴四邊形是矩形（②）（填推理的依據）．(3)參考小明的作圖思路，另外設計一種作法，利用直尺和圓規在圖2中完成．（溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明）25．（2022·北京平谷·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，取BD中點O，過點O作直線EF，分別交AD，BC于點E，F，求證：AE＝CF．26．（2022·北京平谷·八年級期末）下面是小明設計的作正方形ABCD的尺規作圖過程．已知：RtABC中，∠ABC＝90°，AB=CB求作：正方形ABCD．作法：如圖，1．以點A為圓心，BC長為半徑作弧；2．以點C為圓心，AB長為半徑作弧；3．兩弧交于點D．點B和點D在AC異側；4．連接AD，CD．所以四邊形ABCD是正方形．(1)根據小明設計的尺規作圖過程，使用直尺和圓規，補全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明．證明：∵AB＝，BC＝，∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形()(填推理的依據)，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是正方形()(填推理的依據)．27．（2022·北京豐臺·八年級期末）在平面直角坐標系xOy中，對于點P與圖形W給出如下定義：如果存在以點P為端點的一條射線與圖形W有且只有2個公共點，那么稱點P是圖形W的“相關點”．已知點，，．(1)當時，①在點，，，中，是折線的“相關點”的是______；②點M是直線上一點，如果點M是折線的“相關點”，求點M的橫坐標的取值范圍；(2)正方形DEFG的各邊都平行于坐標軸，對角線的交點N的坐標是．如果正方形的邊長是2，正方形DEFG上的任意一點都是折線的“相關點”，請直接寫出m的取值范圍．28．（2022·北京豐臺·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，點E是直線AC上任意一點（不與點A，C重合），過點E作交直線CD于點F，過點F作交直線AC于點G．(1)如圖1，當點E在線段AC上時，猜想EG與AB的數量關系；(2)如圖2，當點E在線段AC的延長線上時，補全圖形，并判斷（1）中EG與AB的數量關系是否仍然成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．29．（2022·北京昌平·八年級期末）在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，點P是直線AB上一點，且不與點A，點B重合，連接CP，作等邊三角形PCE．(1)如圖1，若點P在線段AB上，連接DE，則線段PB，DE之間的數量關系是______；(2)如圖2，若點P在線段AB的延長線上，連接AE，求證：EA＝EP；(3)如圖3，若點P在線段BA的延長線上，順次連接四邊形ABCE各邊的中點，則所得四邊形的形狀是______．30．（2022·北京朝陽·八年級期末）如圖，在中，E，F分別是AB，CD的中點，求證：AF＝CE．

參考答案1．B【分析】根據矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，從而可以得到它們都具有的性質，本題得以解決．【詳解】解：∵矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，∴它們都具有的性質是對角線互相平分，故選項B符合題意，選項A、C、D不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查正方形的性質、菱形的性質、矩形的性質，解答本題的關鍵是明確矩形、菱形、正方形都是平行四邊形．2．C【分析】根據三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，DE=4，∴BC=2DE=2×4=8，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．3．A【分析】根據正方形的判定定理可進行求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，四邊形是正方形，故選：A．【點睛】本題主要考查正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關鍵．4．C【分析】根據菱形、平行四邊形的性質，且菱形具有平行四邊形的全部性質，對每個選項進行分析比較即可得出結論．【詳解】因為平行四邊形的對角線互相平分，菱形具有平行四邊形的性質且對角線互相垂直，所以選項A不符合題意，選項C符合題意；因為對角線相等、四個角都相等的是矩形或正方形，所以選項B、D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查平行四邊形、菱形的性質的理解能力．涉及平行四邊形對角線互相平分，菱形對角線互相垂直且平分，矩形、菱形對角線相等且四個角都相等知識點．明確平行四邊形和菱形的性質以及二者之間的關系是解本題的關鍵．5．B【分析】通過點P經過四邊形各個頂點，觀察圖像的對稱趨勢問題可解．【詳解】解：記各個選項中四邊形逆時針均記為ABCD，A選項中，從A→B，B→C，y先減小，再增大，不關于轉折點對稱；從C→D，從D→A，y先減小，再增大；且兩部分走勢相同，不符合題意；B選項中，從A→B，B→C，y先減小，再增大，關于轉折點B對稱，且每部分關于最低點對稱；從C→D，從D→A，y先減小，再增大；且兩部分走勢相同，符合題意；C選項中，從A→B，B→C，y先減小，再增大，關于轉折點B對稱，但每部分不關于最低點對稱；從C→D，從D→A，y先減小，再增大；且兩部分走勢相同，不符合題意；D選項中，每個轉折點前后圖像一致，不符合題意；故選：B．【點睛】本題動點問題的函數圖像，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質，考查學生對動點運動過程中所產生函數圖像的變化趨勢判斷．解答關鍵是注意動點到達臨界前后的圖像變化．6．C【分析】根據AD＝AC，可知等腰三角形底角相等∠ACD＝∠ADC＝70°；在?ABCD中，對角相等，可知∠B=70°．【詳解】AD＝AC，∠ACD＝∠ADC＝70°，在?ABCD中，∠B＝∠ADC=70°，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等邊對等角，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．7．B【分析】根據特殊的平行四邊形的概念判斷即可．【詳解】∵矩形和菱形是特殊的平行四邊形，正方形既是菱形也是矩形，∴M代表正方形，N代表矩形，故選：B．【點睛】本題考查的是特殊的平行四邊形，正確理解矩形、菱形、正方形之間的關系是解題的關鍵.8．或【分析】根據N點落的位置進行分類討論，分為CD上或這AD上，運用勾股定理計算出線段的長度，再設線段的長度為x，用代數式表示出其他線段，通過勾股定理建立方程，計算出來答案即可．【詳解】當N點落在CD上時，如圖所示，過點M作ME⊥AD于E，∵在矩形中，∴，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵ME⊥AD∴四邊形ABME是矩形∵M是BC中點，∴BM=CM=AE=DE=5∵由折疊可知，C1M=CM=5，C1N=CN設CN為x，則C1N=x，DN=3-x，在Rt△C1ME中，EM=AB=3，C1M=CM=5,∴C1E=∴C1D=ED-C1E=5-4=1在Rt△C1DN中∴解得，∴MN=；當N在AD上時，如圖所示，過點M作ME⊥AD于E，∵在矩形中，∴，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵ME⊥AD∴四邊形ABME是矩形∵M是BC中點，∴BM=CM=AE=DE=5∵由折疊可知，C2M=CM=5，CD=C2D2=3，D2N=DN，∠D2=∠D=90°在Rt△C2ME中，EM=AB=3，C2M=CM=5,∴C2E=設EN=x，則DN=5-x，在Rt△C2D2N中，,∴解得，∴MN=；故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形中的折疊問題，勾股定理，方程思想和分類討論思想是本題的關鍵．9．6【分析】由平行四邊形的性質可得，，再由平行線的性質和角平分線的性質求出，從而得出其長．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，．，平分，，，，故答案是：6．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的性質，解題的關鍵是求出的長．10．或##6或3【分析】分當在邊上和OC上兩種情況，然后分別表示出AE、CF，再根據列關于t的方程即可求解．【詳解】解：當在邊上，如圖，由題意得：，，，，，；當在上時，如圖，由題意得：，，，，；當，有一點到達終點時，點，同時停止運動，，和符合題意．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了矩形性質以及動點問題，靈活運用矩形的性質以及分類討論F位置是求解本題的關鍵．11．20【分析】根據三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點D，E分別為AC，BC的中點，DE＝10m，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝20m，故答案為：20．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．12．∠DFG=90°（答案不唯一）【分析】由三角形中位線定理得DEBC，再由DFEG，得四邊形DFGE是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結論．【詳解】解：添加條件為：∠DFG=90°，理由如下：∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DEBC，∵DFEG，∴四邊形DFGE是平行四邊形，又∵∠DFG=90°，∴平行四邊形DFGE是矩形，故答案為：∠DFG=90°（答案不唯一）．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質以及三角形中位線定理等知識，熟練掌握矩形的判定是解題的關鍵．13．6【分析】根據四邊形是平行四邊形，得到，利用三角形中位線定理得到，進一步可得到，即可求出．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，點為的中點，是的中位線，∴，?周長為，∴，，故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，三角形中位線定理，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質，三角形中位線定理．14．

2

【分析】根據勾股定理求出、、、，的邊長，根據正方形的面積公式即可求解．【詳解】解：由題意，正方形的邊長為1，則其面積為1；∴，正方形的邊長為；∴，正方形的邊長為；……∴，正方形的邊長為．故答案為：2，．【點睛】本題考查規律探索、正方形的面積計算，解題的關鍵在于利用勾股定理求出正方形的邊長，找出規律．15．（，）或（，）或（，）或（1，1）【分析】求出A，B坐標，可得OA＝OB＝1，∠OAB＝45°，然后分情況討論：①如圖1，當BP1＝BO時，②如圖2，當BP2＝BO時，③如圖3，當OB是對角線時，④如圖4，當BP是對角線時，分別利用勾股定理，等腰直角三角形的性質和正方形的判定與性質求出點Q坐標即可．【詳解】解：在直線中，令x＝0，可得y＝1，令y＝0，可得x＝1，∴A（1，0），B（0，1），OA＝OB＝1，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝45°，分情況討論：①如圖1，當BP1＝BO，四邊形OBP1Q1是菱形時，過點Q1作Q1E⊥x軸于點E，∴OB＝OQ1＝1，OQ1∥BP1，∴∠EOQ1＝∠OAB＝45°，∴OE＝EQ1，OE2＋EQ12＝12，∴OE＝EQ1＝，∴Q1（，）；②如圖2，當BP2＝BO，四邊形OBP2Q2是菱形時，P2Q2交x軸于點F，∵P2Q2∥OB，BP2∥OQ2，∴Q2F⊥OA，∠Q2OF＝∠OAB＝45°，∴OF＝FQ2，OF2＋FQ22＝12，∴OF＝FQ2＝，∴Q2（，）；③如圖3，當OB是對角線，四邊形OP3BQ3是菱形時，OB⊥Q3P3，OB＝Q3P3＝1，∴BG＝OG＝，Q3P3∥x軸，∴∠GP3B＝∠OAB＝45°∴BG＝GP3＝，∴Q3G＝GP3＝，∴Q3（，）；④如圖4，當BP是對角線，四邊形OP4Q4B是菱形時，P4與點A重合，∵∠BOP4＝90°，∴菱形OP4Q4B是正方形，∴Q4（1，1）；綜上所述，點Q的坐標為（，）或（，）或（，）或（1，1）．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特點，平行線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理以及正方形的判定和性質等知識，正確分類討論是解答此題的關鍵．16．1【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得km．【詳解】解：∵在中，，為的中點，(km)，故答案為：1．【點睛】本題考查直角三角形的性質，解題關鍵點是熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，理解題意，將實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵．17．24【分析】根據已知條件與菱形的軸對稱性，可得坐標原點O就是菱形ABCD對角線的交點，再根據菱形的性質可得菱形對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，所以S菱形＝4S△AOB．【詳解】解：∵A，B兩點的坐標分別為（﹣4，0），（0，﹣3）．∴OA＝4，OB＝3．∴S△AOB＝OA?OB＝6．∵菱形是軸對稱圖形，且菱形ABCD的四個頂點都在坐標軸上．∴菱形對角線的交點為坐標原點O．∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×6＝24．故答案為：24．【點睛】本題考查了菱形的性質．熟記菱形的對角線互相垂直且平分并把菱形分成四個全等的直角三角形是解題的關鍵．18．（答案不唯一）【分析】先證明再根據有三個角是直角的四邊形是矩形進行補充即可．【詳解】解：∵AE⊥BC，∴，∴∴補充：或或，∴四邊形AEFD是矩形，故答案為：或或（任寫一個即可）【點睛】本題考查的是矩形的判定，掌握“有三個角是直角的四邊形是矩形”是解本題的關鍵．19．(1)見解析(2)BC；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的對角線互相平分【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）證明四邊形AEBC是平行四邊形，可得結論．（1）解：如圖，點P即為所求；，（2）證明：連接AC，EB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BC．∵AE=BC，∴四邊形EBCA是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴AP=PB（平行四邊形的對角線互相平分），點P即為所求作的邊AB的中點．故答案為：BC；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的對角線互相平分．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．20．(1)見解析(2)(3)(4)，證明見解析【分析】（1）畫線段的延長線與線段的延長線相交于點H即可．（2）如下圖，過點A作，交的延長線于點M，由得，再根據四邊形是正方形可得，從而得，即可用含α的式子表示；（3）由（2）得，根據∠AGB=∠AGF+∠FGH=+∠FGH可得，利用直角三角形兩銳角互余可得；（4）由（3）得，先由勾股定理得，再證明，于是可得．（1）解：如圖：（2）解：，理由如下：如下圖，過點A作，交的延長線于點M∵∴∵四邊形是正方形，∴，∵，，∴，，∵，∴∴∴；（3）解：，理由如下：∵由（2）得，∠AGB=∠AGF+∠FGH=+∠FGH，∴，∵，∴；（4）解：，理由如下：由（3）得，∵，∴∴，∵，∴MH2=AM2+AH2，∴，∵AG=AB，AM=AH，∴∠AGB=∠ABG，∠M=∠H，∵∠AGB+∠AGM=∠ABG+∠ABH，∴∠AGM=∠ABH，在△ABM和△ABH中，，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，三角形的內角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．21．(1)補全圖2見解析(2)BC；兩組對邊分別相等的四邊形的平行四邊形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．（1）解：如圖，矩形即為所求；（2）證明：，，四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形．故答案為：，兩組對邊分別相等的四邊形的平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．22．(1)見解析(2)【分析】（1）根據，，得出四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質得出，從而可證明四邊形是菱形；（2）連接交于點，由菱形的性質得出，，，由，證明是等邊三角形，求出，再由勾股定理求出，進而，即可得出答案．（1）證明：如圖1，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形；（2）解：如圖2，連接交于點，四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定與性質，掌握矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握菱形的判定與性質，勾股定理，菱形面積公式．23．(1)；(2)，或；(3)或．【分析】（1）根據矩形性質以及點的坐標即可求出點C坐標；（2）根據截距的定義求解即可；（3）根據“截距”是時，可知過點或，再利用經過點，求出或．進一步可求出或．（1）解：∵是矩形，且，，．∴；（2）解：由截距的定義可知：經過點，∴關于矩形的“截距”是，∵直線關于矩形的“截距”是，∴直線經過點或．∴或．（3）解：當直線（）關于矩形的“截距”是時，∴經過點或．又∵經過點，∴或．∴關于矩形的“截距”的最小值是時，或．【點睛】本題考查矩形的性質，直角坐標系點的坐標，一次函數．解題的關鍵是理解截距的定義，根據截距的定義再利用矩形的性質解答．24．(1)見解析(2)①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(3)見解析（方法不唯一）【分析】（1）根據小明同學設計的尺規作圖過程作圖即可；（2）根據平行四邊形、矩形的判定定理，結合所給證明過程，即可寫出依據；（3）利用直尺和圓規作，，通過兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可知四邊形是平行四邊形，結合可知四邊形是矩形．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：補充后的證明過程如下：證明：∵直線是的垂直平分線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．∵，∴四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形）．故答案為：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．（3）解：作圖如下：作圖方法：以C點為圓心，AB長為半徑作弧，以A點為圓心，BC長為半徑作弧，兩弧交于D點，連接AD，CD即可；證明：由作圖方法可知，，，∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．∵，∴四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形）．【點睛】本題考查尺規作圖、平行四邊形的判定、矩形的判定等知識點，熟練掌握幾種基本的尺規作圖方法是解題的關鍵．25．見解析【分析】欲證明AE=CF，只要證明△DOE≌△BOF（ASA）即可；【詳解】∵BD的中點是O，∴OB=OD∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，在△AOE和△COF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF∴AD-DE=BC-BF∴AE=CF．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．解題的關鍵是熟記平行四邊形的各種性質以及全等三角形的各種判定方法．26．(1)見解析(2)CD；AD；有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形【分析】（1）根據題意作圖即可；（2）根據平行四邊形的判定，矩形的判定和正方形的判定定理填空即可．（1）解：如圖，四邊形ABCD即為所求；（2）證明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)，故答案為：CD；AD；有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形．【點睛】本題考查了尺規作圖，平行四邊形的判定，矩形的判定和正方形的判定，熟練掌握相關判定定理是解題的關鍵．27．(1)①；②(2)或【分析】（1）①根據所給坐標畫出圖像，根據定義進行判斷即可求解；②根據題意畫出，結合定義可知當與點重合時取得最小值，與直線相交時，取得最大值，進而即可求解；（2）根據題意求得直線的解析式為，直線的解析式為，正方形上的任意一點都不在所圍成的銳角之內以及邊上（除線段AB,AC外），當正方形有一點在或上時，根據點的坐標以及正方形的性質求得點的坐標，分別代入直線的解析式即可求得點的坐標，結合函數圖像即可求解．(1)當時，，①如圖，在平面直角坐標系中描出點，，，，連接，由圖像可知，為折線的“相關點”；②如圖，點M是直線上一點，根據定義可知：點為折線的“相關點”當與點重合時，此時取得最小值，為，當在直線上時，取得最大值，設直線解析式為則解得直線解析式為聯立解得即的最大值為(2)點，，．設直線的解析式為，解析式為,則，，解得，直線的解析式為，直線的解析式為，當正方形上的任意一點都是折線的“相關點”；正方形上的任意一點都不在所圍成的銳角之內以及邊上（除線段AB,AC外），當正方形有一點在或上時，如圖，當點在上時，，正方形的邊長為2，則，代入直線解析式，可得，解得；當點在上時，，正方形的邊長為2，則，代入直線解析式，可得，解得，結合圖像可知，當正方形DEFG上的任意一點都是折線的“相關點”，或．【點睛】本題考查了新定義問題，待定系數法求一次函數解析式，正方形的性質，坐標與圖形，兩直線交點問題，理解新定義是解題的關鍵．28．(1)，理由見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）點E作于點H，于點P，證明，得到．過點B作于點M，證明，進而得出，再利用等腰直角三角形的性質即可得出結論；（2）過點E作交DC延長線于點H，交BC延長線于點P，過點B作于點O，證明，再證，進而得出為等腰直角三角形，即可證得結論．(1)解：，理由如下：∵正方形ABCD，∴，，過點E作于點H，于點P，如下圖所示，則，∴，∴四邊形CHEP是矩形，∵，，∴與均為等腰直角三角形，∴，，∴四邊形CHEP是正方形，∴．∵，∴，又∵，∴，在與中，，∴，∴．過點B作于點M，則，∵，∴，在與中，，∴，∴．∴，∴，即．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；(2)解：成立，理由如下：過點E作交DC延長線于點H，交B