2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常考點微專題提分精練專題18阿氏圓小題1．如圖，在中，，，點、分別是邊、的中點，點是以為圓心、以為半徑的圓弧上的動點，則的最小值等于A．4 B． C． D．2．如圖，在中，，，，以點為圓心，3為半徑做，分別交，于，兩點，點是上一個動點，則的最小值為．3．如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為．4．如圖，與軸、軸的正半軸分別相交于點、點，半徑為3，點，點，點在弧上移動，連接，，則的最小值為．5．如圖，在中，，，則的最大值為．6．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點，，所有滿足為定值）的點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在中，，，則面積的最大值為．7．如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為．8．如圖，在中，點、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．9．如圖，正方形的邊長為4，為的中點，以為圓心，為半徑作，點是上一動點，連接、，則的最小值為．10．如圖，扇形中，，，是的中點，是上一點，，是上一動點，則的最小值為．11．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，則的最小值是．12．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．13．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓，為圓上一動點，則的最小值為．14．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點，，均在格點上，點在上，且點也在格點上．的值為；（Ⅱ）是以點為圓心，2為半徑的一段圓弧．在如圖所示的網(wǎng)格中，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r，請用無刻度的直尺畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）．15．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點、，則所有符合且的點會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸，軸上分別有點，，點是平面內(nèi)一動點，且，設(shè)，求的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）解：在上取點，使得，又，．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在中，，，，為內(nèi)一動點，滿足，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出的最小值．專題18阿氏圓小題1．如圖，在中，，，點、分別是邊、的中點，點是以為圓心、以為半徑的圓弧上的動點，則的最小值等于A．4 B． C． D．【解答】解：在上截取，連接，，，點、分別是邊、的中點，點是以為圓心、以為半徑的圓弧上的動點，，，，，，，，，在中，，，，的最小值，故選：．2．如圖，在中，，，，以點為圓心，3為半徑做，分別交，于，兩點，點是上一個動點，則的最小值為．【解答】解：在上截取，連接，，，，，，，，，，，，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，在中，，，，的最小值，故答案為：．3．如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為．【解答】解：如圖，在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．4．如圖，與軸、軸的正半軸分別相交于點、點，半徑為3，點，點，點在弧上移動，連接，，則的最小值為．【解答】解：如圖，在軸上取點，連接，點，點，點，，，，，，，，，，當(dāng)點在上時，有最小值為的長，，故答案為：．5．如圖，在中，，，則的最大值為．【解答】解：，求的最大值就是求的最大值，過作于，延長到，使得，，，，，，由勾股定理得：，，為定值，是定值，點在的外接圓上，，當(dāng)為直徑時，最大，即，，解得，，，故答案為：．6．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點，，所有滿足為定值）的點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在中，，，則面積的最大值為．【解答】解：以為頂點，為邊，在外部作，與的延長線交于點，，，，，，，，，，解得：，，，即點為定點，點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓上，如圖，過點作的垂線，交圓與點，此時點到的距離最大，即的面積最大，．故答案為：．7．如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為．【解答】解：連接，在上取一點，使得，連接，，過點作交的延長線于．，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，在中，，，，，，，的最大值為．8．如圖，在中，點、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【解答】解：延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，答案為．9．如圖，正方形的邊長為4，為的中點，以為圓心，為半徑作，點是上一動點，連接、，則的最小值為5．【解答】解：如圖，在上取一點，使得，連接，，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為5，故答案為：5．10．如圖，扇形中，，，是的中點，是上一點，，是上一動點，則的最小值為．【解答】解：如圖，延長使，連接，，，，分別是的中點，，，，，且，，，當(dāng)點，點，點三點共線時，的值最小，，，的最小值為13，的值最小值為．故答案為：．11．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，則的最小值是．【解答】解：如圖，取點，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：．12．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．【解答】解：作于，作于，，，，，，，，，當(dāng)與相切時，取得最大和最小，如圖1，連接，，可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，，如圖2，由上知：，，，，，．13．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓，為圓上一動點，則的最小值為．【解答】解：設(shè)半徑為，，，取的中點，連接，，，，，是公共角，，，，，當(dāng)、、在一條直線上時，最小，作于，，，，，最小值，，的最小值是．故答案是．三．解答題（共2小題）14．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點，，均在格點上，點在上，且點也在格點上．的值為；（Ⅱ）是以點為圓心，2為半徑的一段圓弧．在如圖所示的網(wǎng)格中，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r，請用無刻度的直尺畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）．【解答】解：（1）由題意，，，故答案為：．（2）如圖，取格點，，連接交于，連接交于，連接，點即為所求．故答案為：通過取格點、，使得，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化為，利用兩點之間線段最短即可解決問題．15．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點、，則所有符合且的點會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸，軸上分別有點，，點是平面內(nèi)一動點，且，設(shè)，求的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）解：在上取點，使得，又，．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在中，，，，為內(nèi)一動點，滿足，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出的最小值．【解答】解（1）在上取點，使得，又，．，，，當(dāng)取最小值時，有最小值，即，，三點共線時有最小值，利用勾股定理得．（2），，在上取一點，使得，的最小值為．專題19瓜豆小題1．如圖，正方形的邊長為5，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．如圖，在中，，，，點在邊上運動（可與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，則長的最小值為．3．如圖，在中，，點在邊上，，，點是邊所在直線上的一動點，連接，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．4．如圖，長方形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為．5．如圖，正方形的邊長為8，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．6．如圖，已知點，，，動點在線段上，點、、按逆時針順序排列，且，，當(dāng)點從點運動到點時，則點運動的路徑長為．7．如圖，，，當(dāng)點在上運動時，作等腰，，則，兩點間距離的最小值為．8．已知邊長為6的等邊中，是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點運動的過程中，當(dāng)線段長度的最小值時，的長度為．9．如圖，菱形的邊長為4，，是的中點，是對角線上的動點，連接，將線段繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)，為點對應(yīng)點，連接，則的最小值為．10．如圖，線段，點為平面上一動點，且，將線段的中點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最大值為．11．如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經(jīng)過的路徑長為．12．如圖，的直徑，為上動點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的最大值為．13．如圖，已知點是第一象限內(nèi)的一個定點，若點是以為圓心，2個單位長為半徑的圓上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊三角形．當(dāng)點在上運動一周時，點運動的路徑長是．14．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為．15．如圖，的半徑為2，到定點的距離為5，點在上，點是線段的中點，若在上運動一周．（1）點的運動路徑是一個圓；（2）始終是一個等邊三角形，直接寫出長的取值范圍．（1）思路引導(dǎo)要證點運動的路徑是一個圓，只要證點到定點的距離等于定長，由圖中的定點、定長可以發(fā)現(xiàn)，．16．若，以點為圓心，2為半徑作圓，點為該圓上的動點，連接．（1）如圖1，取點，使為等腰直角三角形，，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．①點的軌跡是（填“線段”或者“圓”；②的最小值是；（2）如圖2，以為邊作等邊（點、、按照順時針方向排列），在點運動過程中，求的最大值．（3）如圖3，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點，連接，則的最小值為．專題19瓜豆小題1．如圖，正方形的邊長為5，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【解答】解：由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運動，點也一定在直線軌跡上運動，將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，，，，為等邊三角形，點在垂直于的直線上，作，則即為的最小值，作，可知四邊形為矩形，，，則，故選：．二．填空題（共13小題）2．如圖，在中，，，，點在邊上運動（可與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，則長的最小值為．【解答】解：如圖所示，以為底邊向上作三等腰，連接．由題意可得和均為頂角為的等腰三角形，可得，，，，，，當(dāng)時，有最小，即此時最小，如圖所示，設(shè)，延長與交，此時為的最小值，可得，中，，，，，，，，，，，，，，，，，．3．如圖，在中，，點在邊上，，，點是邊所在直線上的一動點，連接，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．【解答】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點作于，，，，是等邊三角形，，，，，，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，，在和中，，，，當(dāng)有最小值時，有最小值，由垂線段最短可得：當(dāng)時，有最小值，此時，，，，四邊形是矩形，，故答案為：．4．如圖，長方形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為．【解答】解：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)30度，得到，連接，過點作于，過點作于，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)30度，得到，，，，，在和中，，，，點在直線上運動，當(dāng)時，有最小值為，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：．5．如圖，正方形的邊長為8，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．【解答】解：由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運動，點也一定在直線軌跡上運動，將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，從而可知為等邊三角形，點在垂直于的直線上，過點作，則即為的最小值，過點作，可知四邊形為矩形，則，故答案為：．6．如圖，已知點，，，動點在線段上，點、、按逆時針順序排列，且，，當(dāng)點從點運動到點時，則點運動的路徑長為6．【解答】解：點，，，，動點在線段上，，，，為主動點，為從動點，為定點，由“瓜豆原理”得運動路徑與運動路徑之比等于，點運動的路徑長為，故答案為：6．7．如圖，，，當(dāng)點在上運動時，作等腰，，則，兩點間距離的最小值為．【解答】解：，，點在上運動時，，，為主動點，為從動點，為定點，由“瓜豆原理”，在上運動，則在垂直的直線上運動，當(dāng)時，如答圖：過作于，交于，則直線即為的運動軌跡，的長為，兩點間距離的最小值，，，，，，，，，而，，，在中可得，，中可得，故答案為：．8．已知邊長為6的等邊中，是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點運動的過程中，當(dāng)線段長度的最小值時，的長度為．【解答】解：連接，等邊，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，點在直線上運動，，，點在直線上運動，當(dāng)時，最小，，，，，，故答案為．9．如圖，菱形的邊長為4，，是的中點，是對角線上的動點，連接，將線段繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)，為點對應(yīng)點，連接，則的最小值為．【解答】解：如圖取的中點，連接，，，延長交于，作于．四邊形是菱形，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，點在直線上運動，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點與重合時，的值最小，在中，，，，，的最小值為，故答案為．10．如圖，線段，點為平面上一動點，且，將線段的中點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最大值為．【解答】解：如圖，取的中點，連接，過點作，使，連接、．，為的中點，，，，，，，，，，，，當(dāng)點、、三點共線時，最大為．故答案為：．11．如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經(jīng)過的路徑長為．【解答】解：，，，，連接，，是直徑，，即，取，的中點和，連接，，，在中，，為、的中點，，，在中，點、為、的中點，，，，即，點在以為直徑的半圓上，，點的運動路徑長為，故答案為：．12．如圖，的直徑，為上動點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的最大值為．【解答】解：如圖，以為邊在的下方作等腰直角三角形，連接，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，又，，，，當(dāng)有最大值時，有最大值，當(dāng)點，點，點三點共線時，有最大值為，的最大值為，故答案為：13．如圖，已知點是第一象限內(nèi)的一個定點，若點是以為圓心，2個單位長為半徑的圓上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊三角形．當(dāng)點在上運動一周時，點運動的路徑長是．【解答】解：如圖，連接、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得線段，連接、，，，為正三角形，為正三角形，，，，，在與中，，，，即為動點運動的路徑，當(dāng)點在上運動一周時，點運動的路徑長是，14．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為．【解答】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長），點是定點，是定長，點在半徑為1的上，，的最大值