高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市2022-2023學年高二下學期期中數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據求導公式和導數的加法，.故選：A2.已知等差數列的前n項和為則（）A.18 B.21 C.39 D.42〖答案〗C〖解析〗因為等差數列的前n項和為所以，故選：C3.如果一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為，記次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗伯努利試驗中隨機變量服從二項分布，即，因為出現“成功”的概率為，所以，因為次獨立重復試驗，所以，所以.故選：.4.已知函數的導函數為，若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由函數，可得，令，可得，解得.故選：A.5.某學校對高二學生是否喜歡閱讀進行隨機調查，調查的數據如下表所示：喜歡閱讀不喜歡閱讀總計男學生302050女學生401050總計7030100根據表中的數據，下列對該校高二學生的說法正確的是（）P（x2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828A.沒有95%以上的把握認為“性別與是否喜歡閱讀有關”B.有99%以上的把握認為“性別與是否喜歡閱讀有關”C.在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“性別與是否喜歡閱讀有關”D.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“性別與是否喜歡閱讀有關”〖答案〗D〖解析〗A.因為，所以有95%以上的把握認為“性別與是否喜歡閱讀有關”，故錯誤；B.因為，所以沒有99%以上的把握認為“性別與是否喜歡閱讀有關”，故錯誤；C.因為，所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，不能認為“性別與是否喜歡閱讀有關”，故錯誤；D.因為，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“性別與是否喜歡閱讀有關”，故D正確；故選：D6.若的展開式中，所有的二項式系數之和為64，則該展開式中的常數項為（）A.10 B.20 C. D.〖答案〗D〖解析〗根據題意可得，解得，則展開式的通項為，令，得，所以常數項為：.故選：D.7.已知數列{an}的前n項和為，，，則（）A.64 B.62 C.32 D.30〖答案〗B〖解析〗，，則，，，.故.故選：B8.已知是定義在上的可導函數，且滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為定義在上，所以中的式子要有意義，需滿足，解得.因為，所以，即，設函數，則在定義域上單調遞減.要求，則當，即時，，即，所以，解得或，所以；當，即時，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，當時，有，顯然成立；綜上，的解集為.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.相關系數r越小，說明兩個變量之間的線性相關性越弱B.若P（B|A）=P（B），且P（B）>0，則事件A，B相互獨立C.回歸直線恒過樣本中心點，且至少經過一個樣本點D.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好〖答案〗BD〖解析〗線性相關系數越大，兩個變量的線性相關性越強，故選項A錯誤；因為P（B|A）=P（B），且P（B）>0，所以事件A，B相互獨立，故選項B正確；回歸直線恒過樣本中心點，當不一定經過樣本點，故選項C錯誤；殘差平方和越小的模型，線性回歸模型的擬合效果越好，故選項D正確；故選：BD.10.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則（）A.有且僅有兩個極值點B.在區(qū)間上單調遞增C.若在區(qū)間上單調遞增，則m的取值范圍為或D.可能有四個零點〖答案〗AC〖解析〗根據的圖象，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以A正確；而B錯誤；若在區(qū)間上單調遞增，則，或，解得或，所以C正確；根據函數單調性，可知函數的圖象與軸最多有三個交點，所以D錯誤.故選：AC11.圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負互不影響，記決賽中的比賽局數為X，則（）A.乙連勝三場的概率是B.C.D.的最大值是〖答案〗BD〖解析〗乙連勝三場時比賽局數可能是3,4,5，若比賽局數為3時，乙連勝三場的概率是；若比賽局數為4時，乙連勝三場的概率是；若比賽局數為5時，乙連勝三場的概率是；故選項A錯誤；由題意可知，決賽中的比賽局數的可能取值為，則；；故選項B正確；;故選項C錯誤；令，則，因為，所以當時，，當時，；當函數在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，函數取最大值，所以的最大值是，故選項D正確；故選：BD.12.給定無窮數列，若無窮數列滿足:對任意，都有，則稱與“接近”，則（）A.設則數列與“接近”B.設，，則數列與“接近”C.設數列的前四項為，，，，是一個與接近的數列，記集合，則中元素的個數為3或4D.已知是公差為的等差數列，若存在數列滿足：與接近，且在，，，中至少有100個為正數，則〖答案〗BCD〖解析〗對選項A：，錯誤；對選項B：，，正確；對選項C：，故，故，，，，故可能和相等，和相等，但不能同時成立，與不相等，故中元素的個數為3或4，正確；對選項D：是公差為的等差數列，若存在數列滿足：與接近，可得，①若，取，，，則，，，中有200個正數，符合題意；②若，取，則，，可得，則，，，中有200個正數，符合題意；③若，可令，，滿足，，則，，，中恰有100個正數，符合題意；④若，若存在數列滿足：與接近，即為，，可得，，，，中無正數，不符合題意.綜上所述：的范圍是，正確.故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應位置.13.要安排4位同學表演文藝節(jié)目的順序，要求甲不能第一個出場，則不同的安排方法共有____________種.〖答案〗18〖解析〗因為甲不能第一個出場，則甲可以排在第二，三，四的位置，共3種，剩下3名同學的排序為，所以不同的安排方法共有種.故〖答案〗為:14.已知函數在取得極值，則_____________〖答案〗0〖解析〗，由題意，此時，故，所以上，上，即上遞減，上遞增，則取得極小值，所以.故〖答案〗為：15.已知數列的前n項和為，且滿足：①從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于;②當時，S取得最大值.則____________.（寫出一個即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意可知，數列的公差，要使當時，數列的前n項和為取得最大值，則，則滿足條件，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.16.將字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3的表格中，每個格子各放一個字母.①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為____________；②若表格中一行字母完全相同的行數為ξ，則ξ的均值為____________.〖答案〗①②〖解析〗當每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時，第一列a，b，c三個字母全排列，有種方法，第二列剩下的a，b，c三個字母的排列方法有種，第三列剩下的a，b，c三個字母的排列方法有種,所以共有種排列方法，9個字母在的表格中進行排列，共有種排列方法，所以所求概率為．由題意知，行數的可能取值為0,1,3，，，，所以行數的均值為．故〖答案〗為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知曲線在坐標原點處的切線方程為.（1）求實數的值;（2）求在上的值域.解：（1），由題意得.，解得（2）由（1）知，令，即，解得或；令，即，解得.所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，則的極大值為，極小值為又因為，即在上的最大值，最小值分別為.故在上的值域為18.已知數列的前n項和為，且（1）求證：數列是等差數列；（2）設求數列的前n項和.解：（1）當時，則；當時，則；顯然當時，也滿足上式，所以.當n≥2時，則，所以數列是首項為3，公差為2的等差數列.（2）由（1）可知，，則，可得，所以數列前n項和為.19.第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數學知識，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應用于ChatGPT中.某數學素養(yǎng)提升小組設計了如下問題進行探究：現有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，請用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.解：（1）記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得：.（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率該球取自乙箱的概率因為所以該球取自乙箱的可能性更大.20.已知等比數列的公比，且，是，的等差中項.（1）求數列的通項公式;（2）已知數列滿足求.解：（1）因為是，的等差中項，所以，所以，解得，所以，所以，由可解得，所以，即數列通項公式為.（2）由題意知，所以………累加得，設，所以整理得又，所以21.從傳統(tǒng)旅游熱點重現人山人海場面，到新興旅游城市異軍突起；從“特種兵式旅游”出圈，到“味蕾游”興起；從文博演藝一票難求，到國風國潮熱度不減……2023年“五一”假期旅游市場傳遞出令人振奮的信息.這個“五一”假期，您在游玩時的滿意度如何?您對景區(qū)在“吃住行游購娛”等方方面面有哪些評價和感受?為此，某市文旅局對市內各景區(qū)進行了游客滿意度測評（滿分100分）.（1）本市一景區(qū)隨機選取了100名游客的測評成績作為樣本并進行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表.成績[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]頻率0.10.10.30.350.15按照分層抽樣的方法，先從樣本測評成績在[0，20），[80，100]的游客中隨機抽取5人，再從這5人中隨機選取3人贈送紀念品，記這3人中成績在[80，100]的人數為X，求X的分布列及期望；（2）該市文旅局規(guī)定游客滿意度測評成績在80分及以上為“好評”，并分別統(tǒng)計了該市7個景區(qū)滿意度測評的平均成績x與“好評”率y，如下表所示：x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根據數據初步判斷，可選用作為回歸方程.（i）求該回歸方程;（ii）根據以上統(tǒng)計分析，可以認為本市各景區(qū)滿意度測評平均成績x~N（μ，400），其中μ近似為樣本平均數a，估計該市景區(qū)“好評”率不低于0.78的概率為多少?參考公式與數據：若，則，線性回歸方程中，，若隨機變量，則解：（1）按照分層抽樣的方法，測評成績在[0，20）的游客有2人，[80，100]的游客有3人，則X的取值范圍是{1，2，3}，E（X）=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8.（2）（i）對兩邊取對數得，令，則根據所給公式可得，又因為所以，即k≈0.15，所以該回歸方程為（ii）由（i）及參考數據可得μ≈=63，σ=20，由y≥0.78即（可得又μ+σ=83，P（μ-σ<x<μ+σ）≈0.683由正態(tài)分布的性質得估計該市景區(qū)“好評”率不低于0.78的概率為0.1585.22.