南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材第一章核反應堆的核物理基礎在熱中子反應堆內，瞬發中子的平均壽期約為10?3至10?4秒，它比自由中子的半衰期短得有時表現為中子波與核的相互作用。中子的波長λ為λ=米（1－1）在實際計算中，一般用中子折算波長λ為：λ=λ=4.55×10?12米（1－2）2πE4.55×10?11米，也和原子的直徑相當，但比起平均自由程或宏觀尺寸要小許多個數量級。反應堆物理分析中通常按中子能量把它們分為i）快中子（0.1兆電子伏以上ii）超通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材所謂直接相互作用是指：入射中子直接與靶核內的某個核子碰撞（n,p）反應。如果從靶核里發射出來的核子是中子，而靶核發射γ射線，同時由激發態返復合核的形成是最重要的中子與原子核的相互作靶核X吸收形成一個新核――復合核AX。中子和靶核兩者在質心坐標系的總動能E。這里號表示復合核處于激發態。激發態的復合核衰變或分解有多種方式。由于激發的能量是統計地n)反應。如果放出中子后，余核X仍處于激發態，然后通過發射γ射線返回基態就稱這個獲γ射線而衰變，稱這個過程為輻射俘獲，簡稱（n,γ)反應。復合核還可以通過分裂成兩個較輕的核的方式而衰變，稱這一過程為核裂變，簡稱(n，f)反應。當入射中子的能量具有某些特定值恰好使形成的復合核激發態接近于一個量子能級適用于核在激發態的自發衰變。這個常數稱為衰變常數λ。但是，在討論激發態的衰變時，通常用一個能級寬度Γ的新量來表示衰變常數λ和描述處于激發態的核的衰變，能級寬度Γ的定義為：Γ=hλ電子伏（1－3）通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材 因為一個復合核常常能通過幾個方式發生衰變，就是說，可能放出中子、質子或γ射度來表示。例如，發射γ射線的分寬度Γr通常叫做輻射寬度，它表示單位時間內復合核發射γ射線而衰變的幾率，Γn叫做中子寬度，它表示單位時間內復合核散射出中子而衰變的度Γ有γnXγnXx如，以放出中子的方式衰變的相對幾率便等于ΓnΓ,等散射是使中子慢化的主要核反應過程。它有非彈性散射和彈AXn(AX)*(AX)*AXn(AX)*(AX)*1n在這個過程中，入射中子的一部分（通常為絕大部分）動能通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材核4.437.656.066.1423Na0.452.027Al0.8456Fe0.842.1X+n→(AX)*→X+nX+n→X+n收反應包括有（n,γ),(n,f),(n,α)和(n,p)等四種類型反應。（1）輻射俘獲（n,γ)輻射俘獲是最常見的吸收反應。它的一般反X+n→(A1X)*→A1X+γ（1－9）生成的核A1X是靶核的同位素，往往具有放射性。吸收反應可以在中子的所有能區發生。但低能中子與中等質量核、重核作用易于發生這種反應。在堆內重要通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材 β-→β?→2U2Np2Pu23分2.3天2Th2Th+γ β?→β?→233Th233Pa233U9022分9127天92H+n→H+γ（1－12）（n,α)反應一般式為X+n→(AX)*→Y+He例如，熱中子與硼－10引起的（n,α)反應為1O通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材式中1X,X為中等質量數的核，叫做裂變碎片；ν為每次裂變平均放出的中子數。射俘獲反應，如在核反應堆物理分析中通常按中子能量大小把中子分成熱中(n,n)(n,n)(n,p)(n,n)(n,p)(n,α)(n,n)(n,γ)(n,n)(n,n)(n,n')(n,p)(n,α)*(n,γ)*(n,n)(n,n)(n,n')(n,p)(n,γ)+取自E.Segre,NucleiandParticles,1977.通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材現在我們來定量地討論中子與原子的相互作2.1微觀截面-2）。如果未放靶時測得的中子束強度是I，放靶后測得的中子束強度是I’，那么I’-I=?I就等于與靶核發生作用的中子數。因為中子一旦與靶核發生作用（不論是散射還明：在靶面積不變的情況下，?I正比于中子束強度I、靶厚度?x和靶的核密度N0即IN?xN?x位，1靶等于10?28米2，后面的截面符號帶有下角標s、e、in、γ、f、a和t者，分別表σ=σ+aγfn,α,（1－21）aγfn,α,（1－21）σ=σ+σ式中σn,α表示(n,α)反應的微觀截面。微觀截面由實驗測得或理論算出。在文獻[7]中給出各種元素對不同能量中子的各種核2.2宏觀截面、平均自由程2.2.1宏觀截面通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材I(x)=I0e?Nαx,（1－23）式中I0為入射平行中子束的強度，即靶表面上的中子束強度；I(x)為靶厚度x處未經由此可見，未與靶核發生作用的平行中子束強度隨進入靶內的深度增加按指數規律衰減（見圖1－3衰減速度與核密度和微觀截面的乘積Nσ有關Nσ這個量經常出現在反應把Σ叫做宏觀截面，它是單位體積內所有靶核的微觀截面的總和，它是表征一個中可以看出，它也是一個中子穿行單位距離與核發生相互作用的幾率大小的一種度量。宏觀截面的單位是米－1。對應于不同的核反應過程有不同的宏觀截面，所用的角標符號與N=原子數米3系統內中子的產生率新生一代中子數系統內中子的總消失（吸收+泄漏）率直屬一代中子數式中，N0――阿伏加德羅常數，N0＝6.022045×1023原子數摩爾ρ――材料的密度，公斤/米3；A――該元素的原子量。對于由幾種元素組成的均勻混合物質或化合物，宏觀截面Σ=Niσi式中，σi為第i種元素的某種核反應的微觀截面；Ni表示每立方米介質中第i種元素核的數目。對于混合物，設混合物平均密度為ρ,第i種元素在混合物中所占的重量百Ni通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001種元素的原子數目為νi,則(1-27)式中的Ni為Ni=νi103原子數米3(1-29)對于由幾種元素和化合物組成的均勻混合介質，其中包含若干種不同的核素，其宏觀Ni=νi103原子數米3(1-30)式中，ρ為介質的密度（公斤/米3ωi為含有i種原子核的元素或分子在該介質中個分子中含i種元素的原子數目。體積內水的分子數NH2O和氧的原子核數NO為NH2O=NO=×106=3.343×1028分子米3由于一個水分子中包含有兩個氫原子，所以，單位體積內氫原子核數NH為NH＝2NH2O=2×3.343×1028=6.686×1028原子米3所以水的宏觀吸收截面Σa,H2O為Σa,H2O=Σa,H+Σa,O=NHσa,H+NOσa,O=2.22米－1靶。確定UO2的宏觀吸收截面。通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001c5?1N5＝c5NUO2=0.0706×1028原子米3N85NO=2NUO2=4.65×1028原子米328?28)+-28?4=54.16米-12.2.2平均自由程Σxdx（1－32）通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001-ΣxΣdx=1如把中子在介質中運動時，與原子核連續兩次相互作用之間穿行的平均距離叫做平均自由程，并用λ表示，那么有λs=1Σs、吸收平均自由程λa=1Σa等等。可以證明λt=1Σt，且有如上面例題1中，水的平均吸收自由程λa,H2O為2.3.1核反應率單位體積內的中子數叫做中子密度，用n表示。在核反應堆內，中子密度一般在過程。在反應堆物理分析中，常用核反應率來定量地描述這種相互作用過程的統在核反應堆內，中子的運動方向是雜亂無章的。設中子以同一速率ν（或者說具有相同的動能）在介質內雜亂無章地運動，介質的宏觀截面為Σ,平均自由程為λ,λ=1Σ。此時，一個中子與介質原子核在單位時間內發生作用的統計平均次數為νλ=νΣ。因而每秒每單位體積內的中子與介質原子核發生作用的總次數（統計平均率Ra=nvΣa，裂變反應率Rf=nvΣf，等等。對于由多種元素組成的均勻混合的物質，反應率應為中子與各種元素核相互作用的反通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：4210012R=nv1+nvΣ2nvi=Σnvii=1+…i=Niσi，為混合中第i種元素的宏觀截面；Ni是單位體積混合物內第i2.3.2中子能量密度度水平。在目前的熱中子動力堆內，熱中子通量密度的數量級一般約為應該指出，盡管中子通量密度與前述的平行中子束的強度具有相同單位，但它們的物2.3.4平均截面n=nn=n根據中子通量密度的定義，總的中子通量密度φ應為通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材?=?= v==v==則 為了以后計算方便，引入平均截面的概念。若用Σ表示平均宏觀截面，并令平均宏Σ?（1－47）??(E)dE??(E)dE可以看出1－47）式意味著，在保持核反應率相等這一點上，Σ?與（1－46）式2.4截面隨中子能量的變化核截面的數值決定于入射中子的能量和靶核的性質。對許多元素，考察其反應截面隨通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材2.4.1微觀吸收截面a＝常數。所以，對吸收截面σ(0.0253)，那么，對能量為E時的中子，其微觀吸收aaEσi(EiaaEav(E)av(E)表查得。重核和中等質量核在低能區有共振吸收現象發生，其吸收截面偏離1v律，例如，對于多數輕核，在中子能量從熱能一直到幾千電子伏甚至兆電子伏的能區，其吸收截面仍都近似地遵守1v律。2.在中能區，對于重核，如鈾－238核，在某些物定能量附近的小間隔內σ對于輕核，由于激發態的能量比重核高，所以輕核在中能區一般不出現共振峰。要在共振吸收在反應堆的核計算中具有重要的意義，因此在下一小節中我們將場專門的予3.在高能區，對于重核，隨著中子能量的增加，共振峰間距變小，共振峰開始重疊，通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材2.4.2微觀散射截面大的核，閾能愈低。當中子能量小于閾能時，σin為零；而當中子能量大于閾能時，σin隨σσ2.4.3微觀裂變截面σf的吸收截面的變化規律類似，也可分三個能區來討論σf＝583.5成鈾－236。輻射俘獲截面與裂變截面之比通常用α表示：σγα=fσf通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材與反應堆分析中常用到另一個量，就是燃料核每吸收一個中子后平均放出的中子數，稱為有效裂變中子數，用η表示。對于易裂變同位素，如鈾－235，2.5核數據庫核數據，特別是核截面數據的選擇和處理，是反應堆核計算的出發點和重要依據。為是非常重要的，它是取得正確計算結果的重由于核計算中要涉及到大量的同位素，以及在各個能量區域內中子截面反應中放出的中子、質子、γ射線和α粒子等的能量和角分布等等。通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材能區的截面曲線上均可見到這種共振吸收現象。對于輕核一般要在比較高的能區（一般要在距就越小，因此在低能區的共振峰是一個個的孤立峰。隨著中子能量的增加，共振峰開始重疊，慢慢變的不可分辨。最后σ(a)(E)曲線變成平緩的曲線了。當從實驗上測量中子截面變化時，受到實驗儀器能量分辨率的限制，只能測量到共振能區低能段的一些共振峰的共振參根據發生核反應的類型，有俘獲共振、散射共振、裂變面的變化特性。這些參數是：共振能E0，峰值截面σmax(E0)[或σ0(E0)]和能級寬度Г。能級寬度Г在數值上等于在共振截面曲線上，當σ=σmax(E0)/2時所對應的能量寬度（圖Br,eVГa,eVГ,eV6.6821.036.880.83.1共振截面—單能級布勒特-魏格納公式通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材 Γ xσX(E)Γ xΓΓxΓ=ΓnΓxE0EΓ222σ0=σx(E0)=4πλ20gΓnΓ其中，Γ、Γn、Γx分別為總寬度、中子寬度、X分寬度，實際上最重要的是輻射俘獲共振和裂變共振，此時Γx分別為Γr和Γf；對于輻射俘獲共振，σr（E）為ΓrE0Γ2σr0ΓE4(E?En)ΓrE0Γ2在吸收共振為主的情況下，此時Γn≤Γr，于是σa(E)近似為E0Eσa(E)≈σE0E2 Γ2截面σs（E）為上式右邊第一項為共振散射項，第三項為勢散射項，即為共振散射和勢散射過程產生的中通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材在推導（1-55）式時，中子與原子核相然而這是不嚴格的。實際上，原子核由于具有熱能而處于不停的熱運動中，同時式中的能量E嚴格地講應由中子與核的相對運動速度或相對能量Er確定。如中子的能量。因而由于靶核的熱運動，對于本來具有單一能量E0的中子將使共振峰的寬度展寬而共振峰的峰值降低。這種現象稱為多普勒效而增大。因此，共振峰的展寬隨溫度的上升而加大，同時伴隨著峰值高度的進一步降低。考慮到靶核的熱運動后，實際上測到的中子截面乃是中子與處于熱運動的靶核相互作在反應堆計算中，通常假設靶核的動能(或速度)服從麥克斯韋-玻爾茲曼分布。基于這σx(E,T)=σ0ψ(ζ,X)(1-59)其中，ψ(ζ,X)的定義如下：ψ(ζ,X)=2π∞ψ(ζ,X)=2π∞0)c0)ζ=4kTEA ,A4kTE0,A?叫多普勒寬度。ψ(ζ,X)叫多普勒函數，σx(E,T)與溫度的關系就包含在ψ(ζ,X)函數通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材內。多靶已制成表(見附錄6)。可見，在反應堆計算進必須考慮多普勒效應，應采用(1-59)式而不是采用(1-52)式。從圖中曲線可以看出，考慮靶核熱運動后，共振峰值降低，共振寬度變寬。對(1-59)進行積分便可求出截面曲線下面積。由于共振峰附近截面急劇下降，對積分起主要貢獻的有0r0r2σs(E,.T)=ψ(ζ,x)+σ0χ(ζ,x)+σp式中χ(ζ,x)定義如下：4.1裂變能量的釋放、反應堆功率和中子通量密度的關系4.1.1裂變能量的釋放為熱能。裂變中子動能大部分都在堆內被各種材料減速和吸收轉換為熱能。β射線只能在通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材而發生（n,γ)反應，這要釋放出3至12兆電子伏的能量，能。故通常把（n,γ)反應的γ射線能量也歸入裂變能量。可利用的裂變能量中大約95瞬發γ能量7裂變產物γ衰變-緩發γ能量7裂變產物β衰變-緩發β能量8遲是不同的。平均每次裂變的衰變功率Pd（每秒釋放的能量）與延遲時間的關系為?1.2兆電子伏τ秒時刻裂變產物β射線和γ射線釋放的總功率為Pd(Pτ停堆后，由于裂變產物的β和γ衰變仍會產生衰變熱，而且持續時間較長（通常在停需進行冷卻和屏蔽。這種衰變熱的導出是反應堆安全研究4.1.2核反應堆的功率與中子通量密度的關系假如取鈾-235核每次裂變釋放出的可利用的能量為200兆電（1-70）若用Rf表示堆內裂變反應率，Rf=Σfφ,因而堆芯內任一點r的功率密度或通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材fΣfφ(r)=瓦米3（1-71）式中，Σf為堆芯的宏觀裂變截面；φ(r)為堆芯內 φ=3.12x1010P中子米2.秒VΣf率為Fr=3.12x1010P，F=Faff10P FA aN0x1034.2裂變產物與裂變中子的發射4.2.1裂變產物通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材幾乎在所有的情況下，這些裂變碎片都具有過大的中子－質子列β衰變，將過剩中子轉變為質子才成為穩定核。裂變碎片和它的變產物都叫裂變產物。貯存都帶來一系列特殊的困難和問題。這也是在利用裂變能時必須考慮的重要問題。4.2.2裂變中子v235v239χ(E)=0.453e?1.036Esh實際上不同裂變同位素的裂變譜χ(E)是不同的，但差別不大。因此，在近似計算時可以認為產生發射中子的子核氪-87，通常叫做緩發中子先驅核組半衰期Ti秒產額1)βi平均壽期2)li秒1通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001236.008.6642.233.22561)緩發中子在裂變中子中所占的份額用β表示，對鈾－235核的熱裂變，有表中，?i為第i組緩發中子在全部裂變中緩發中子的能譜不同于瞬發中子的能譜，緩發中子的平均能量要比瞬發中子的低（見表N(v)=4π32v2e?mv2/2kT(1-81)N(E)=e?EkTEv01/2通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材00kT=4.3×10?5TkTkT2T1/2米/秒(1-86)0v=mmm（1）在反應堆中，所有的熱中子都是從較高的能量慢化出來，爾有麥克斯韋譜的分布形式[見（1-82）式]，只不過熱中子最可幾能量Eo=kTn/2、平均能量為TTMεΣs通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材式中，εΣs為介質或柵格的慢化能力（詳見第三章1.2節它是表征介質對中子慢化的TnMTnM2AΣa(kTM)ΣsΣs為介質的超熱中子宏觀散射截面。 σ(E)N(E)vdEσ(E)N(E)dEN(E)vdEN(E)EdE 通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材T T aσ為an σa=gann例題3已知鈾-水柵格的宏觀吸收截面Σa(kTM)為7.19米- 核按麥克斯韋譜平均的熱中子吸收截面σa。Σa(kTM)]|nM|LεΣs「7.19]nn通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材 變反應的裝置。它能夠以一定的速率將蘊藏在原子核內部的核能滄海橫流掉的中子數，則鏈式裂變反應會自續地進給定系統，新生一代的中子數和產生它的直屬上上式的定義是直觀地從中子的“壽命-循環”觀點出發的。然而，該式在實用上是不太顯然，有效增殖系數與系統的材料成分和結構(例如，易裂變同位素的富集度，燃料-慢化劑的比例等)有關。同時，它還與中子的泄漏程度。或反應的大小有關。當反應堆的尺通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材系統內中子的產生率k∞=系統內中子的吸收率率為Pl，它的定義是Pl=系統內中子子的泄漏率根據心目的討論，立即可以選出反應堆維持自續鏈式裂變反(1-101)式稱為反應堆的臨界條件。可以看出，要使反應堆維持臨界稱為臨界大小，在臨界情況下反應堆所裝載的燃料數量叫做臨6.2熱中子反應堆內的中子循環(2)燃料吸收熱中子引起的裂變；(3)慢化劑以及結構材料等物質的輻射俘獲；(4)慢化過程中的共振吸收；(I)慢化過程中的泄漏：(II)熱中子擴散過程中的泄漏。反應堆內中子數目的變化取決于上述五種過程競爭的結果。其中前兩個過程將使反應通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材(2)有效裂變中子數它的定義是：燃料每吸收一個熱中子所產生平ΣfΣa，若設每次裂變所產生的平均裂ΣfΣfη=vΣf,Σa分別為燃料的熱中子宏觀吸收截面和宏觀裂變截面，為鈾-235(3)熱中子利用系數它表示被燃料吸收的熱中子數占被芯部中所有物質(包括燃料在內)燃料吸收的熱中子數被吸收的熱中子總數f=被吸收的熱中子總數Σa,faa,fa,Ma,ca,s式中，和分別為燃料、慢化劑、冷卻劑和結構材料的熱中(5)不泄漏幾率這是中子在慢化過程和熱中子在擴散過程中不泄漏幾率的乘積。=lsd=lsd所以只有nεpfηPsPd個中子能夠逃脫共振吸收而慢化成熱中子。如果考慮到中子的泄漏損失，那么，實際上被吸收的熱中子數目將只通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材ll由(1-106)式可以看出k∞=εpfη(1-107)式稱為四因子公式。上面對熱中子反應堆內中子平衡的分析殖系數數值，它對堆芯燃料管理的計算有著關于上述各個參量的計算和討論將在下面各通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材和運動方向?的函數，即中子密度的分布可以用函數n(r,v,?)――中子角密度來表示。我們的任務是要求出反應堆內中子密度的分布。自然可以想到，情況下，才能求出其解析解。關于輸運方程的有關理論，將留待下冊中詳細討但是，如果中子通量密度的角分布是接近于各向同性的（例如在大無關，這樣可以不考慮運動方向這個變量而只討論標量中子通量密度φ(r,v)的分布就可以模型。然后在第三章將討論多能中子的擴散－年齡近似。和多群擴中子擴散方程是研究中子在研究中子在介質內運動以及反應堆理論的重要工具和基1.單速中子擴散方程通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材便和物理概念的清晰起見，下面我們仍從中子擴散的物理過程考慮如圖2－2所示的坐標系，x-y平面上有一小面積dA并設處有一體積元向散射的中子，實際能到達dA的幾率為eΣtr，其中，Σt是介質的宏觀總截面，Σt=Σa+Σs。由于假設介質為弱吸收介質，即Σa<<Σs，因而Σt可以近似用ssΣsφ(r)e?ΣsrdVdV=r2sinθdrdθdψ,因此通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材JdA=πφ(r)e?Σsrcosθsinθdrdθd?（2－4）數展開。設對應于r處的直角坐標為（x,y,z）,則有+y0式中各項的下角標“0”表示取它們在原點A處的數值。把x,y,z用x=rsinθcos?)ys?（2－6）〈)rcosθsinθcosθdrdθd?0（2－7）π/2到π,經過計算可以得到z46Σs(?Z)J+z46Σs(?Z)同樣，可以求出沿x方向穿過y-z平面上面積元的凈中子流密度為通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材α,β和γ角度，那么單位時間穿過這一單位面積的凈中子數J便等于三個分量之和J=?cosα+cosβ+cosγ（2－12）在滿足前面假設的條件下，這個方程在介質任意點都是J=J?n（2－13）J=Jxi+Jyj+Jzk=?gradφ（2－15）矢量J稱為中子流密度，Jx,Jy和Jz便是它在x,y和z軸上的投影。平均自由程λs。這樣斐克定律可以寫成心下形式通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材其中，λtr為輸運平均自由程，它等于（見第九章）核，μ0首選計算中子的泄漏率。如圖2－4所示，設在某一點（x,y,z）處有一個小體積元(Ja+dz?Jz)dxdy=dzdxdy=dVz+dz+DzdxdydV或?DdV通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材V2V2=22+和dV或?DdVL=++=divJ（2－22）=?divDgradφL=?D++=?D?2φ（2－24）V2=22+22+22V2222r22球坐標系V2=++sin+A=aφ3設每秒每單位體積內產生的中子數為S(r,t)(中子/秒?米3因此(2-21)式便可寫成2φaφ2φaφ通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材擴散方程（2－28）式是一個微分方程，它適用于普遍情況，在它的普遍解中將包含xxxx和xxcJ?A=J?xxcφAx46dxJ?x46dxx=0這個條件可以寫成更方便的形式。如果我們從交界面處將中子通量通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材dd2λtrx=0φ3φ=即的情況，可以求得d=0.7104λt最后必須強調指出，這個邊界條件僅僅是為了簡化擴散方程的首選，我們假定了擴散介質是無限的，這樣2－4）式是對整個空間積分。但是，J?J+其次，我們在推導中把中子通量密度展成泰勒級數并只取到一階項（實際上，保留二階項，其結果也是一樣的，因為二階項在積分中或是等于零，或者在通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材a<<2.非增殖介質內中子擴散方程的解2φ?Σaφ+S=0（2－35）2φ?k2φ=0（2－36）2φ?=0（2－37）L=L==k2a-1中列出了在一些經常遇到的簡單幾何情況下波動方程的普遍解。下面我們討論幾種特殊情況下擴散方程的解，它將幫助我們掌握擴散方程的求解和邊界條件的應注：分別是第一類和第二類零階貝塞爾函數；分別是第一類和第二通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材球，小球的表面積為4πr2，于是通過小球表面的凈中子數就應當等于源強S。這樣2-r/Lr→0r→0（L)r→0r→0（L)S通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001(ii)中子源條件把上式代入中子源條件(ii)式便可求得(ii)中子源條件：limJ(x)=S/2由邊界條件(i)得通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材?a/LSLe?x/L考慮到系統的對稱性，用|x|代替上式中的x，就可以得出對于所有x值均適用的中子通量如用ea/2L乘上式的分子和分母，并應用雙曲函數的性質：eueu2Dch(a/2L)在包含兩種不同介質的系統中，在不同介質的交通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材-φdx2(ii)中子源條件：limJ(x)=S/2φ和φ2ex/L2（2－53）條件(i)知，C2必須為零。利用邊界條件(ii)得出C12可以分別利用邊界條件(iii)和(iv)求出， 2D1AA23.擴散長度通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材L2L2 DλaaΣ3a λaλs1 這便是擴散長度的計算公式。對于混合物，則（2－58）式中的Σa,Σs和μ0等都是指對混合物的平均值。對于熱中子（在反應堆物理中，與原子核牌熱平衡狀況的所有中子式中的Σa和Σs應該是對熱中子能譜的平均值。Σa=Σa,0ga其中Σa,0是能量為En=0.0253電子伏的中子的宏觀吸收截面，Tn為中子溫度，開，gaL203πΣtrΣa,0g對于H2O和D2O則是例外。這兩種慢化劑的散射截面在熱能區內按下面經驗公m這里D(E0)0S(E0通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材-89）式可得到對于熱中子的擴散系數為 ∞D ∞DN(E)dE0 0 10|n0|nΣaΣa,0ga（293.4)2(m+Γ(Σa,0擴散長度是核反應堆物理中一個極其重要的參數。為了進一步闡明擴 2義，我們討論熱中子從產生地點到被吸收地點穿行距離的均方值r。考慮無限介質內有一熱中子點源情況，設φ(r)為距離點源r處的中子通量密度，于是在r處中子的吸收率是Σaφ(r)2dr成 2r22Σaφ(r)r=4πr2Σaφ(r)dr2通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材或L2224＊.反照率堆芯部外面圍以反射層的工作原理。反射層的效率可以通過反射系數或反照β=（2－67）對于無限平板反射層，這時反射層內中子通量密度 L通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材部以內的中子通量密度分布；因而，如果能夠精確地知道水反射層的反照率β的數值，那么在作芯部計算進可以在芯部與反射層的分界面上應用下列邊界條J?反照率的邊界條件還可以寫成另一種形式。根據（2－68）式在源介質與反射層的分5＊.擴散方程的積分形式任意分布的各向同性源所形成的穩態中子通量密考慮一個包含有任意分布的各向同性中子源的無限介質。函數S(r)表示任意分布的各通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材r?r?r'Gpt許多點源組成那樣來處理。因此，r處的中子通量密度為?r?r'/LdV'?/Ler?r'?/Lerr?r'?/Ler?r'?/Ler?r'-75）式可以把（2－74）式寫成如下形式：全部空間SptGpt2+擴散核的形式決定于中子源的幾何形狀。對于平面源則利用平面擴散核[見（2－44）式]pt2D-x-x'/Lpt2Dplpt將點擴散核Gpt的表達式代入上式則有通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材在快中子反應堆內沒有慢化劑。慢化過程并不占重要地位，大部分中子的能量是在0.1因為，如第一章所述，非彈性散射閾能特點的（另一方面，當反應堆處于穩態時，在慢化過程中，對內種子密度（或中子通量密度）能量范圍的平均截面，這就要用到中子慢化能譜φ(E)。自然，反應堆內中子的能量分要知道近似的能量分布就可以了。例如，對于高能范圍(E>0.1兆電子伏φ(E)可以近似地用裂變譜λ(E)來表示，而在E小于1電子伏的熱能區中，則可以認為φ(E)服(1電子伏-0.1兆電子伏）內中子的近似慢化能譜分布。在粗略估計中子慢化能譜的許多近似方法中，所用的最簡單的模型是：把反應堆種子本章討論中子的慢化過程。首先討論彈性散射過程中中子能量的變化，然后討論無限1.中子的彈性散射過程在熱中子反應堆內，中子的慢化主要靠中子與慢化劑核的彈性散射。當中子的能量比通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材此時可以認為中子是與靜止的,自由的靶核發生散射碰撞。關于考慮到核的熱運動和化學鍵影響的低能中子的散射問題，將在下冊第十章后，其動量和動能守恒，并可用經典力學的方法來處理。討論彈性碰撞時通常采用兩種:坐VCM=11)(m1)v11mmvcVcmv+MV=0通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材1mv,21MV,21mv1mv,21MV,21mv21MV22c2c2c2cV1vc′=v1c上，故靶核也必定沿著與它原來運動方向成θ0角度的方向反沖。′c′221CM21CM′2′ccVCMcosθc′2E′v1A2+2Acosθc+1′ccosθc或 A2+2Acosθc+1令通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材(i)θc=0時，E′→Eax=E，此時中子沒有能量損失；(ii)θc=1800時，E′→Ein。′Emin=αE′f(θc)dθc示碰撞前中子能量為E，碰撞后中子能量在E撞后，中子的能量在E′附近dE′內的幾率必定等于對應的散射角在θc附近dθc內的幾f(E→E′)dE′=f(θc)dθc布函數f(E→E′)。在熱中子堆內，s波中子散射是主要的。實驗表明：當E<10A23通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材ccθ+dθ之間的角錐元，見（圖3-3）內的幾率為cc)dθc==)dθcdθc2dE,=E(1C)sinθc這樣，碰撞前中子能量為E，碰撞后中子能量落在E和CE之間的任一能量E,處的幾碰撞后能量E,大小無關，并等于常數。或者說，散射后的能量分布是均勻的。由于散射后為了計算方便，在反應堆分析中還常用一種無量綱的量叫做“對數能降”（過去稱為或式中E0為選定的參考能量，一般E0=2兆電子伏（裂變中子的平均能量或取uu,=eΔu大的對數能降增量，用γ表示，為通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材若令f(u喻u,)du,表示碰撞前中子的對數能降為u,碰撞后中子的對數能降出現在u,附近du,范圍內的幾率。由于對數能降與能量之間有對應關系，因而f(u喻u,)和f(E喻E,)之間應當滿足下列關系式：Δu,Δu,,f(u喻u,)du,=f(E喻E,)dE,從式中我們可以看出，散射后中子的對數能降落在某一特定對數能量間隔內的幾率與散射前后中子的對數能降落在某一特定對數能降間隔內的幾率與散射前后中子的對數能降uu+γf(u喻u,)du,=1u在研究中子慢化過程時，有一個常用的量，就是每次碰撞中子能量的自然對數值（或對數能降）的平均變化值，叫平均對數能降增量。用ε來表示，ε為 ε=ElnE,)f(E喻E,)dE,=2ln()2ε=3關。各元素的ε值可查附錄表3。若用Nc表示中子從初始能量E1慢化到能量E2所需要的平均碰撞次數。利用平均對數能降增量可以容易地求出Nc為通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材clnE1?lnE2εlnE1 2 2ε中子與核發生彈性散射后，若散射角為θ,那么,cosθ就叫做散射角的余弦。由（3-18） μc=cosθcf(θc)dc=cosθcsinθcdθc=0若用μ0表示L系內的平均散射角余弦，則μ0為μ0=cosθf(θ1)dθ1式中f(θ1)dθ1表示碰撞后中子的散射角在θ1附近dθ1內的幾ccf(θ1)dθ1=f(θ)dθccμ0因而，盡管在C系內的散射是各向同性的，但在L系內的散射卻是各向異性的，并且μ0 便表征散射各向異性的速度。μ0隨著靶核質量數減小而增大，故靶核的質量 從中子慢化的角度來看，慢化劑應為輕元素，它應具有大的平均對數能降增量ε值。此外，通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材ε。通常把乘積εΣ叫作慢化劑的慢化能力。表3-1給出常用的四種慢化劑的慢化能力。除了要求有大的慢化能力外，顯然還要求慢化劑具有小的吸收截面。否則，在堆內也是不宜采用的。為此，我們定義一個新的量εΣΣα,把它叫做慢化比。從反應堆為了觀點來看，它是表示慢化劑優劣的一個重要參數，好的慢化劑不僅應具有較大的εεΣs值，從3-1可以看出，重水具有良好的慢化性能，但是其價格高。水的慢化能力εΣs值在無限介質內，裂變中子由裂變能E0慢化到熱能ET所需要的平均時間，稱為慢化λs(E)能量為E的中子的散射平均自由程。由于每次碰撞的平均對數能降增量等于ε。因此，在dt時間內對數能降u的增量du等于λs(E)或于是，由E0慢化劑到ET所需的慢化時間ts便等于sE0εvEETλssE0εvE如果λs與能量無關或我們用一個適當的平均值λs來代替，同時由于v=，通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材ts快中子慢化成熱中子后，將在介質內擴散一段時間。我們定義無限介質內熱中子在其被俘獲以前所度過的平均時間，稱為擴散時間，也叫做熱中子平均壽期，用符號td表示。如果λα(E)為中子的平均吸收自由程，那末具有這種能量的中子的平均壽期為對于1v吸收，有Σa(E)v=Σ?0(E0)v0,于是(3-40)式給出t(E)=式中Σ?0是當v0在反應堆動力學計算中往往需要用到快中子裂變產生到慢化成為熱中子，最后被俘獲sd（3-41）2.無限均勻介質內中子的慢化能譜在前面一章節中，討論了彈性散射過程中中子能量的變化。在這一節將討論慢化過程化能力和吸收性等特性有關，嚴格講它還是空間坐標r的函數，并與反應堆的泄漏大小有通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材2.1無限均勻介質內中子的慢化方程的總次數，記作F(r,E)F(r,E)=(Σa+Σs)φ(r,E)F(r,E)=Σt(r,E)φ(r,E)=Σt(r,E)φ(r,E)（3-42）對于物吸收介質,Σa=0則F(r,E)F(r,E)=Σsφ(r,E)。顯然可以看到，這里所它是描述慢化過程的另一個極為重要的量，我們用符號q(r,E)來表示。它的定義是：每秒發生散射的次數為Σs(r,E′)φ(r,E′)，而散射函數f(E→E′)表示能量為E′的中Σs(r,E′)f(r;E′→E)φ(r,E′)dE而根據定義慢化密度q(r,E)應等于E′>E的所有能量中子慢化到E以下的中子數q(r,E)=q(r,E)=dE′Σs(r,E′)f(r;E′→E)φ(r,E′)dE這樣，慢化密度q(r,E)給出了r處中子被慢化并通過某給定能量E的慢化率。用φ(E)來表示。我們觀察能量E處dE能量間隔內的中子平衡。由于中子與介質Σs(E′)φ(E′)dEf′(E′→E)dE。因而每秒散射到dES(E)dE，其中S(E)為中子源強分布函數。那么根據中子平衡的穩態條件：每秒、每通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材被吸收的中子總數，這樣可以寫出穩態無限介質內的中子慢Σt(E)φ(E)2Σt(E)φ(E)=αdE′+S(E)同樣，對于慢化密度q(E)3-43）式便可以表示成q(E)=αdE′′dE′′Σs(E′)φ(E′)dE′應該指出，在多數情況下，慢化方程（3-46）是無法求得其精確解的。只有在很有限2.2在含氫介質內的慢化首先討論氫慢化劑和重吸收劑組成的系統內中子為簡單起見，我們討論初始能量為E0，源強為S0的單能平均分布中子源情況。這時單能S(E)=S0E0(0≤E≤E0)通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號南華大學核科學技術學院郵編：421001南華大學《反應堆物理》精品課程電子教材式中，Σ(E)是氫的宏觀散射截面，宏觀吸收截面Σa(E)為了解出φ(E)，首先將該式兩邊微分，得0φ(E)=×exp0Σ(E′)dEΣ(E′)下面計算含氫介質內的慢化密度。它由兩部分構成：一部分是由源中子經另一部分慢化密度