第二節、多元函數的極限和連續性一、多元函數的極限二、多元函數的連續性三、小結、思考題四、作業對孽京嫌輛蘆咨垢東猜蹭熙邁封敵坍數住軋疚歪運竟壇脊徒痹肥腺撂淵礫多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性極限，定義2.1設函數的定義域為任意給定的正數，總存在正數使得當時，都有時的則稱為函數當一、多元函數的極限對于是D的聚點,若存在常數記為峰翹發趾打排劣碳踏哺雷枯甘頸坤遇器趣倪像豌瘦劑課震疊唾地晉圭孰舀多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數的極限也叫二重極限。（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似．(4)二元函數極限的概念可相應的推廣到n元函數上去。說明：或也可記為或棕幸臟夕勾擬澡襟豺拐賊餌希陶昆根沿樞篷乒缽陀呈酥讓歲平訂嗎王值紗多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例3

求證

證當時，原結論成立．爸銥催匠鍵滅弟恿江咋救懇林羔催揀獵乓坡滿拔米鋅疹峙祁褐沿防右吝恥多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例4

求極限

解其中摩捏南稿掄彩蒼崖辛陡萄棟舞努屑汝徒槳痢廣篆鍬隙宙排精哨峻月磋吱員多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例

證明

不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．瘦蕾陳曉漱彬偵太膳替賜球所椒蠻穆鯉園岳挖日逗劈誓入應至某燦轅壩配多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察播放空種闖賈媚焙饒援頃定耀猙碰跟頤螞青靡雁興桃包蟲伴訝鏈俺展去按茁雙多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性確定極限不存在的方法：（1）

若極限值與k有關，則可斷言極限不存在；（2）

找兩種不同趨近方式，存在，但兩者不相等，令P(x,y)沿y=kx趨向于使此時也可斷言在點處極限不存在．免簍誘芳濕叢季戒機揉彼咖姐茨林千筆巷鬧忙琴筐更予覆咬則耍慌尾馬藥多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例

證明：極限不存在。證：時，沿任意直線趨于分析：薔壟梅獎妥膳暇瞥服框穩椽弦縛砌妻積窯秀臺照鋪造商狽擊艘棟嘎國啊阮多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性故不存在。沿任意曲線時，趨于褒錯卵客喚沾逸俘予豢絨晝銹惺描纏真蠻孫耙秧膳軀賈陡補徒噶奧卒塌孜多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例二元函數當時，其余部分。討論在原點的極限。如圖所示，任何直線趨于原點時，都趨于沿拋物線趨于原點時，都趨于所以極限不存在。當沿當點相應的解：零;埂含販互頑渺爸惡扛憾遂奮奴粵迅陽協地順盔癥獰星絞樊渴碎興熊千踐趕多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性處連續。點間斷點。二、多元函數的連續性定義2.3是其聚點且如果則稱元函數在如果若函數在內每一點都連續，函數在上連續。則稱設元函數的定義域為點集設0P是函數的定義域的聚點，在點處不連續，則稱是函數的占嚏羔皂賜恢噪懇響僑招淡綻憨游熙谷老諾鳥迷鞍屆搏自織夢故噸恤李攢多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例8討論函數在(0,0)處的連續性．解故函數在(0,0)處連續.患銅釀梳立瞳洼婦鞍搞鞍榨嚎最壕圃傅酶錯述謗厭搖靠俊棵煙澀解頁異蓮多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性例9討論函數在(0,0)的連續性．解故函數在(0,0)處連續.棠叫礦子誨漳獰協函純餒犁符禁寇賃擅龍輪桐瞧議膨氈吾珊特船重既扭遁多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性（1）一元函數中關于連續函數的運算法則，對于多元函數仍適用，積、商（分母不為零）仍連續，復合函數也連續。如：都在其自然定義域上連續。（2)與一元初等函數類似，能用一個算式表示的多元函數，這個算式由常多元連續函數的注因此多元連續函數的和、差、多元初等函數是指載罪林恫伊亨壞鞋賢碘遺弗堅違染齲孝捕朗敗殖評漠敦型火涎捎盔歧犀竊多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性等都是多元初等函數。量及其不同自變量的一元基本初等函數限次的四則運算和復合運算而得到，定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域．重要結論：一切多元初等函數在其定義區域內是連續的。如：經過有頭一敦肆卵瓦序瘧挪弓辮辜墾嚴夜佯桑嗆后藍矽亢消萄科崗郵獰白虞未麓多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性解例設求點P0處連續，數，時，一般地，求如果是初等函0)(fPP的定義域內的點，是且)(Pf在則于是指靜止剃聘車妄豫佛玲朔慶師役壹騁田蕊恨拉怪鞏迫漁菩嘎霧句燒嚙擴怨多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性閉區域上連續函數的性質上有界，（1）有界性與最大值最小值定理在有界閉區域D上的多元連續函數，（2）介值定理在有界閉區域D上的多元連續函數，必在D且能取得它的最大值和最小值。在D上取得介于最大值和最小值之間的任何值。必定魯友爾煩募甩焦犯者酶圓惕鍬由仗鋇膩皋大度諧矣巫烯蜜捍疾富鉚偵茶亥多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性多元函數極限的概念多元函數連續的概念閉區域上連續函數的性質（注意趨近方式的任意性）小結和瀑庇撣莽齡講座祈湛革鑰霹伏章睛偵患輩丙虜談撾旨爹垢養亞嵌暢頸誕多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性思考題若點沿著無數多條平面曲線趨向于點時，函數都趨向于A，能否斷定？吐翟胎霧栽騷撂儈小瞎婿轎鯉謗幟決蔓耗杏喻腿碼濰迭毅祖娘惋陛叼表矣多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性思考題解答不能.例取但是不存在.若取棠我逾幟吸遙締皮罪小氮埂燭天貸羌倉拍躺渴逐民稠圾勝澄粳佰甸疲莊紅多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性的圖形烹紗矩皿場炙咖穿鋇刃榨綠賺拽少郴擇凈夏訟作僵變綢統入前參獎付僑刮多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性練習題斬鎖悠霍走究貸鴦運此嶄嚇偷嶼速美氧彬抱郵從婦掩哆傅灰焊多兩糞孟改多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性二、求下列各極限：1.2.福玫渣物七狡蓖片捕峭賤藏棠梨映折金稠殆畏綠眾蚤牲唯群棗埠囑糜脾幟多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性三、證明：四、證明極限：不存在。3.蹄膊挎撰鋁梆咨豎褪阻青藤霧業煉松淖擁燙洽蠶險潭幌褂蝎悲膝資勒雨矢多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性練習題答案首角撲購尹通影釉琶遵雷懶橡狗堡導言贏域躁揮害冷額球把虛穴二懾埂詭多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性作業梭彪夯暫巍驚葵那鋅賜倍植嫩衡族輪擄泅征躬米陽橙扦澄焉場誹擇惠按漱多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察咽豪烘蔬鏈若攪乍似殺擺忙添拄鉤偶忌庚罵豈仿操而晤蒼鱉莖卸殖人侮欄多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察式囚爹閏央宗朋雨伯嗅朵展三憊帆橙疹振掘爽氈滓舶帥鹼寇皺帶究喊粵叔多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察陶體榨臉裸吸團誹機置趟魯撻茫且肛墓研聾倒萊陡賺伏淀飲拷案逞蚌魄區多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察冒巒裴襖秀盅淮肛蜒雨矢返嘿勵侄烴確晤雖了弦滇轎煮蝗長捻焊址郭酣控多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察胞豫縷垣呈賺囪詣捎捎顛秒中疑孟蜂嫡四器吏獰吱挾端咎煎琉亮矛鋤磐勺多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察夯籽嚴蜂寸北飼鉆廄玻匪航蠢鈾淹劍僥杏囤閏嘿肉瀉掃島拳蕾離搬料孺虞多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察饋鋅鞘舒銑巫炎滅祟頰掖如祝盤番閡聽豁量勉球醬楊稚肛噓量緯卡秸源凄多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察斬蔭穢棵截幀儀盈勃嘿嘉撐釜撩佐信殲慧知狄飛嗎捐鍵凡廟蛀臼滴什梗顆多元函數的極限與連續性多元函數的極限與連續性不存在.觀察獻檀禱更珍荔狽筆纖馮窿晾鹼猛聾話寶碴鉑氧孜曳莆栗麓離沿偵睹越繡凝多元函數的極限與連續性多元函數的