初中數學知識點歸納全第一章《有理數》總復習一、本章知識結構圖正整數0整數加法減法負整數有理數有理數的運算交換律分配律結合律點與數的對應正分數分數負分數數軸乘法除法比較大小乘方一、基本概念1、正數與負數?表示大小?在實際中表示意義相反的量?帶“-”號的數并不都是負數1(正數、負數和零的概念正數負數零0叫做零，0既不是正數也不是負數象1、2.5、、48象-1、-2.5，，-48等大于零的數叫正數等小于零的數叫負數1)對于正數和負數的概念，不能簡單的理解為:帶“，”號的數是正數，帶“,”號的數是負數。2)引入負數后，數的范圍擴大為有理數，奇數和偶數的外延也由自然數擴大為整數，整數也可以分為奇數和偶數兩類，能被2整除的數是偶數，不能被2整除的數是奇數，3)到現在為止，我們學過的數細分有五類:正整數、正分數、0、負整數、負分數，但研究問題時，通常把有理數分為三類:正數、0、負數，進行討論。4)通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數;負整數和0統稱為非正整數。分數和小數的區別:分數(既約分數)都可表示成小數，但不是所有的小數都能表示成分數的。如圓周率就不能表示成分數。5.數0既不是正數，也不是負數，0是正數與負數的分界。0的意義已不僅是表示“沒有”.2、數軸,原點,?三要素正方向,,單位長度,應用定義三要素數形結合原點幫助理解有理數的概規定了原點、比較有理數大小，念，每個有理數都可用正方向、單位數軸上右邊的數正方向數軸上的點表示，但數長度的直線總比左邊的數要軸上的點并非都是有理叫數軸大單位長度數1(數軸的概念(1)規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(這里包含兩個內容:一是數軸的三要素:原點、正方向、單位長度缺一不可(二是這三個要素都是規定的((2)數軸能形象地表示數，所有的有理數都可用數軸上的點表示，但數軸上的點所表示的數并不都是有理數(2(數軸的畫法(1)畫直線(一般畫成水平的)、定原點，標出原點“O”((2)取原點向右方向為正方向，并標出箭頭((3)選適當的長度作為單位長度，各點。)標注數字時，負數的次序不能寫錯，(43(用數軸比較有理數的大小(1)在數軸上表示的兩數，右邊的數總比左邊的數大。(2)由正、負數在數軸上的位置可知:正數都有大于0，負數都小于0，正數大于一切負數。(3)比較大小時，用不等號順次連接三個數。正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數(因為正數都大于0，反過來，大于0的數都是正數，所以，我們可以用，表示是正數;反之，知道是正數也可以表示為。同理，，表示是負數;反之是負數也可以表示為。3(正數軸常見幾種錯誤1)沒有方向2)沒有原點3)單位長度不統一?數軸上的點與有理數3、相反數?只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數，0的相反數是0?a的相反數-a?a與b互為相反數a+b=0相反數的意義(1)只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(2)從數軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數叫做互為相反數。(3)0的相反數是0。也只有0的相反數是它的本身。(4)相反數是表示兩個數的相互關系，不能單獨存在。相反數的表示在一個數的前面添上“,”號就成為原數的相反數。若表示一個有理數，則的相反數表示為,。在一個數的前面添上“+”號仍與原數相聯系同。例如，，7=7，特別地，，0=0，,0=0。相反數的特性若互為相反數，則，反之若，則互為相反數。相反數是它本身的數是04(多重符號化簡(1)相反數的意義是簡化多重符號的依據。如是,1的相反數，而,1的相反數為+1，所以。(2)多重符號化簡的結果是由“,”號的個數決定的。如果“,”號是奇數個，則結果為負;如果是偶然數個，則結果為正。可簡寫為“奇負偶正”。化簡一個數就是把多重符號化成單一符號，若結果是“+”號，一般省略不寫。5、絕對值?一般地，數軸上表示數a的點與原點距離，表示成,a,。a(a?0),?,a,=,-a(a?0),1(絕對值的代數定義一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;零的絕對值是零(2(絕對值的幾何定義在數軸上表示一個數的點離開原點的距離，叫做這個數的絕對值(3(絕對值的主要性質(2)一個實數的絕對值是一個非負數，即|a|?0，因此，在實數范圍內，絕對值最小的數是零((4)兩個相反數的絕對值相等(運用絕對值比較有理數的大小1(兩個負數大小的比較,因為兩個負數在數軸上的位置關系是:絕對值較大的負數一定在絕對值較小的負數左邊，所以，兩個負數，絕對值大的反而小.比較兩個負數的方法步驟是:(1)先分別求出兩個負數的絕對值;(2)比較這兩個絕對值的大小;(3)根據“兩個負數，絕對值大的反而小”作出正確的判斷(2(兩個正數大小的比較，與小學學習的方法一致，絕對值大的較大(6、倒數:知識結構?乘積是1的兩個數叫作互為倒數。即:，則互為倒數。1?a的倒數是(a?0)a?a與b互為倒數ab=1關于倒數的求法要注意:(1)求分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母顛倒位置即可((2)正數的倒數是正數，負數的倒數仍是負數((3)負倒數的定義:乘積是,1的兩個數互為負倒數((4)0沒有倒數?倒數是它本身的數是?1?絕對值是它本身的數是非負數?平方等于它本身的數是0，1?立方等于經本身的數是?1，0數軸上表示相反數的兩個點和原點的關系:關于原點對稱7、乘方1(求個相同因數的積的運算，叫做乘方(乘方的結果叫做冪，相同的因數叫做底數，相同的因數的個數叫做指數(一般地，在中，取任意有理數，取正整數(注意:乘方是一種運算，冪是乘方運算的結果(看作是的次方的結果時，也可讀作的次冪((1)當時，(為正整數);(2)當(3)當時，(為正整數);(4)(為正整數);(為正整數);(為正整數，為有理數)(?乘方和冪的區別(?與的區別(乘方符號法則負數的積次冪是負數，負數的偶次冪是正數，正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是08、科學記數法?把一個絕對值大于10的數表示成a?10n(其中1?,a,,10，n為正整數)?指數n與原數的整數位數之間的關系。9、近似數與有效數字?準確數、近似數、精確度精確到萬位,,?精確度精確到0.001,保留三個有效數字,?近似數的最后一位是什么位，這個數就精確到哪位。,?有效數字?如何求較大數的近似數，有兩種方法，一種用單位，一種用科學記數法10、有效數字:一般地，一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個數精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是0的數字起，到精確的數位止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字(明確近似數的有效數字需注意的兩點:一是從左邊第一個不是零的數起;二是從左邊第一個不是零的數起，到精確的位數止，所有的數字，如果是整數有效數字是構成整數的個數如果是小數，有效數字是這個小數從左邊的第一個非0的數字數起到未位為止二、有理數的分類1、按整數與分數分正整數,整數0,,,負整數,,有理數,,正分數,,,,分數,負分數,,2、按正負分,正整數,正有理數,,正分數,,,有理數0,負整數,,,負有理數,,負分數,,三、有理數的運算知識結構1有理數加法法則:(1)同號兩數相加，取相同符號，并把絕對值相加.(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0.(3)一個數同0相加，仍得這個數如果是同號相加，取相同的符號，并把絕對值相加。如果是異號兩數相加，應先判別絕對值的大小關系，如果絕對值相等，則和為0;如果絕對值不相等，則和的符號取絕對值較大的加數的符號，和的絕對值就是較大的絕對值與較小的絕對值的差。一個數與0相加，仍得這個數。加法交換律:a+b=b+a加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)2有理數減法法則:減去一個數，等于加這個數的相反數.a,b=a+(,b)引入相反數后，加減混合運算可以統一為加法運算a+b,c=a+b+(-c)知識結構知識結構3有理數乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘任何數同0相乘，都得0.方法規律先確定積的符號，再把各個乘數的絕對值相乘，作為積的絕對值1(有理數乘法法則，實際上是一種規定。行程問題是為了了解這種規定的合理性。2(兩數相乘時，確定符號的依據是“同號得正，異號得負”(絕對值相乘也就是小學學過的算術乘法(3(基礎較差的同學，要注意乘法求積的符號法則與加法求和的符號法則的區別。4(幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0(反之，如果積為0，那么，至少有一個因數為0(5(小學學過的乘法交換律、結合律、分配律對有理數乘法仍適用，需注意的是這里的字母a、b、c既可以是正有理數、0，也可以是負有理數。6(如果因數是帶分數，一般要將它化為假分數，以便于約分。乘法交換律:ab=ba乘法結合律:(ab)c=a(bc)分配律:a(b+c)=ab+ac4有理數除法法則:1除以一個不等于0的數，等于乘以這個數的倒數.2兩數相除，同號得+，異號得-，并把絕對值相加。0除以任何一個不等于0的數，都得0.有理數除法有兩種法則。法則1:除以一個數等于乘以這個數的倒數。是把除法轉化為乘法來解決問題。法則2是把有理數除法納入有理數運算的統一程序:一確定符號;二計算絕對值。5乘方符號法則:負數的積次冪是負數，負數的偶次冪是正數，正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0五種運算:運算:加、減、乘、除、乘方;運算結果:和、差、積、商、冪;混合運算順序:?三級(乘方)二級(乘除)一級(加減);?同一級運算應從左到右進行;?有括號的先做括號內的運算;?能簡便運算的應盡量簡便。第二章《一元一次方程》總復習一、主要概念1、方程:含有未知數的等式叫做方程。2、一元一次方程:只含有一個未知數，未知數的指數是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程具有以下幾個特點:1、必須是等式的形式;2、只含一個未知數;3、未知數的次數是1次;4、分母中不含未知數(因此只有同時滿足以上四個特點的等式叫一元一次方程(3、方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。4、解方程:求方程的解的過程叫做解方程。二、等式的性質等式的性質1:等式兩邊都加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等。等式的性質2:等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。這兩個分別是移項和去分母的依據(三、解一元一次方程的一般步驟及根據1、去分母-------------------等式的性質22、去括號-------------------分配律3、移項----------------------等式的性質14、合并----------------------分配律5、系數化為1--------------等式的性質26、驗根----------------------把根分別代入方程的左右邊看求得的值是否相等四、解一元一次方程的注意事項1、分母是小數時，根據分數的基本性質，把分母轉化為整數;2、去分母時，方程兩邊各項都乘各分母的最小公倍數，此時不含分母的項切勿漏乘，分數線相當于括號，去分母后分子各項應加括號;3、去括號時，不要漏乘括號內的項，不要弄錯符號;4、移項時，切記要變號，不要丟項，有時先合并再移項，以免丟項;5、系數化為1時，方程兩邊同乘以系數的倒數或同除以系數，不要弄錯符號;6、不要生搬硬套解方程的步驟，具體問題具體分析，找到最佳解法。7要注意所求得的解是否為原方程的解(即解完方程后，應將所求得的解分別代入方程的左右兩邊，如果左邊,右邊，說明所求的解是原方程的解;如果左邊?右邊，說明求解過程有錯誤，應認真檢查看是哪一步計算出了錯(這一步可以不寫在書面上，但是不可疏漏(五、列方程解應用題的一般步驟1、審題2、設未數3、找相等關系4、列方程5、解方程6、檢驗7、寫出答案等式?方程?方程的解1(等式與方程的區別表示相等關系的式子叫做等式(含有未知數的等式叫做方程，可見方程必須具備兩個條件:一是必須含有未知數，二是必須是一個等式(2(等式性質的應用應用等式的性質對等式進行變形時，必須注意:(1)強調一個“都”字(性質1告訴我們，等式兩邊都加上(或減去)同一個數，所得的結果仍然是等式;性質2也有個“都”字，要求對等式進行變形的方式要保持對等，也就是說，變形必須兩邊同時進行(3(方程的解與解方程方程是一個有待于研究的等式，即研究這個等式中的未知數取什么確定數值時等式才成立(解方程的任務就是“確定使方程左右兩邊相等的未知數所取的數值”，我們把這個值叫做方程的解(一元方程的解又叫做“根”)(這樣的值可能有一個或多個，也可能沒有，所以方程可能有一解、多解，也可能無解(如3x-5=4x+3的解只有一個x,-8，方程2x-7,5x-(3x+7)的解就有無數個，而方程2x-3,2x+2則無解(求方程的解或判定方程無解的過程叫做解方程(利用等式的性質，通過一定的變形，就可以求出方程的解(4(方程解的檢驗方法要檢驗一個數是不是方程的解，其方法是:將這個數代入方程的左邊和右邊，計算其左、右兩邊的值，如果左、右兩邊的值相等，那么這個數就是方程的解;如果左、右兩邊的值不等，那么這個數就不是方程的解(第三章《圖形初步認識》總復習(一)多姿多彩的圖形一、常見的立體圖形(1)柱體:?棱柱:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個相鄰的四邊形的公共邊互相平行，由這些面圍成的幾何體叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。?圓柱:以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊圍繞它旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱(2)錐體:?棱錐::有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫棱錐。如三棱錐、四棱錐、五棱錐等。?圓錐:以直角三角形一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊圍繞它旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。(3)球體:半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉而成的曲面所圍成的幾何體叫做球體。(4)多面體:圍成棱柱和棱錐的面是平的面，像這樣的立體圖形叫做多面體。如圖:下列圖形分別為:棱柱(長方體)、棱錐(三棱錐)、圓柱、球體、圓柱。溫馨提示:空間想象能力的培養必須以日常觀察為基礎，從不同的方向看立體圖形關鍵是要分清楚物體各部分上下左右的關系。二、平面圖形:立體圖形是由平面圖形所圍成的，因此研究立體圖形往往要從平面圖行開始。圓是由曲線圍成的封閉圖形，由線段圍成的封閉圖形叫做多邊形，它具有兩個基本性質:?由線段圍成，?是一個封閉的圖形。按邊數多邊形可以分為:三角形、四邊形、五邊形等。在多邊形中三角形是最基本的圖形，任何一個多邊形都可以分割為若干個三角形，特別是從n邊形的一個頂點出發，可以將它分為(n,2)三角形。三、立體圖形的畫法――三視圖法?視圖的概念:從正面、上面、左面三個方向看一物體，然后描繪出三張所看到的圖即視圖，這樣就把立體圖形轉化為了平面圖形。?正視圖、俯視圖、左視圖的概念:從正面看到的圖形稱為正視圖;從上面看到的圖形稱為俯視圖;從左面看到的圖形稱為左視圖。?視圖和立體圖形的聯系:由立體圖形可以畫出該物體的三視圖，反之，由立體圖形的三視圖可以說出立體圖形的形狀。四、立體圖形的展開圖:)圓柱和圓錐的展開圖:(1圓柱的側面展開是一個長方形，這個長方形的長和寬分別為圓柱的高和底面周長，圓錐展開是一個扇形。(2)棱柱和棱錐的展開圖:棱柱和棱錐都是由平面圍成的多面體，沿它們的某些棱剪開，所得到的平面圖形就是它們的平面展開圖，對于同一個立體圖形當我們按不同的方式展開式，得到的平面圖形是不同的。(3)根據展開圖判斷立體圖形的規律:?展開圖全是長方形或正方形時，應考慮長方體或正方體;?展開圖中有圓和長方形時一般是圓柱;?展開圖中有扇形時應考慮是圓錐;?展開圖中有三角形時應考慮棱錐或棱柱，當展開圖中有兩個三角形和3個長方形應為三棱柱，如果全是三角形(4個)時應為三棱錐。多姿多彩的圖形導學一、立體圖形我們生活在立體三維世界中，隨時隨地看到和接觸到的物體都是立體的(有些物體，像石頭、植物等呈現出極不規則的奇形怪狀(同時也有許多物體有較為規則的形狀(我們研究的是一些具有較為規則形狀的物體(如柱體、錐體、球體等(1(常見的立體圖形日常生活中，我們常見這幾種立體圖形:圓柱、圓錐、正方體、長方體、棱柱、球(說明:?(長方體和正方體都屬于棱柱，因為它們比較常見，為大家所熟悉，所以在此單獨列出(?(棱柱分為直棱柱和斜棱柱((1)柱體?圓柱:底面是圓，側面是曲面(如圖)(?棱柱:底面是多邊形，側面是長方形或者正方形(棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等(如圖)((2)錐體?圓錐:底面是圓，側面是曲面(如圖)(?棱錐:底面是多邊形，側面是三角形(棱錐有三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐等(如圖)((3)球體:封閉曲面組成的圖形((4)多面體:圍成立體圖形的面都是平的面，像這樣的立體圖形又稱為多面體(2(棱柱與圓柱的區別及聯系棱柱與圓柱有相同之處，又有許多差別，如何正確區分它們呢,3(圓柱與圓錐的區別及聯系圓柱與圓錐能比較容易地區別開來，那么它們之間有什么相同或不同之處呢,二、平面圖形日常生活中，我們還會遇到很多平面圖形(planefigure)(長方形、正方形、三角形、圓等都是一些我們十分熟悉的平面圖形(生活中經常遇到一些由簡單的平面圖形組合成的優美圖案(三、視圖“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同(不識廬山真面目，只緣身在此山中(”這是宋代詩人蘇軾的《題西林壁》(這首詩說的是:從前面看，覺得廬山是一座又開闊又高大的山嶺;從側面看，又覺得廬山是一座險峻陡峭的高峰;再從遠處和近處，從高處和低處看廬山，總覺得它千姿百態，變化無窮(我實在說不出到底什么才是廬山的真面目，因為我自己就在廬山中呀(這首詩正是詩人從不同方向觀察同一物體看到了不同的景觀的結果(下面我們也學著用詩人的眼光去從不同方向觀察同一物體(1(三視圖主視圖:從正面看到的圖，左視圖:從左面看到的圖，俯視圖:從上面看到的圖(下面我們看幾個由小正方體搭建成的圖如下圖所示:當我們從正面看就得到主視圖;從左面看就得到左視圖;從上面看就得到俯視圖((如下圖所示)四、立體圖形的平面展開圖許多立體圖形是由一些平面圖形圍城的，將它們適當地剪開，就可以展開成平面圖形(這就是我們以下要研究的立體圖形的平面展開圖(net)(我們以正方體為例進行研究(將正方體展成一個平面圖形，是指正方形的六個面展開后所成的六個正方形中的每一個至少有一條邊與其他的正方形的某條邊重合即相連(那么，具體應該怎樣操作呢,我們都知道，正方體有6個面，12條棱，如果把它展成平面圖形，6個正方形中的每一個正方形至少有一邊與其他正方形相連(因此，我們從它的上底面入手，先將上底面中的四條棱中剪開三條，然后沿著和連著的棱有公共點的側棱順次剪下去，到達下底面，然后再將下底面的四條棱中剪開三條，便可得到正方體的平面展開圖(如圖，我們給正方體的12條棱進行編號(如果沿著棱???????????剪開，我們就得到展開圖(1);如果沿著????????????展開，就得到展開圖(2);如果沿著????????????展開就得到圖(3);如果沿著???????????展開，就可得到圖(4)(展開的方法很多，剛才的展開圖，都是沿著和邊?有公共點的邊?剪開的，如果沿著和邊?也有公共點的邊?剪開后，和以上四種展開圖差不多(如果沿?繼續剪開，正方體的平面展開圖經過旋轉，平移等都可以得到以上四種展開圖，因此，我們在此不考慮由于旋轉等造成的相對位置不同，將這種展開方式歸于前面一類(同樣將上底面的?????這三條棱展開，但接下來不沿著和?有公共點的棱?剪，而是沿著和?無公共點的側棱?或?繼續剪至下底面的三條棱，便可得到如下兩個平面展開圖(圖(5)、圖(6))我們可以觀察以上六個立方體的平面展開圖，它們有規律可尋找嗎,這六個平面展開圖有共同的特性，中間連排的四個正方形恰好是正方體的側面，而分布側面兩邊的兩個正方形無論和四個側面中的哪一個相連，都能是正方體的平面展開圖(那么，是不是立方體的平面展開圖只有六種呢,我們還像前面那樣給正方體的每條棱做同樣的編號，如果沿著?????剪開后，再分別沿著????和?剪開，便可得到展開圖(7)(類似的還可以得到圖(8)、(9)(在以上的幾種展開圖中，是側面的三個或四個正方形相連，如果讓他們兩個兩個相連結果會如何呢,我們剪出六個同樣大小的正方形作為正方體的六個面，將這六個面擺成下面兩個圖的情形，如圖(10)、(11)，然后將它們折疊，結果發現這六個面圍成了一個正方體(只要沿著?????剪開后，再分別沿??和?以及?剪開便可得到圖(10)(沿著?????剪開后，再將????和?剪開，便得到展開圖(11)(我們再來看，如圖(12)，這個平面圖形經過折疊后能否圍成一個正方體(答案是否定的(因為把一個正方體展開后6個正方形的每一個正方形至少有一邊與其他正方形的某邊重合，在這個圖中，雖然滿足了上面的要求，但右上角的正方形和相鄰的三個正方形相連的情形是無法折疊起來的，因此不能圍成一個正方體(那么，將正方體的某些棱剪開，展成一個平面圖形，需要剪開幾條棱呢,由于正方體有12條棱，6個面，將其表面展成一個平面圖形，其面與面之間相連的棱(即未剪開的棱)有5條，因此需剪開7條棱(五、點、線、面、體幾何體也簡稱體(solid)(我們學過的長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體(包圍著體的是面(surface)(面有平的面和曲的面兩種(平靜的水面(如圖)給我們以平面的形象，而酒杯(如圖)的凹槽則給我們以曲面的形象(夜晚流星劃過天空時留下一道明亮的光線(如圖)，節日的焰火畫出的曲線組成優美的圖案(如圖)，這些都給我們以線(line)的形象(面和面相交的地方形成線(天上的星星、世界地圖上的城市等都給我們以點(point)的形象，線和線相交的地方是點(點、線、面、體之間的關系:點動成線，線動成面，面動成體(幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素(點、線、面、體經過運動變化，就能組合成各種各樣的幾何圖形，形成多姿多彩的圖形世界(立體圖形:棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。,1、幾何圖形,平面圖形:三角形、四邊形、圓等。,主(正)視圖---------從正面看,2、幾何體的三視圖側(左、右)視圖-----從左(右)邊看,俯視圖---------------從上面看,(1)會判斷簡單物體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖。(2)能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。3、立體圖形的平面展開圖(1)同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平現圖形不一樣的。(2)了解直棱柱、圓柱、圓錐、的平面展開圖，能根據展開圖判斷和制作立體模型。4、點、線、面、體(1)幾何圖形的組成點:線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形。線:面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面:包圍著體的是面，分為平面和曲面。體:幾何體也簡稱體。(2)點動成線，線動成面，面動成體。一.快速識別正方體的平面展開圖圖形分類正方體的平面展開圖按展開圖中正方形所在的行數及正方形的個數，歸納起來有四情形.1.1,4,1型:展開圖有3行，中間一行有4個正方形，其余兩行均1個正方形，如圖1中所示.圖12.2,3,1型:展開圖有3行，中間一行有3個正方形，第1行有2個正方形，第3行有1個正方形，如圖2中所示.圖23.2,2,2型:展開圖有3行，每一行均有2個正方形，如圖3所示.圖3圖44.3,3型:展開圖有2行，每一行均有3個正方形，如圖4所示.規律:這里給出幾種不是正方體的展開圖的情況:(1)出現“田”字格;(2)出現“”的形狀;(3)連續四個正方形連成一行，而另外兩個都在這“一行”的同側;(4)連續五個連成一行。記住上面這四個規律，解答時采用排除法又快又準。二.快速確定正方體的“對面”I如下圖，我們先來統一以下認識:把含有圖(1)所示或可由其作旋轉后的圖形統稱為“”型圖;把所給平面圖Z中含有(2)、(3)、(4)所示或可由其作旋轉后的圖形統稱為“”型圖。(1)(2)(3)(4)ZI結論:如果給定的平面圖形能折疊成一個正方體，那么在這個平面圖形中所含的“”型圖或“”型圖兩端的正方形(陰影部分)必為折成正方體后的對面。應用上面的結論，我們可以迅速地確定出正方體的“對面”。(二)直線、射線、線段直線1、直線的兩種表示方法:(1)用直線上的兩個大寫字母表示(如圖:記作直線(表示直線的兩個大寫字母可以是直線上的任意兩點，兩個字母的順序可以隨意排放(2)用一個小寫字母表示(如圖:記作直線(若點C是線段AB的中點，則有AC=BC=AB或AB=2AC=2BC.兩點間的距離:連接兩點之間的線段的長度.直線的性質經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。簡單地:兩點確定一條直線。點與直線的位置關系(1)點在直線上，如圖，敘述方法:點在直線上，或直線經過點((2)點在直線外，如圖，敘述方法:點在直線外，或直線不經過點(相交直線如果兩條直線有一個交點，我們叫這兩條直線相交(這個公共點叫做它們的交點，這兩條直線叫相交直線(射線射線:直線上的一點和它一旁的部分叫做射線，這個點叫做射線的端點(射線的表示方法(1)可以用兩個大寫字母表示:代表端點的字母寫在前面。(2)射線也可以用一個小寫字母表示(線段線段:直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段(這兩點叫做線段的端點(4(線段的表示方法線段的兩種表示方法:1、為端點的線段，可以記作線段或線段對字母的排放順序沒有要求;2也可以記作線段(線段的中點(二等分點)、三等分點、四等分點等定義:把一條線段平均分成兩條相等線段的點。圖形:AMB符號:若點M是線段AB的中點，則AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。線段的性質兩點的所有連線中，線段最短。簡單地:兩點之間，線段最短。線段的畫法(1)畫線段時，要畫出兩個端點之間的部分，不要畫出向任何一方延伸的情況((2)以后我們說“連結”就是指畫以、為端點的線段(說明:“連結”是幾何的專用名詞，專指畫出兩點間的線段的意思(線段大小比較的兩種比較方法:1重疊比較法將兩條線段的各一個端點對齊，看另一個端點的位置(步驟有三:(1)將線段AB的端點A與線段CD的端點C重合((2)線段AB沿著線段CD的方向落下((3)若端點B與端點D重合，則得到線段AB等于線段CD，可以記AB=CD(若端點B落在D上，則得到線段AB小于線段CD，可以記作AB,CD(若端點B落在D外，則得到線段AB大于線段CD，可以記作AB,CD(2度量法直線射線線段區別聯系直線射線線段圖形直線上的一點和它直線上兩個點和它一旁的部分叫做射們之間的部分叫做定義線，這個點叫做射線段(這兩點叫做線線的端點(段的端點(聯系射線、線段都是直線的一部分，線段是直線的有限部分(直線無端點，長度無限，向兩方無限延伸(射線只有一個區別端點，長度無限，向一方無限延伸(線段有兩個端點，長度有限(端點個數無一個兩個直線a線段a表示法射線AB直線AB(BA)線段AB(BA)作線段a;作直線AB;作法敘述作射線AB作線段AB;作直線a連接AB延長線段AB;延長敘述不能延長反向延長射線AB反向延長線段BA端點個延伸方向可否度量表示方法相同點數線段2無能兩種向一方延都是直的，由無數個點組射線1不能兩種伸成，沒有粗細之分，線段、射線都是直線的一部分。向兩方延直線0不能兩種伸1、直線沒有端點，他可以向兩方無限延伸，因此他的長度是無限的，我們不能度量他的長度;射線有一個端點，他可以向一方無限延伸，因此他的長度也是無限的;線段有兩個端點，他不能向任何一方延伸，所以既可以度量他們的長度，也可以用度量法或疊合法(即把其中一條線段移到另一條線段上去)比較他們的大小。另外，線段不能延伸，但他可以延長，而直線和射線能延伸，卻不能延長。特別地，射線可以反向延長。2、如圖，三兄弟都可以用一個小寫字母來表示，但用大小字母來表示時，就要注意:?線段用表示端點的兩個字母來表示，圖1中的線段可表示為線段AB或線段BA;?射線用表示端點的字母和表示射線上另一點的字母來表示的，這兩個字母有嚴格的先后順序，必須把表示端點的字母寫在前面，圖2中的射線只能表示為射線OC;?直線可以用它上面的任意兩個點的字母來表示，圖3中的直線可表示為直線DE或直線ED。3、如圖3，過點D和E有且只有一條直線，即兩點確定一條直線，這里的“確定”和“有且只有”的含義相同。“有”是指直線的存在性，“只有”指直線的惟一性。不難看出，過點D、E的線段和射線都是存在的，但他們都不是惟一的。4、線段是三兄弟中最小的，他的故事卻是最多的，這里先向大家介紹兩個:(1)把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做這條線段的中點。如圖，若點C是線段AB的中點，則有1AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC。2(2)兩點之間，線段最短。(三)角1.角的相關概念及計算角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫角的頂點，這兩條射線叫角的兩邊(角:角還可以看成是一條射線從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形(2、角的表示法(四種):平角、周角的概念射線繞點旋轉，終止位置和起始位置成一條直線時，所成的角叫平角，如圖2所示(同樣可表示為，頂點，兩邊為射線和射線(繼續旋轉，回到起始位置時，所成的角叫做周角，如圖3所示(周角的頂點為，兩邊重合成一條射線(直線上取點表示點在直線上的位置，而平角是由頂點和邊組成的角這一幾何圖形(3、角的度量單位及換算度、分、秒的互換:如果一個角比1?還小，那么怎樣度量它的大小,為了更精密地度量角(我們把1?的角60等份，每一份叫做1分的角，1分記作1';又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒記作1''(即1?,60'，1',60''(這表明角的度、分、秒是60進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的(4、角的分類?β銳角直角鈍角平角周角范圍0,?β,90??β=90?90?,?β,180??β=180??β=360?知識結構5角的大小的比較有兩種方法:(1)重合法:即把要比較的兩個角的頂點和一條邊重合，再比較另一條邊的位置;?與重合，等于，記作(?落在的內部，小于，記作(?落在的外部，大于，記作(在比較角的大小時，應注意角的大小只與開口的大小有關，而與角的邊畫出部分的長短無關(這是因為角的邊是射線而非線段(若用射線旋轉成角的定義，也可以說轉得較多的角較大((2)度量法:即比較兩個角的度數(利用比較角大小的上述兩種方法，就可以畫出角的和、差、倍、分，并進而比較角的和、差、倍、分的大小(6角的和、差、倍、分(1)在內部時，是與的差，記作:((2)在外部時，是與的和，記作:(7、畫一個角等于已知角(1)借助三角尺能畫出15?的倍數的角，在0,180?之間共能畫出11個角。(2)借助量角器能畫出給定度數的角。(3)用尺規作圖法。8、角平分線定義:一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線(幾何語言表示:是的平分線，(或)(對于角平分線的概念，要注意以下兩點:(1)它是角的內部的一條射線，并且是一條特殊的射線，它把角分成了相等的兩部分((2)要掌握角平分線的數學表達式:若OC是的平分線，則或知識結構9、互余、互補(1)若?1+?2=90?，則?1與?2互為余角。其中?1是?2的余角，?2是?1的余角。(2)若?1+?2=180?，則?1與?2互為補角。其中?1是?2的補角，?2是?1的補角。(3)余(補)角的性質:等角的補(余)角相等。?與互補，?即(?與互補，?即(?，?(若兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角，若兩個角的和是一個平角，這兩個角叫做互為補角(理解這兩個概念，要把握以下幾點:(1)必須具備兩個角;(2)兩個角的和是一個定值:互余兩角的和是，互補兩角的和是;(3)與兩個角的位置無關，只考慮兩角間的數量關系(10、方向角(1)正方向(2)北(南)偏東(西)方向(3)東(西)北(南)方向第四章數據的收集與整理一、數據處理的一般過程描全面調查收整分得表格統計圖述集理析出格不格不入數數數數結入據據據據論抽樣調查二、設計調查問卷的步驟1、確定調查目的2、選擇調查對象3、設計調查問題三、設計調查問卷時要注意1、提問時不涉及提者個人的觀點2、不要提人們不原意回答的問題3、提供的答案要盡可能全面4、問題應簡明5、問卷應簡短1.普查、抽樣調查的概念為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查.普查可以直接獲得總體的情況，但有時總體中個體的數目較多，普查的工作量較大;有時受客觀條件的限制，無法對所有個體進行普查;有時普查具有破壞性，不允許普查，這時人們往往從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查.如何從總體中選取樣本比較合理要想使樣本具有代表性，不偏向總體中的某些個性，有一個對每個個體都公平的方法，決定哪些個體進入樣本，這種理想的抽樣方法我們把它稱為簡單的隨機抽樣.簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣.其特點是:每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性.簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎.通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法.為了確保調查結果的準確性，調查對象在總體中要有代表性，樣本容量要足夠大.如何進行隨機抽樣常見的隨機抽樣方式有以下幾種:1.抽簽法抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，記下號簽上的號碼，就得到一個容量為n的樣本.抽簽法的優點是簡單易行;缺點是，當總體的容量非常大時，費時、費力又不方便.2.隨機數表法用抽簽法抽取樣本時，編號的過程有時可以省略(如用已有編號)，但制簽的過程就難以省去了，而且，制簽也比較麻煩.簡化抽簽過程的一個有效辦法就是制作一個表，其中的每個數都是用隨機方法產生的，這樣的表稱為隨機數表.于是，我們只需按一定的規則到隨機數表中選取號碼就可以.這種抽樣方法叫隨機數表法.用隨機數表法抽取樣本的步驟是:?將總體中的所有的個體編號(每個號碼位數一致);?在隨機數表中任選一數作為開始;?從選定的數開始按一定的方向讀下去，得到的數碼若不在編號中，則跳過，若在編號中，則取出，如果得到的號碼前面已經取出，也跳過，如此繼續下去，直到取滿為止;?根據選定的號碼抽取樣本.除此之外還有計算機模擬法和使用統計軟件直接抽取等方法.2.總體、個體、樣本的概念總體:普查時，所要考察對象的全體稱總體.個體:普查時，組成總體的每一個考察對象稱為個體.樣本:抽樣調查時，從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本.3.為使所抽取的樣本具有代表性，常采用以下方法:(1)隨機抽樣，這種方法常用于當總體中個體較少時;(2)系統抽樣，當總體中個體較多時，按隨機抽樣很難，可將總體分成均衡的幾個部分，按規則從每一部分抽取相同個數的個體;(3)分層抽樣，當總體由有明顯差異的幾個部分組成時，隨機抽樣與系統抽樣其代表性均不強，這時可將總體按差異情況分成幾個部分，按各部分所占比例進行抽樣.4.抽樣調查的范圍小，節省時間、人力、物力，為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時既要注意樣本的大小，同時又要注意樣本的代表性和廣泛性.第5章《二元一次方程組》總復習【回顧與思考】1(二元一次方程:含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程(從定義中可以看出:二元一次方程具備以下四個特征:(1)是方程;(2)有且只有兩個未知數;(3)方程是整式方程，即各項都是整式;(4)各項的最高次數為1.2(二元一次方程組含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組，它有兩個特點:一是方程組中每一個方程都是一次方程;二是整個方程組中含有兩個且只含有兩個未知數3(二元一次方程的一個解符合二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解(一般地二元一次方程的解有無數個(二元一次方程組的解4二元一次方程組中各個方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解(定義中的公共解是指同時使二元一次方程組中的每一個方程左右兩邊的值都相等，而不是使其中一個或部分左右兩邊的值相等，由于未知數的值必須同時滿足每一個方程，所以，二元一次方程組一般情況下只有惟一的一組解，即構成方程組的兩個二元一次方程的公共解(5.解二元一次方程組的基本思路是消元，使之轉化為一元一次方程，?消元的方法有代入消元法和加減消元法(代入消元法:由二元一次方程組中的一個方程，把一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.加減消元法:兩個二元一次方程中同一個未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程.這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.1.代入法解二元一次方程組的基本思路2(用代入法解二元一次方程組的步驟((1)變形()(2)代入消元()(3)解一元一次方程得()(4)把代入求解3(用代入法解二元一次方程組的技巧:?變形的技巧?代入的技巧(加減法解二元一次方程組的步驟(?變形，使某個未知數的系數絕對值相等(?加減消元(?解一元一次方程(?代入得另一個未知數的值，從而得方程組的解(6(列一次方程組解應用題的基本方法與列一元一次方程解應用題的方法相似(列一次方程組解應用題的常見題型有以下幾種情形:(1)和、差、倍、分問題，使兩數和,較大的數，較小的數，?較大的數,較小的數?倍數?增(或減)數;(2)行程問題，即路程,速度?時間;(3)工程問題，即工作量,工作效率?工作時間;(4)濃度問題，即溶質質量,溶液質量?濃度;(5)分配問題，即調配前后總量不變，調配后雙方有新的倍比關系;(6)等積問題，即變形前后的質量(或體積)不變;(7)數學問題，即若個位的數字為a，十位上的數字為b，百位上的數字為c，則這三位數可表示為100c+10b+a，等等;(8)經濟問題，即利息,本金?利率?期數;?本息和,本金，利息,本金，本金?利率?期數;稅后利息,本金?利率?期數?(1,利息稅率);?商品的利潤,商品的售價,商品的進價;商品的利率率,?100%;等等(第6章《不等式》總復習【回顧與思考】知識框圖同學們可根據知識網絡結構圖，按其中數碼順序，說出各個數碼所指內容，以達到梳理知識的目的.二、知識要點1.不等式的概念2用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式(如:x,1,2，3,4?4,3，a,0，a?0等都是不等式(2.不等式的解集對于一個含有未知數的不等式，任何一個使這個不等式成立的數叫做這個不等式的解(對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集(求不等式的解集的過程，叫做解不等式(3.用數軸表示不等式的方法一元一次不等式的解集用數軸表示有以下四種情況(用數軸表示不等式的解集，應記住下面的規律:大于向右畫，小于向左畫，有等號(?，?)畫實心點，無等號(>，<)畫空心圈(常用的不等號有五種，其讀法和意義是:(1)“?”讀作“不等于”，它說明兩個量是不相等的，但不能明確哪個大哪個小.(2)“,”讀作“大于”，表示其左邊的量比右邊的量大.(3)“,”讀作“小于”，表示其左邊的量比右邊的量小.(4)“?”讀作“大于或等于”，即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量.(5)“?”讀作“小于或等于”，即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量.如何恰當地列不等式表示不等關系,(1)找準題中不等關系的兩個量，并用代數式表示.(2)正確理解題目中的關鍵詞語，如:多、少、快、慢、增加了、減少了、不足、不到、不大于、不小于、不超過、非負數、至多、至少等的確切含義.(3)選用與題意符合的不等號將表示不等關系的兩個量的代數式連接起來.4.不等式的基本性質不等式的性質1:不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變(不等式的性質2:不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變(不等式的性質3:不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變(5.一元一次不等式的概念及解法一般地，只含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式叫做一元一次不等式(一元一次不等式的解法:解一元一次不等式的一般步驟:?去分母;?去括號;?移項;?合并同類項;?將項的系數化為1(注意:解不等式時，上面的五個步驟不一定都能用到，并且不一定按照順序解，要根據不等式的形式靈活安排求解步驟(6.一元一次不等式組的概念及解法一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組(幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集(求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組(當任何數都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集(一元一次不等式組的解法:(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;(2)利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集(求不等式組公共解的一般規律:同大取大，同小取小，一大一小中間找.知識要點:1(表示大小關系的式子叫做不等式(含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式(不等式有下列三個重要性質:(1)不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變;(2)不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變;(3)不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變(2(解一元一次不等式與解一元一次方程基本相同，只是在化系數為1時注意不等式性質的運用，另外，不等式的最后結果是一個解集，確定不等式組的解集時應區分以下四種情況:(1)同大取大;(2)同小取小;(3)大于小的，小于大的，取公共部分;(4)大于大的，小于小的，無解(3(列不等式解應用題的基本方法與列一元一次方程解應用題的方法基本相同(知識結構1(不等式的概念用不等號(“,”、“,”或“?”表示不等關系的式子，叫做不等式(另外，(“?”是把“,”、“,”)結合起來，讀作“大于或等于”，或記作“?”，亦即“不小于”)、(“?”是把“,”、“,”結合起來，讀作“小于或等于”，或記作“?”，也就是“不大于”)等等，也都是不等式(一、不等式的基本性質1(不等式兩邊都加上或減去同一個數或同一個整式，不等號的方向不變(若，則，(2(不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號方向不變，若，，則(3(不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號方向改變，若，，則(知識結構一般地說，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合(簡稱為這個不等式的解集(不等式一般有無限多個解(求不等式的解集的過程，叫做解不等式(不等式的解集:一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解組成這個不等式的解的集合，簡稱不等式的解集(1.不等式的解與方程的解的意義的異同點相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數的值，叫做方程的解);解的表示方法也相同(不同點:解的個數不同，一般地，一個不等式有無數多個解，而一個方程只有一個或幾個解.2.不等式的解與解集的區別與聯系不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念，不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的某個值，而不等式的解集，是指滿足這個不等式的未知數的所有的值，不等式的所有解組成了解集，解集中包括了每一個解(注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一，解集中的任何一個數值，都能使不等式成立;第二，解集外的任何一個數值，都不能使不等式成立(3.不等式解集的表示方法(1)用不等式表示一般地，一個含未知數的不等式有無數多個解，其解集是某個范圍，這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來((2)用數軸表示大于向右畫，小于向左畫;有等號的畫實心圓點，無等號的畫空心圓圈(知識結構1)一元一次不等式和一元一次方程概念的異同點相同點:二者都是只含有一個未知數，未知數的次數都是1，左、右兩邊都是整式(不同點:一元一次不等式表示不等關系，一元一次方程表示相等關系((3)同方程類似，我們把或叫做一元一次不等式的標準形式(2)一元一次不等式和一元一次方程解法的異同點相同點:步驟相同，二者都是經過變形，把左邊變成，右邊變為一個常數(不同點:在進行第(1)步去分母和第(5)步將項的系數化為1的變形時，要根據同乘(或同除)的數的正負，決定是否要改變不等號的方向(當然，如果不能確定同乘(或同除)的數的符號時，就要進行討論(這正是解不等式時最容易發生錯誤的地方(注意:(1)解方程的移項法則對解不等式同樣適用((2)解不等式時，上述的五個步驟不一定都能用到，并且也不一定按照自上而百的順序，要根據不等式形式靈活安排求解步驟(熟練后，步驟及檢驗還可以合并簡化(只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不等于0的方程叫做一元一次方程(一元二次方程的標準形式是(只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不等于0的不等式叫做一元一次不等式(一元一次不等式的標準形式為或注意問題:判斷一個不等式是否為一元一次不等式，應先將它化成最簡形式，再用定義判斷(形如的不等式不是一元一次不等式，而是矛盾不等式(解一元一次不等式與解一元一次方程有類似的步驟，但一定要注意當不等式的兩邊同乘(或除以)同一個負數時，不等號要改變方向(由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集，共歸結為下面四種基本情況:不等式組公共解的一規律:同大取大，同小取小，一大一小中間找知識要點回顧1，不等式(組)的有關概念:不等式:用不等號表示不相等關系的式子;不等式的解:能使不等式成立的未知數的值;不等式的解集:一個不等式所有解的集合;一元一次不等式:只含有一個未知數且未知數的次數是1的不等式叫一元一次不等式，其標準形式為ax,b,0或ax,b,0(a?0);一元一次不等式組:兩個或兩個以上含有相同未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式，稱為一元一次不等式組;不等式組的解集:組成不等式組的各個不等式的解集的公共部分，叫這個不等式組的解集.2，不等式的基本性質:不等式的基本性質1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變.用字母表示為:如果a,b，那么a?c,b?c.不等式的基本性質2:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.ab用字母表示為:如果a,b，且c,0，那么ac,bc(,).cc不等式的基本性質3:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.ab用字母表示為:如果a,b，且c,0，那么ac,bc(,).cc3，一元一次不等式與一元一次方程的對比:區別:?概念含義不同:一元一次不等式的一般形式是ax,b或ax,b，(a?0)，表示不等關系;而一元一次方程的一般形式是ax,b(a?0)，表示相等關系;?解法的根據不同:解不等式的根據是不等式的三條性質，而解方程的根據是等式性質，特別是兩邊同乘以(或除以)一個負數時，不等式的不等號方向要改變，而方程的等號不變;?解不同:一元一次不等式的解是一個范圍，是一個集合(即解集)，而一元一次方程的解是一個特定的解.聯系:?它們都是含有一個未知數，未知數的次數都是1，系數不等于,;?解法的五個步驟相同:?去分母;?去括號;?移項;?合并同類項;?系數化1.解不等式時要根據實際題目的要求做到靈活安排，并合理選取解題步驟，需要注意的是系數化1時，如果不等式兩邊乘以或除以同一個正數，則不改變不等號的方向;但不等式兩邊乘以或除以同一個負數，則一定要改變不等號的方向.4，一元一次不等式組的解法:先分別求出不等式組中的每個不等式的解集;再求出它們的公共部分，找公共部分的方法有兩種:一是數軸法:將不等式組中每個不等式的解集在數軸上表示出來，公共部分就是這個不等式組的解集，無公共部分就說這個不等式組無解.二是口訣法:?大的取大的;?小的取小的;?大的要小，小的要大，取公共部分;xa,,xa,,,,?大的要大，小的要小，無解.則有:?的解集是x,b,即“大的取大的”;?的解集是x,a,即“小的,,xb,xb,,,xa,,xa,,,,取小的”;?的解集是a,x,b，即“大的要小，小的要大，取公共部分”;?的解集是空集,即“大的,,xb,xb,,,要大，小的要小，無解”.5，一元一次不等式和一元一次不等式組應用.四、易混、易錯問題梳理1，搞清不等號與一些詞語含義的對應關系，如:“,”表示大于、高出、多于、超過，“,”表示小于、低于、不足、合算，“?”表示大于或等于、不少于、不低于、至少，“?”表示小于或等于、不大于、不超過、至多弄清“或”與“且”的用法:“或”表示兩者居其一即可，而“且”表示兩者必須同時符合，缺一不可.2，3，在數軸上表示解集時注意:(1)方向:向左表示小于、向右表示大于;(2)空心點表示不包括，實心點表示包括該點表示的數(即含有等于).4，解不等式(組)要注意:(1)遷移錯誤(由解方程遷移來的錯誤);(2)性質使用不當;(3)概念理解不清;(4)移項不變號;(5)不等方向問題等.5，特別要注意不等式的性質3的應用.6，注意對一元一次不等式和一元一次不等式組的整數解、非負整數解等特殊解的理解和求法.不等式與方程“五對比”不等式與方程既有區別，又有聯系(下面以一元一次不等式與一元一次方程為例，對比如下:一.概念的對比含有未知數的等式叫方程(而“只含有一個未知數，且含未知數的式子是整式，未知數的次數是1”的方程叫一元一次方程(用“<”或“>”號表示大小關系的式子，叫做不等式(而“類似于一元一次方程，含有一個未知數，未知數的次數是1”的不等式叫做一元一次不等式(,,,,,由上可以看出，一元一次不等式與一元一次方程不同的是:前者是用不等號(、)將代數式連接而成，,,axb，,0axb，,0a,0它的一般形式是:或()，后者(方程)是用等號()將代數式連接而成，它的一般形式,是:axba，,,0(0)(二者的相同點是:(1)都只含有一個未知數;(2)含未知數的式子是整式;(3)未知數的次數是1(二.變形依據的對比一元一次不等式的變形依據是不等式的性質，而一元一次方程的變形依據是等式的性質，如下表:不等式的性質等式的性質ab,ba,ab,ba,若，則(反對稱性)若，則(對稱性)若ab,，bc,，則(傳遞性)ac,若，則(傳遞性)ac,abbc,,,ab,acbc,,,ab,acbc,,,若，則(性質1)若，則(性質1)abab,c,0acbc,若，，則，,abccacbc,若則，,abc,,,0(性質2)cc(性質2)abab,c,0acbc,若，，則，,cc(性質3)由此可知:等式兩邊都乘(或除)以同一個數時，只需考慮這個書是否為零，而不等式兩邊都乘(或除)以同一個數時，除了考慮這個數不能為零外，還必須考慮這個數的正負性(三.求解過程的對比在求解一元一次方程與一元一次不等式時，二者一般都經過“去分母”、“去括號”、“移項”、“合并同類項”、“系數化為1”等變形后，把左邊變成一個單獨的一個未知數，右邊變成一個常數(但不同的是，在“去分母”與“系數化為1”時，方程兩邊都乘以(或除以)同一個正數或負數，等號不變，而在不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數時，不等號的方向改變(舉例說明如下:xx,，14例1(解方程:,,,232解:去分母，得:，2(1)3(4)12xx,,，,,2231212xx,,,,,去括號，得:，,,x2移項、合并同類項，得:，x,,2，得:(系數化為1xx,，14例2(解不等式:,,,232解:去分母，得:2(1)3(4)12xx,,，,,2231212xx,,,,,去括號，得:,,x2移項，合并同類項，得:x,,2系數化為1，得:同學們在仔細比較上面解方程與解不等式的解題過程后，用學過的解一元一次方程的知識來解一元一次不等式，就顯得十分簡單(四.解的對比一般地，一元一次方程的解只有一個，而不等式(如的解有無數個，這無數個解組成了該不等式解的251)x,,集合，簡稱為不等式的解集(它們的共同點是:無論是一元一次方程的解，還是一元一次不等式的解，都能使方程或不等式成立(五.確定參數過程的對比已知方程的解，確定方程中的參數，可根據方程的解的意義，將其解代入原方程，便得到關于參數為元的新方程，解新方程可求得參數(231xmx,,，例3.已知方程m的解是3，求的值(2233，,31m，m,解:根據方程的解的意義，得:=，解得(3若已知不等式的解集，確定該不等式中的參數，一般是先解不等式，與其解集比較后再確定參數(23x,,mx，1x,3a例4(已知不等式的解集是，求的值(23x,,mx，1(2)4,,mx解:由不等式得42x,320,,m,3m,與其解集比較，得，且，解得(32,m第7章《實數》總復習【回顧與思考】1(平方根的性質:(1)一個正數有兩個平方根，它們互為相反數;(2)0有一個平方根，它是0本身;(3)負數沒有平方根，正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0(?求一個非負數的平方根的運算，叫做開平方(開平方與平方是互逆運算，可以通過平方運算來求一個數的平方根，以及檢驗是不是另一個數的平方根(平方根的表示方法一個正數a的正的平方根，用符號“”表示，a叫做被開方數，2叫做根指數，正數a的負的平方根用符號“-”表示，a的平方根合起來記作，其中讀作“二次根號”，讀作“二次根號下a”(根指數為2時，通常將這個2省略不寫，所以正數a的平方根也可記作“”讀作“正、負根號a”.32(如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根(若x=a，則x叫做a的立方根?。求一個數的立方根的運算，叫做開立方(開立方與立方是互逆運算，任何數都有立方根，而負數沒有平方根，這是開立方與開平方的重要區別(立方根的表示方法:類似于平方根德表示方法，數a的立方根我們用符號來表示.讀作“三次根號下a”，其中a叫做被開方數，3叫做根指數，注意，在前面我們學習平方根的表示方法說過當根指數為2時可以省略不寫，現在是立方根了，這個根指數3是絕對不可省的，否則就會與平方根混淆了，立方根的性質:(1)正數有一個正的立方根((2)負數有一個負的立方根((3)0的立方根是0(立方根的性質與平方根的性質做個比較，平方根中，正數有兩個平方根，它們互為相反數，正數只有一個正的立方根;在平方根中負數是沒有平方根的，而負數有一個負的立方根;平方根與立方根唯一相同之處是0的平方根，立方根都是它本身(3(有理數和無理數統稱為實數，實數的分類可以從兩個角度去思考(?(請同學們進行思考)4(實數和有理數一樣也有許多重要的性質，可從以下幾方面去思考:(1)實數a的相反數是-a，具體地，若a與b互為相反數，則a+b=0;反之，?若a+b=0，則a與b互為相反數;(2)一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0;(3)乘積為1的兩個實數互為倒數，即若a與b互為倒數，則ab=1;反之，若ab=?1，則a與b互為倒數(這里應特別注意的是0沒有倒數;(4)實數與數軸上的點是一一對應的(?也就是說所有的實數都可以用數軸上的點來表示;反之，數軸上的每一個點都表示一個實數;(5)任意兩個實數都可以比較大小;(5)在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、?開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行(另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用(第8章相交線平行線小結與復習教學過程設計(一)創設現實情景，引入新課[師]平行線、相交線在現實生活中隨處可見，同時它們又構成同一平面內兩條直線的基本位置關系。在這一章里，我們探索了平行線、相交線的有關事實，并以直觀認識為基礎進行簡單的說理，將直觀與簡單的推理相結合，且借助平行的有關結論解決一些簡單的實際問題。下面我們以問題形式來順理本章的有關內容。(二)講授新課]判斷兩條直線平行的途徑有:(1)定義(不常用)。(2)兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行。(3)同位角相等，兩直線平行。(4)內錯角相等，兩直線平行。(5)同旁內角互補，兩直線平行。平行線的特征有:兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。平移的性質(1)平移不改變圖形的形狀和大小。(2)經過平移，對應線段、對應角分別相等。新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點。連接各組對應點的線段平行且相等。相交線補角、余角、對頂角,,,,同位角,,,,,探索直線平行的條件內錯角,,,,,同旁內角,,,,相交線與平行線平行線,,同位角,,,,,,探索直線平行的特征內錯角,,,,同旁內角,,,,,平移平移的性質及簡單的應用,,,知識結構1(對頂角和鄰補角的概念有一個公共頂點O，沒有公共邊，像這樣的兩個角叫做對頂角(強調以下兩點:(1)辨認對頂角的要領:一看是不是兩條直線相交所成的角，對頂角與相交線是唇齒相依，哪里有相交直線，哪里就有對頂角，反過來，哪里有對頂角，哪里就有相交線;二看是不是有公共頂點;三看是不是沒有公共邊(符合這三個條件時，才能確定這兩個角是對頂角，只具備一個或兩個條件都不行((2)對頂角是成對存在的，它們互為對頂角，如?1是?3的對頂角，同時，?3是?1的對頂角，也常說?1和?3是對頂角(?l和?2也是直線AB、CD相交得到的，它們不僅有一個公共頂點O，還有一條公共邊OA，像這樣的兩個角叫做鄰補角(鄰補角也可以看成是一條直線與端點在這條直線上的一條射線組成的兩個角，由此可知，鄰補角是有特殊位置關系的兩個互補的角(2(對頂角的性質對頂角相等角的名稱特征性質相同點不同點?兩條直線相交面成都是兩對頂角沒的角直線相交而有公共邊而鄰成的角，都補角有一條公對頂角對頂角相等?有一個公共頂點有一個公共共邊;兩條直線頂點，它們相交時，一個有都是成對出的對頂角有一?沒有公共邊現。個，而一個角的?兩條直線相交面成鄰補角有兩個。的角鄰補角鄰補角互補?有一個公共頂點?有一條公共邊知識結構1(垂直定義當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的里線，它們的支點叫做垂足(2(垂直的記法、讀法和判定:?直線垂直的記法讀法:直線AB、CD互相垂直，記作“AB?CD”域“CD?AB”，讀作“AB垂直于CD”，如果垂足為O，記作“AB?CD，垂足為O”(如圖右上)(?垂直判定:??AOC=90?，??(垂直的定義)(ABCD?AB?CD(已知)，??AOC,90?(垂直的定義)(3(垂線的畫法及性質垂線的第一條性質:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(知識結構歸納總結(相交直線在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線(平行用符號“”表示，如圖直線與是平行線記作“”(或)讀作“平行于”(或平行于)也就是說平行是相互的(在同一平面內，兩直線不重合的位置關系有相交和平行.平行公理:經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行(平行公理的推論(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行(判定文字敘述符號語言圖形?(已知)，第一同位角相等，兩直線平行種?()(?(已知)，第二內錯角相等，兩直線平行種?()(第三同旁內角互補，兩直線平?(已種行知，)?()(平行線的性質判定:1.平行線的性質性質1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成:兩直線平行，同位角相等.性質2:兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成:兩直線平行，內錯角相等.性質3:兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成:兩直線平行，同旁內角互補.2.兩條平行線的距離同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離.對于這個概念，應注意三點:(1)兩條直線必須是平行的;(2)第三條直線同時垂直于它們;(3)距離是線段的長度，是個具體的數，而不是線段這個圖形.3.關于命題判斷一件事情的語句叫做命題.每個命題都是由條件和結論兩部分組成的.4.平移的概念在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動就稱做為平移.5.平移的基本特征平移的基本特征是:經過平移，對應點所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.應用“對頂角相等”及等式的基本性質可以得出:1.兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同位角相等，那么其他幾對同位角也相等，并且內錯角相等，同旁內角互補.2.兩條直線被第三條直線所截，如果有一對內錯角相等，那么另一對內錯角也相等，并且同位角相等，同旁內角互補.兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同旁內角互補，那么另一對同旁內角也互補，并且同位3.角相等，并且內錯角相等.知識結構命題:判斷一件事情的句子，叫做命題命題的定義包括兩層涵義:?命題必須是一個完整的句子;?這個句子必須對某件事情做出肯定或者否定的判斷(即命題是判斷某一件事情的句子(在語法上，這樣的句子叫做陳述句，它由“題設+結論”構成(命題的組成每個命題都是由題設、結論兩部分組成(題設是已知事項;結論是由已知事項推出的事項(命題常寫成“如果?，那么?”的形式(具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結論(有些命題，沒有寫成“如果?，那么?”的形式，題設和結論不明顯(對于這樣的命題，要經過分折才能找出題設和結論，也可以將它們改寫成“如果?那么?”的形式(另外命題的題設(條件)部分，有時也可用“已知??”或者“若??”等形式表述;命題的結論部分，有時也可用“求證??”或“則??”等形式表述(真、假命題定義(真命題:如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題，叫做真命題(假命題:如果題設成立，結論不成立，這樣的命題都是錯誤的命題，叫做假命題(注意:(1)真命題中的“一定成立”不能有一個例外((2)假命題中“結論不成立”是指“不能保證結論總是正確”。(3)注意命題與假命題的區別(((4)命題是一個判斷，判斷的結果就有對錯之分(因此就要引入真假命題，強調真假命題的大前提，首先是命題(知識結構1(命題證明步驟第一步，畫出命題的圖形(先根據命題的題設即已知條件，畫出圖形，再把命題的結論即求證的內容在圖上標出(還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達(第二步，結合圖形寫出已知、求證(把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中(第三步，經過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程(知識結構:第九章平面直角坐標系小結與復習知識網絡一、平面直角坐標系1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。平面直角坐標系，水平的數軸叫做x軸或橫軸(正方向向右)，