專題03函數的單調性思維導圖核心考點聚焦考點一：利用導數求函數的單調區間考點二：函數圖象與導函數圖象的關系考點三：已知單調性求參數的取值范圍考點四：判斷、證明函數的單調性考點五：含參數單調性討論情形一：函數為一次函數情形二：函數為準一次函數情形三：函數為二次函數型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函數為準二次函數型知識點一、函數的單調性與導數的關系導數的符號與函數的單調性：一般地，設函數在某個區間內有導數，則在這個區間上，①若，則在這個區間上單調遞增；②若，則在這個區間上單調遞減；③若恒有，則在這一區間上為常函數．反之，若在某區間上單調遞增，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）．知識點詮釋：1、因為導數的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區間上，即切線斜率為正時，函數在這個區間上單調遞增；當在某區間上，即切線斜率為負時，函數在這個區間上單調遞減；即導函數的正負決定了原函數的增減．2、若在某區間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍單調遞增（減函數的情形完全類似）．即在某區間上，在這個區間上單調遞增；在這個區間上單調遞減，但反之不成立．3、在某區間上單調遞增在該區間；在某區間上單調遞減在該區間．在區間內，．．（或）是在區間內單調遞增（或減）的充分不必要條件！例如：，，，而在R上遞增．4、只有在某區間內恒有，這個函數在這個區間上才為常數函數．5、注意導函數圖象與原函數圖象間關系．知識點二、利用導數研究函數的單調性利用導數判斷函數單調性的基本方法設函數在區間內可導，（1）如果恒有，則函數在內單調遞增；（2）如果恒有，則函數在內單調遞減；（3）如果恒有，則函數在內為常數函數．知識點詮釋：（1）若函數在區間內單調遞增，則，若函數在內單調遞減，則．（2）或恒成立，求參數值的范圍的方法——分離參數法：或．知識點三、利用導數求函數單調區間的基本步驟（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）在函數的定義域內解不等式或；（4）確定的單調區間．或者：令，求出它在定義域內的一切實數根．把這些實數根和函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義區間分成若干個小區間，判斷在各個小區間內的符號．知識點詮釋：1、求函數單調區間時，要注意單調區間一定是函數定義域的子集．2、求單調區間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．討論單調區間問題類型一：不含參數單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續的區間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根做圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區間段已知，可直接得出結論）；（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導．（7）借助二階定區間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段）；類型二：含參數單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；（5）導數圖像定區間；考點剖析考點一：利用導數求函數的單調區間例1．（2024·河南省直轄縣級單位·高二校考期末）的單調增區間為.例2．（2024·寧夏銀川·高二寧夏育才中學校考階段練習）函數的單調遞減區間是.例3．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考）函數的增區間為．變式1．（2024·吉林長春·高二長春外國語學校校考階段練習）函數的單調遞減區間為.考點二：函數圖象與導函數圖象的關系例4．（2024·高二課時練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

例5．（2024·廣東深圳·高二深圳市龍崗區龍城高級中學校考）已知函數的圖像如圖所示，則其導函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．例6．（2024·四川樂山·高二校考）已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．變式2．（2024·內蒙古烏蘭察布·高二校考階段練習）已知是函數的導數．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

考點三：已知單調性求參數的取值范圍例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中學校考階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．例8．（2024·廣西南寧·高二賓陽中學校聯考期末）已知函數在區間上單調遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1變式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考）若函數的單調遞減區間為，則實數k的值為（

）A．1 B． C．3 D．變式4．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考期末）已知函數在定義域內單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點四：判斷、證明函數的單調性例10．（多選題）（2024·貴州黔東南·高三校聯考階段練習）下列函數在定義域上為增函數的有（

）A． B．C． D．例11．（2024·全國·高二隨堂練習）討論函數在區間內的單調性．例12．（2024·高二課時練習）已知函數．討論的單調性．變式5．（2024·河南省直轄縣級單位·高二校考）已知，且，證明函數在內是減函數．考點五：含參數單調性討論情形一：函數為一次函數例13．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，求函數的單調區間．例14．（2024·四川眉山·高二校考）已知函數．(1)若在上單調遞增，求的取值范圍．(2)求的單調區間.例15．（2024·甘肅武威·高二統考）已知函數.(1)若曲線在x＝1處的切線與直線2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函數的單調區間．變式6．（2024·高二課時練習）已知函數，其中，.討論函數的單調性；情形二：函數為準一次函數例16．（2024·云南師大附中模擬預測）已知函數，其中．討論的單調性；例17．（2024·云南師大附中高三階段練習）已知函數．討論的單調性；例18．（2024·高二課時練習）已知函數設是的導函數，討論函數的單調性；情形三：函數為二次函數型1、可因式分解例19．（2024·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校校考階段練習）已知函數．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數的單調性；例20．（2024·廣東江門·高二校考）已知函數．(1)當時，求函數的單調增區間．(2)當時，討論函數的單調性．例21．（2024·河北滄州·高二校考階段練習）討論函數的單調性例22．（2024·高二課時練習）已知函數．求函數的單調區間．2、不可因式分解型例23．（2024·全國·高二專題練習）已知函數.討論的單調性．變式7．（2024·江蘇徐州·高二校考階段練習）已知函數.(1)在上是增函數，求a的取值范圍；(2)討論函數的單調性．變式8．（2024·高二課時練習）討論函數的單調性．情形四：函數為準二次函數型例24．（2024·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）已知函數.(1)證明:，有；(2)設，討論的單調性.例25．（2024·福建泉州·統考模擬預測）已知函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性.例26．（2024·全國·高二專題練習）已知函數，其中，．求函數的單調區間；過關檢測一、單選題1．（2024·陜西西安·高二校考期末）函數的單調遞減區間是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北滄州·高二校考階段練習）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶江北·高二重慶十八中校考）若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考階段練習）函數在區間上是單調減函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·寧夏銀川·高二寧夏育才中學校考階段練習）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考）已知函數，是函數的導函數，則的圖像大致是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

8．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中學校考期末）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·高二課時練習）如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區間上是減函數B．在區間上是減函數C．在區間上是增函數D．在區間上是增函數10．（2024·山東淄博·高二校考階段練習）已知，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．的單調遞減區間為C．在處的切線方程為 D．的單調遞增區間為11．（2024·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學校考階段練習）設函數，都是單調函數，其導函數分別為，，令，則下列說法中一定正確的是（

）A．若，，則單調遞增 B．若，，則單調遞增C．若，，則單調遞減 D．若，，則單調遞減12．（2024·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習）設函數在上存在導函數，對于任意的實數，都有，當時，，，且，若，則實數的可能取值為（

）A． B． C．1 D．2三、填空題13．（2024·上海·高二校考階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為．14．（2024·高二課時練習）函數在上的單調遞增區間為.15．（2024·江蘇鎮江·高二校考階段練習）已知函數，其中是自然對數的底數，若，則實數的取值范圍是．16．（2024·北京海淀·高二統考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是．四、解答題17．（2024·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區紅橋高級中學校考階段練習）已知函數，且.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的單調區間.18．（2024·浙江杭州·高二杭州市