2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題6.4一次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【蘇科版】【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)與實(shí)際問題】在研究有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，要遵循一審、二設(shè)、三列、四解的方法：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)自變量。根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系設(shè)滿足題意的自變量；第3步：列函數(shù)。根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出函數(shù)；第4步：求解。求出滿足題意的數(shù)值?！绢}型1一次函數(shù)的應(yīng)用（行程問題）】【例1】（2021春?海門市期中）甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向勻速而行，已知甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，約定先到A地者停止運(yùn)動(dòng)就地休息．若甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲行走的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘，乙的速度是80米/分鐘；②甲出發(fā)30分鐘時(shí)，兩人在C地相遇；③乙到達(dá)A地時(shí)，甲與A地相距450米，其中正確的說法有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1-1】（2021春?巴彥淖爾期末）如圖，折線ABCDE描述了一輛汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s（km）與行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，判斷下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）①汽車在行駛途中停留了0.5h；②汽車在整個(gè)行駛過程的平均速度是40km/h；③汽車共行駛了240km；④汽車出發(fā)4h離出發(fā)地40km．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【變式1-2】（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）某天上午，大學(xué)生小南從學(xué)校出發(fā)去重慶市圖書館查閱資料，同時(shí)他的同學(xué)小開從該圖書館看完書回學(xué)校．兩人在途中相遇，于是馬上就各自最近的研究課題交流了6分鐘，又各自按原速前往自己的目的地．直到小開回到學(xué)校并電話告知小南后，小南決定提速25%到達(dá)圖書館（接打電話的時(shí)間忽略不計(jì)）．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，小南和小開之間的距離y（m）與小南所用的時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．學(xué)校和圖書館的之間的距離為1200m B．小南提速前，小開的速度是小南的1.8倍 C．m＝1500 D．n＝62【變式1-3】（2021?蒙陰縣二模）甲、乙兩車從M地到480千米的N地，甲車比乙車晚出發(fā)2小時(shí)，乙車途中因故停車檢修，圖中線段DE、折線OABC分別表示甲、乙兩車所行路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決如下問題：（1）求兩車在途中第二次相遇時(shí)，它們距目的地的路程；（2）甲車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，兩車在途中第一次相遇？【題型2一次函數(shù)的應(yīng)用（調(diào)運(yùn)問題）】【例2】（2021春?大安市期末）A城有肥料400噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)，從A城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)肥料費(fèi)為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，C鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料340噸，D鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料360噸．設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)鎮(zhèn)x噸肥料，請(qǐng)解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下列表格：城、鄉(xiāng)/噸數(shù)CDAxB（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少為多少元？【變式2-1】（2021?尋烏縣模擬）疫情期間，甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)要向M，N兩地運(yùn)送防疫物資，已知甲倉(cāng)庫(kù)可調(diào)出50噸防疫物資，乙倉(cāng)庫(kù)可調(diào)出40噸防疫物資，M地需35噸防疫物資，N地需55噸防疫物資，兩倉(cāng)庫(kù)到M，N兩地的路程和運(yùn)費(fèi)如下表：路程/千米運(yùn)送1千米所需運(yùn)費(fèi)/（元/噸）甲倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)甲倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)M地20151212N地2520108（1）設(shè)從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地防疫物資x噸，兩倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M，N兩地的總費(fèi)用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）如何調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最少？總運(yùn)費(fèi)最少是多少？【變式2-2】（2021春?滿洲里市期末）已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，現(xiàn)決定將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)給C，D兩地，C，D兩地分別需要調(diào)運(yùn)蔬菜240t和260t．其中從A地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸．設(shè)A，B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案．【變式2-3】（2021春?昆明期末）某市A、B兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)分別有救災(zāi)物資200噸和300噸，2021年5月18日起云南大理州漾濞縣已連續(xù)發(fā)生多次地震，最高震級(jí)為5月21日發(fā)生的6.4級(jí)地震，為援助災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需將這些物資全部運(yùn)往甲，乙兩個(gè)受災(zāi)村．已知甲村需救災(zāi)物資240噸，乙村需救災(zāi)物資260噸，從A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸20元和每噸25元，從B倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸15元和24元．設(shè)A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲村救災(zāi)物資x噸，請(qǐng)解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下表格：倉(cāng)庫(kù)甲村乙村Ax①B②③①＝；②＝；③＝．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式．（3）求怎么調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)為多少元？【題型3一次函數(shù)的應(yīng)用（利潤(rùn)最大化）】【例3】（2021?鎮(zhèn)雄縣二模）2020年6月1日上午，國(guó)務(wù)院總理在山東煙臺(tái)考察時(shí)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī)．“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為了社會(huì)關(guān)注的熱門話題．小明從市場(chǎng)得知如表信息：甲商品乙商品進(jìn)價(jià)（元/件）355售價(jià)（元/件）458小明計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小明購(gòu)進(jìn)甲商品x件，甲、乙商品全部銷售完后獲得利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明用不超過2000元資金一次性購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種商品，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若要求甲，乙商品全部銷售完后獲得的利潤(rùn)不少于632.5元，請(qǐng)說明小明有哪些可行的進(jìn)貨方案，并計(jì)算哪種進(jìn)貨方案的利潤(rùn)最大．【變式3-1】（2021?青白江區(qū)模擬）在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號(hào)的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤(rùn)為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤(rùn)為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤(rùn)；（2）該藥店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，則該藥店購(gòu)進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤(rùn)y最大？【變式3-2】（2021春?連山區(qū)期末）由于新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，某經(jīng)銷商決定分兩次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的新能源汽車（兩次購(gòu)進(jìn)同一種型號(hào)汽車的每輛的進(jìn)價(jià)相同）．第一次用270萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)汽車30輛和乙型號(hào)汽車20輛；第二次用128萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)汽車14輛和乙型號(hào)汽車10輛．（1）求甲、乙兩種型號(hào)汽車每輛的進(jìn)價(jià)；（2）經(jīng)銷商分別以每輛甲型號(hào)汽車8.8萬(wàn)元，每輛乙型號(hào)汽車4.2萬(wàn)元的價(jià)格銷售后，根據(jù)銷售情況，決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的汽車共100輛，且乙型號(hào)汽車的數(shù)量不少于甲型號(hào)汽車數(shù)量的3倍，設(shè)再次購(gòu)進(jìn)甲型汽車a輛，這100輛汽車的總銷售利潤(rùn)為W萬(wàn)元．①求W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；并寫出自變量的取值范圍；②若每輛汽車的售價(jià)和進(jìn)價(jià)均不變，該如何購(gòu)進(jìn)這兩種汽車，才能使銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【變式3-3】（2021?鹿邑縣一模）草莓是一種極具營(yíng)養(yǎng)價(jià)值的水果，當(dāng)下正是草莓的銷售旺季．某水果店以2850元購(gòu)進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓．若按標(biāo)價(jià)出售可獲毛利潤(rùn)1500元（毛利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)），這兩種盒裝草莓的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表所示：價(jià)格/品種A品種B品種進(jìn)價(jià)（元/盒）4560標(biāo)價(jià)（元/盒）7090（1）求這兩個(gè)品種的草莓各購(gòu)進(jìn)多少盒；（2）該店計(jì)劃下周購(gòu)進(jìn)這兩種品種的草莓共100盒（每種品種至少進(jìn)1盒），并在兩天內(nèi)將所進(jìn)草莓全部銷售完畢（損耗忽略不計(jì)）．因B品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒．如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)是多少？【題型4一次函數(shù)的應(yīng)用（費(fèi)用最低）】【例4】（2021春?廣安期末）為積極響應(yīng)垃圾分類的號(hào)召，某街道決定在街道內(nèi)的所有小區(qū)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱．已知購(gòu)買3個(gè)垃圾箱和2個(gè)溫馨提示牌需要280元，購(gòu)買2個(gè)垃圾箱和3個(gè)溫馨提示牌需要270元．（1）每個(gè)垃圾箱和每個(gè)溫馨提示牌各多少元？（2）若購(gòu)買垃圾箱和溫馨提示牌共100個(gè)（兩種都買），且垃圾箱的個(gè)數(shù)不少于溫馨提示牌個(gè)數(shù)的3倍，請(qǐng)寫出總費(fèi)用w（元）與垃圾箱個(gè)數(shù)m（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)購(gòu)買垃圾箱和溫馨提示牌各多少個(gè)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元？【變式4-1】（2021春?環(huán)江縣期末）某縣園林局打算購(gòu)買三角梅、水仙裝點(diǎn)城區(qū)道路，負(fù)責(zé)人小李去花卉基地調(diào)查發(fā)現(xiàn)：購(gòu)買1盆三角梅和2盆水仙需要14元，購(gòu)買2盆三角梅和1盆水仙需要13元．（1）求三角梅、水仙的單價(jià)各是多少元？（2）購(gòu)買三角梅、水仙共10000盆，且購(gòu)買的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆．①設(shè)購(gòu)買的三角梅種花a盆，總費(fèi)用為W元，求W與a的關(guān)系式；②當(dāng)總費(fèi)用最少時(shí)，應(yīng)選擇哪一種購(gòu)買方案？最少費(fèi)用為多少元？【變式4-2】（2021?三水區(qū)校級(jí)二模）截至2021年4月10日，全國(guó)累計(jì)報(bào)告接種新冠疫苗16447.1萬(wàn)劑次，接種總劑次數(shù)為全球第二．某社區(qū)有80000人每人準(zhǔn)備接種兩劑次相同廠家生產(chǎn)的新冠疫苗并被分配到A、B兩個(gè)接種點(diǎn)，A接種點(diǎn)有5個(gè)接種窗口，B接種點(diǎn)有4個(gè)接種窗口．每個(gè)接種窗口每天的接種量相同，并且在獨(dú)立完成20000人的兩劑次新冠疫苗接種時(shí)，A接種點(diǎn)比B接種點(diǎn)少用5天．（1）求A、B兩個(gè)接種點(diǎn)每天接種量；（2）設(shè)A接種點(diǎn)工作x天，B接種點(diǎn)工作y天，剛好完成該社區(qū)80000人的新冠疫苗接種任務(wù)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若A接種點(diǎn)每天耗費(fèi)6.5萬(wàn)元，B接種點(diǎn)每天耗費(fèi)為4萬(wàn)元，且A、B兩個(gè)接種點(diǎn)的工作總天數(shù)不超過85天，則如何安排A、B兩個(gè)接種點(diǎn)工作的天數(shù)，使總耗費(fèi)最低？并求出最低費(fèi)用．【變式4-3】（2021春?大同期末）在新冠疫情防控期間，某校新購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的電子體溫測(cè)量?jī)x共20臺(tái)，其中A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23，已知A、B兩種測(cè)溫儀的價(jià)格如表所示，請(qǐng)問購(gòu)買A、B型號(hào)AB價(jià)格800元/臺(tái)600元/臺(tái)【題型5一次函數(shù)的應(yīng)用（工程問題）】【例5】（2021?匯川區(qū)三模）為了主題為“醉美遵義，酒都仁懷”第十三屆遵義文化旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會(huì)召開，仁懷某社區(qū)計(jì)劃對(duì)面積為2000m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，經(jīng)投標(biāo)，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成，已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化面積的2.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為500m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積．（2）設(shè)甲工程隊(duì)施工x天，乙工程隊(duì)施工y天，剛好完成綠化任務(wù)，求y與x的函數(shù)解析式．（3）若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是1.5萬(wàn)元，乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.5萬(wàn)元，且甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，則如何安排甲、乙兩隊(duì)施工的天數(shù)，使施工總費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．【變式5-1】（2021春?青羊區(qū)期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)鋪設(shè)兩條公路，所鋪設(shè)公路的長(zhǎng)度y（m）與鋪設(shè)時(shí)間x（h）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息分析，解決下列問題：（1）在2時(shí)～6時(shí)段時(shí)，乙隊(duì)的工作效率為5m/h；（2）分別求出乙隊(duì)在0時(shí)～2時(shí)段和2時(shí)～6時(shí)段，y與x的關(guān)系式，并求出甲乙兩隊(duì)所鋪設(shè)公路長(zhǎng)度相等時(shí)x的值；（3）求出當(dāng)兩隊(duì)所鋪設(shè)的公路長(zhǎng)度之差為5m時(shí)x的值．【變式5-2】（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩人同時(shí)開始共同組裝一批零件，工作兩小時(shí)后，乙因事離開，停止工作．一段時(shí)間后，乙重新回到崗位并提高了工作效率．最后40分鐘，甲休息，由乙獨(dú)自完成剩余零件的組裝．甲在工作過程中工作效率保持不變，乙在每個(gè)工作階段的工作效率保持不變．甲、乙兩人組裝零件的總數(shù)y（個(gè)）與工作時(shí)間x（小時(shí)）之間的圖象如圖．（1）這批零件一共有多少個(gè)？（2）在整個(gè)組裝過程中，當(dāng)甲、乙各自組裝的零件總數(shù)相差40個(gè)時(shí)，求x的值．【變式5-3】（2020秋?鄭州期末）工廠某車間需加工一批零件，甲組工人加工中因故停產(chǎn)檢修機(jī)器一次，然后以原來的工作效率繼續(xù)加工，由于時(shí)間緊任務(wù)重，乙組工人也加入共同加工零件．設(shè)甲組加工時(shí)間t（時(shí)），甲組加工零件的數(shù)量為y甲（個(gè)），乙組加工零件的數(shù)量為y乙（個(gè)），其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）求a的值，并說明a的實(shí)際意義；（3）甲組加工多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個(gè)．【題型6一次函數(shù)的應(yīng)用（其他問題）】【例6】（2021春?沙河口區(qū)期末）為預(yù)防疫情傳播，學(xué)校對(duì)教室定期噴藥消毒．如圖為一次消毒中，某教室每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時(shí)間x（min）的函數(shù)圖象，它是由關(guān)閉門窗集中噴藥，通風(fēng)前和打開門窗后通風(fēng)三段不同的一次函數(shù)組成的．在下面四個(gè)選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過5min集中噴藥，教室每立方米空氣中含藥量最高達(dá)到10mg/m3 B．持續(xù)11min室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3 C．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時(shí)間不低于35分鐘，才有效殺滅病毒．由此判斷此次消毒有效 D．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于4mg/m3時(shí)，對(duì)人體是安全的．從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到10mg/m3開始，需經(jīng)過40min后學(xué)生才能進(jìn)入室內(nèi)【變式6-1】（2021春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）某地自來水公司為限制單位用水，每月只給某單位計(jì)劃內(nèi)用水3000噸，計(jì)劃內(nèi)用水每噸收費(fèi)0.5元，超計(jì)劃部分每噸按0.8元收費(fèi)．（1）某月該單位用水3200噸，水費(fèi)是元；若用水2800噸，水費(fèi)是元；（2）寫出該單位水費(fèi)y（元）與每月用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若某月該單位繳納水費(fèi)1540元，則該單位這個(gè)月的用水量為多少噸？【變式6-2】（2021春?河?xùn)|區(qū)期末）一個(gè)水庫(kù)的水位在某段時(shí)間內(nèi)持續(xù)上漲，表格中記錄了連續(xù)5h內(nèi)6個(gè)時(shí)間點(diǎn)的水位高度，其中x表示時(shí)間，y表示水位高度．01234533.33.63.94.24.5（1）水位高度y是否為時(shí)間x的函數(shù)？若是，請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)解析式；（2）據(jù)估計(jì)，這種上漲規(guī)律還會(huì)持續(xù)，并且當(dāng)水位高度達(dá)到8m時(shí)，水庫(kù)報(bào)警系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)發(fā)出警報(bào)．請(qǐng)預(yù)測(cè)再過多久系統(tǒng)會(huì)發(fā)出警報(bào)？【變式6-3】（2021?澗西區(qū)三模）某大型商場(chǎng)為了提高銷售人員的積極性，對(duì)原有的薪酬計(jì)算方式進(jìn)行了修改，設(shè)銷售人員一個(gè)月的銷售量為x（件），銷售人員的月收入為y（元），原有的薪酬計(jì)算方式y(tǒng)1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每銷售一件商品另外獲得15元的提成修改后的薪酬計(jì)算方式為y2（元），且y2＝k2x+b，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）求y1和y2的解析式，并說明b的實(shí)際意義；（2）求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，并說明交點(diǎn)F的實(shí)際意義；（3）根據(jù)函數(shù)圖象請(qǐng)判斷哪種薪酬計(jì)算方式更適合銷售人員．專題6.4一次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【蘇科版】【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)與實(shí)際問題】在研究有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，要遵循一審、二設(shè)、三列、四解的方法：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)自變量。根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系設(shè)滿足題意的自變量；第3步：列函數(shù)。根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出函數(shù)；第4步：求解。求出滿足題意的數(shù)值。【題型1一次函數(shù)的應(yīng)用（行程問題）】【例1】（2021春?海門市期中）甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向勻速而行，已知甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，約定先到A地者停止運(yùn)動(dòng)就地休息．若甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲行走的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘，乙的速度是80米/分鐘；②甲出發(fā)30分鐘時(shí)，兩人在C地相遇；③乙到達(dá)A地時(shí)，甲與A地相距450米，其中正確的說法有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】根據(jù)圖象可知A、B兩地相距3720米；利用速度＝路程÷時(shí)間可求出甲、乙的速度，由二者相遇的時(shí)間＝6+A、B兩地之間的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的時(shí)間，再由A、C兩地之間的距離＝甲的速度×二者相遇的時(shí)間可求出A、C兩地之間的距離，由A、C兩地之間的距離結(jié)合甲、乙的速度，可求出乙到達(dá)A地時(shí)甲與A地相距的路程．【解答過程】解：由圖象可知，A、B兩地相距3720米，甲的速度為（3720﹣3360）÷6＝60（米/分鐘），乙的速度為（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分鐘），故①說法正確；甲、乙相遇的時(shí)間為6+3360÷（60+80）＝30（分鐘），故②說法正確；A、C兩地之間的距離為60×30＝1800（米），乙到達(dá)A地時(shí)，甲與A地相距的路程為1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③說法正確．即正確的說法有4個(gè)．故選：D．【變式1-1】（2021春?巴彥淖爾期末）如圖，折線ABCDE描述了一輛汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s（km）與行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，判斷下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）①汽車在行駛途中停留了0.5h；②汽車在整個(gè)行駛過程的平均速度是40km/h；③汽車共行駛了240km；④汽車出發(fā)4h離出發(fā)地40km．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解題思路】根據(jù)停留時(shí)距離S不發(fā)生變化可判斷①；根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間列式計(jì)算即可判斷②；求得往返的路程和得出答案即可判斷③；先求出3h到4.5h的速度，再求據(jù)出發(fā)地的距離可判斷④．【解答過程】解：①汽車在行駛途中停留了2﹣1.5＝0.5h，故①正確；②平均速度：120×2÷4.5=160故②錯(cuò)誤；③汽車共行駛了120×2＝240km，故③正確；④汽車自出發(fā)后3h到4.5h速度為：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小時(shí)，∴汽車出發(fā)4h離出發(fā)地距離為120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米，故④正確．∴正確的是①③④，故選：C．【變式1-2】（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）某天上午，大學(xué)生小南從學(xué)校出發(fā)去重慶市圖書館查閱資料，同時(shí)他的同學(xué)小開從該圖書館看完書回學(xué)校．兩人在途中相遇，于是馬上就各自最近的研究課題交流了6分鐘，又各自按原速前往自己的目的地．直到小開回到學(xué)校并電話告知小南后，小南決定提速25%到達(dá)圖書館（接打電話的時(shí)間忽略不計(jì)）．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，小南和小開之間的距離y（m）與小南所用的時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．學(xué)校和圖書館的之間的距離為1200m B．小南提速前，小開的速度是小南的1.8倍 C．m＝1500 D．n＝62【解題思路】從圖象上直接可以得出圖書館到學(xué)校的距離，從而可以判斷A；先求出小南和小開的和速度，再求出小開的速度，從而可以判斷B；通過圖象和題意可以求出m，從而可以判斷C；先求出小南提速后的速度，再根據(jù)路程÷速度＝時(shí)間，即可判斷D．【解答過程】解：由圖象可知：圖書館到學(xué)校的距離為2400米，故A錯(cuò)誤；小南和小開的和速度為：2400÷24＝100（米/分），小開走完2400米所用時(shí)間為：46﹣6＝40（分），∴小開的速度為：2400÷40＝60（米/分），∴小南的速度為：100﹣60＝40（米/分），∴小南提速前，小開的速度是小南的60÷40＝1.5，故B錯(cuò)誤；相遇后到小開到達(dá)學(xué)校所用時(shí)間為46﹣（24+6）＝16（分），∴m＝100×16＝1600（米），故C錯(cuò)誤；小南提速后的速度為40（1+25%）＝50（米/分），∴n＝（2400﹣1600）÷50+46＝16+46＝62（分），故D正確．故選：D．【變式1-3】（2021?蒙陰縣二模）甲、乙兩車從M地到480千米的N地，甲車比乙車晚出發(fā)2小時(shí)，乙車途中因故停車檢修，圖中線段DE、折線OABC分別表示甲、乙兩車所行路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決如下問題：（1）求兩車在途中第二次相遇時(shí)，它們距目的地的路程；（2）甲車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，兩車在途中第一次相遇？【解題思路】（1）設(shè)甲車所行使路程y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，利用待定系數(shù)法求出其函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)解答即可；（2）求出線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算兩車在途中第一次相遇的時(shí)間．【解答過程】解：（1）設(shè)甲車所行使路程y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，把（2，0）和（10，480）代入，得2k解得：k1∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝60x﹣120；由圖可得，交點(diǎn)F表示第二次相遇，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，此時(shí)y＝60×6﹣120＝240，∴F（6，240），故兩車在途中第二次相遇時(shí)它們距目的地的路程為480﹣240＝240（千米）；（2）設(shè)線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x+b2，把（6，240）、（8，480）代入，得6k解得k2故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝120x﹣480，則當(dāng)x＝4.5時(shí)，y＝120×4.5﹣480＝60．可得：點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為60，∵線段AB表示因故停車檢修，∴交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為60，把y＝60代入y＝60x﹣120中，有60＝60x﹣120，解得x＝3，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，60），∵交點(diǎn)P表示第一次相遇，∴甲車出發(fā)的時(shí)間為：3﹣2＝1（小時(shí)）．【題型2一次函數(shù)的應(yīng)用（調(diào)運(yùn)問題）】【例2】（2021春?大安市期末）A城有肥料400噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)，從A城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)肥料費(fèi)為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，C鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料340噸，D鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料360噸．設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)鎮(zhèn)x噸肥料，請(qǐng)解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下列表格：城、鄉(xiāng)/噸數(shù)CDAx400﹣xB340﹣xx﹣40（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)題意，可以將表格補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)題意和（1）中表格的數(shù)據(jù)，可以寫出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）根據(jù)（2）中函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少，最少為多少元．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，表格填寫如下：城、鄉(xiāng)/噸數(shù)CDAx400﹣xB340﹣xx﹣40故答案為：400﹣x；340﹣x；x﹣40；（2）由題意可得，W＝20x+25（400﹣x）+15（340﹣x）+24（x﹣40）＝4x+14140，∵340﹣x≥0且x﹣40≥0，∴40≤x≤340，即W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式是W＝4x+14140（40≤x≤340）；（3）∵y＝4x+14140，k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∵40≤x≤340，∴當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y＝14300，400﹣x＝360，340﹣x＝300，x﹣40＝0，答：從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)40噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)360噸；從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)300噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)0噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最小值是14300元．【變式2-1】（2021?尋烏縣模擬）疫情期間，甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)要向M，N兩地運(yùn)送防疫物資，已知甲倉(cāng)庫(kù)可調(diào)出50噸防疫物資，乙倉(cāng)庫(kù)可調(diào)出40噸防疫物資，M地需35噸防疫物資，N地需55噸防疫物資，兩倉(cāng)庫(kù)到M，N兩地的路程和運(yùn)費(fèi)如下表：路程/千米運(yùn)送1千米所需運(yùn)費(fèi)/（元/噸）甲倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)甲倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)M地20151212N地2520108（1）設(shè)從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地防疫物資x噸，兩倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M，N兩地的總費(fèi)用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）如何調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最少？總運(yùn)費(fèi)最少是多少？【解題思路】（1）設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地的防疫物資為x噸，甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地的防疫物資為（50﹣x）噸，乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地的防疫物資為（35﹣x）噸，乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地的防疫物資為（5+x）噸，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，并求出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最小值．【解答過程】解：設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地的防疫物資為x噸，甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地的防疫物資為（50﹣x）噸，乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地的防疫物資為（35﹣x）噸，乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地的防疫物資為（5+x）噸，根據(jù)題意得：y＝12×20x+10×25（50﹣x）+12×15×（35﹣x）+8×20（5+x）＝﹣30x+19600，∵x≥0，50﹣x≥0，35﹣x≥0，∴0≤x≤35，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣30x+19600（0≤x≤35）；（2）∵y＝﹣30x+19600，﹣30＜0，∴y隨x的增大而減小，∵0≤x≤35，∴當(dāng)x＝35時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少，即從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地35噸，甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地：50﹣35＝15（噸），乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地：55﹣15＝40（噸），乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地：40﹣40＝0（噸），∴總運(yùn)費(fèi)最少為：﹣30×35+19600＝18550（元）．∴從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往M地35噸，運(yùn)往N地15噸；從乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往N地40噸時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最少是18550元．【變式2-2】（2021春?滿洲里市期末）已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，現(xiàn)決定將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)給C，D兩地，C，D兩地分別需要調(diào)運(yùn)蔬菜240t和260t．其中從A地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸．設(shè)A，B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案．【解題思路】根據(jù)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸，可以用含x的式子表示出運(yùn)往各地的噸數(shù)，然后即可寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，即可得到總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案，【解答過程】解：設(shè)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸，則從B地運(yùn)往D地的蔬菜為（300﹣x）噸，從A地運(yùn)往C地的蔬菜為（240﹣x）噸，從A地運(yùn)往D地的蔬菜為（x﹣40）噸．w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，由題意得，240-x≥0x-40≥0解得40≤x≤240，∵w＝2x+9200，k＝2＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝40時(shí)，總運(yùn)費(fèi)w有最小值9280元，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260，答：w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝2x+9200，總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案是從A地運(yùn)往C地200噸，B地運(yùn)往C地40噸，B地運(yùn)往D地260噸．【變式2-3】（2021春?昆明期末）某市A、B兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)分別有救災(zāi)物資200噸和300噸，2021年5月18日起云南大理州漾濞縣已連續(xù)發(fā)生多次地震，最高震級(jí)為5月21日發(fā)生的6.4級(jí)地震，為援助災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需將這些物資全部運(yùn)往甲，乙兩個(gè)受災(zāi)村．已知甲村需救災(zāi)物資240噸，乙村需救災(zāi)物資260噸，從A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸20元和每噸25元，從B倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸15元和24元．設(shè)A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲村救災(zāi)物資x噸，請(qǐng)解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下表格：倉(cāng)庫(kù)甲村乙村Ax①B②③①＝200﹣x；②＝240﹣x；③＝x+60．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式．（3）求怎么調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)題意用含x的代數(shù)式表示即可；（2）根據(jù)題意直接列式：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）化簡(jiǎn)即可；（3）由（2）中的一次函數(shù)可知，y隨x的減小而減小，要使總運(yùn)費(fèi)最低，x必須取最小值，計(jì)算各個(gè)運(yùn)貨數(shù)量設(shè)計(jì)方案即可．【解答過程】解：（1）∵A、B兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)分別有救災(zāi)物資200噸和300噸，甲村需救災(zāi)物資240噸，乙村需救災(zāi)物資260噸，∴設(shè)A倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲村救災(zāi)物資x噸，則運(yùn)往乙村（200﹣x）噸，B倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲村（240﹣x）噸，運(yùn)往乙村[300﹣（240﹣x）]＝（x+60）噸，∴①＝200﹣x，②＝240﹣x，③＝x+60．故答案為：200﹣x，240﹣x，x+60．（2）W＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）＝4x+10040（0≤x≤200）．（3）∵一次函數(shù)W＝4x+10040，k＝4＞0，∴y隨x的減小而減小，∴要使總運(yùn)費(fèi)最低，x必須取最小值．∴當(dāng)x＝6時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少是10040元．調(diào)運(yùn)方案為：從A村運(yùn)往乙?guī)?00噸，從B村運(yùn)往甲庫(kù)240噸，運(yùn)往乙?guī)?0噸．【題型3一次函數(shù)的應(yīng)用（利潤(rùn)最大化）】【例3】（2021?鎮(zhèn)雄縣二模）2020年6月1日上午，國(guó)務(wù)院總理在山東煙臺(tái)考察時(shí)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī)．“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為了社會(huì)關(guān)注的熱門話題．小明從市場(chǎng)得知如表信息：甲商品乙商品進(jìn)價(jià)（元/件）355售價(jià)（元/件）458小明計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小明購(gòu)進(jìn)甲商品x件，甲、乙商品全部銷售完后獲得利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明用不超過2000元資金一次性購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種商品，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若要求甲，乙商品全部銷售完后獲得的利潤(rùn)不少于632.5元，請(qǐng)說明小明有哪些可行的進(jìn)貨方案，并計(jì)算哪種進(jìn)貨方案的利潤(rùn)最大．【解題思路】（1）由y＝甲商品利潤(rùn)+乙商品利潤(rùn)，可得解析式；（2）由用不超過2000元資金一次性購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種商品，列出不等式組，即可求解；（3）由獲得的利潤(rùn)不少于632.5元，列出不等式可求x的范圍，由一次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【解答過程】解：（1）由題意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300；（2）由題意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，∴x≤50，又∵x≥0，∴0≤x≤50，且x為整數(shù)；（3）由題意可得：（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）≥632.5，∴x≥47.5，∴47.5≤x≤50，又∵x為整數(shù)，∴x＝48，49，50，∴進(jìn)貨方案有：甲商品進(jìn)48件，乙商品進(jìn)52件；甲商品進(jìn)49件，乙商品進(jìn)51件；甲商品進(jìn)50件，乙商品進(jìn)50件；∵y＝7x+300，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝50時(shí)，有最大利潤(rùn)．∴當(dāng)甲商品進(jìn)50件，乙商品進(jìn)50件，利潤(rùn)有最大值．【變式3-1】（2021?青白江區(qū)模擬）在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號(hào)的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤(rùn)為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤(rùn)為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤(rùn)；（2）該藥店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，則該藥店購(gòu)進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤(rùn)y最大？【解題思路】（1）設(shè)每只A型口罩銷售利潤(rùn)為a元，每只B型口罩銷售利潤(rùn)為b元，根據(jù)“銷售80只A型和45只B型的利潤(rùn)為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤(rùn)為180元”列方程組解答即可；（2）根據(jù)題意即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題意列不等式得出x的取值范圍，再結(jié)合y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式解答即可．【解答過程】解：（1）設(shè)每只A型口罩銷售利潤(rùn)為a元，每只B型口罩銷售利潤(rùn)為b元，根據(jù)題意得：80a+45b=2140a+60b=18解得a=0.15b=0.2答：每只A型口罩銷售利潤(rùn)為0.15元，每只B型口罩銷售利潤(rùn)為0.2元；（2）根據(jù)題意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根據(jù)題意得，2000-x≥x2000-x≤3x解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），∵﹣0.05＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝500時(shí)，y取最大值，則2000﹣x＝1500，即藥店購(gòu)進(jìn)A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使銷售總利潤(rùn)最大．【變式3-2】（2021春?連山區(qū)期末）由于新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，某經(jīng)銷商決定分兩次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的新能源汽車（兩次購(gòu)進(jìn)同一種型號(hào)汽車的每輛的進(jìn)價(jià)相同）．第一次用270萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)汽車30輛和乙型號(hào)汽車20輛；第二次用128萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)汽車14輛和乙型號(hào)汽車10輛．（1）求甲、乙兩種型號(hào)汽車每輛的進(jìn)價(jià)；（2）經(jīng)銷商分別以每輛甲型號(hào)汽車8.8萬(wàn)元，每輛乙型號(hào)汽車4.2萬(wàn)元的價(jià)格銷售后，根據(jù)銷售情況，決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的汽車共100輛，且乙型號(hào)汽車的數(shù)量不少于甲型號(hào)汽車數(shù)量的3倍，設(shè)再次購(gòu)進(jìn)甲型汽車a輛，這100輛汽車的總銷售利潤(rùn)為W萬(wàn)元．①求W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；并寫出自變量的取值范圍；②若每輛汽車的售價(jià)和進(jìn)價(jià)均不變，該如何購(gòu)進(jìn)這兩種汽車，才能使銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解題思路】（1）設(shè)甲種型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為a萬(wàn)元、乙種型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為b萬(wàn)元，根據(jù)“第一次用270萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)汽車30輛和乙型號(hào)汽車20輛；第二次用128萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)汽車14輛和乙型號(hào)汽車10輛”得到相應(yīng)的二元一次方程組，解方程組即可得到甲、乙兩種型號(hào)汽車每輛的進(jìn)價(jià)；（2）①根據(jù)題意可以得到利潤(rùn)與購(gòu)買甲種型號(hào)汽車數(shù)量的函數(shù)關(guān)系；②根據(jù)乙型號(hào)汽車的數(shù)量不少于甲型號(hào)汽車數(shù)量的3倍，可以得到購(gòu)買甲種型號(hào)汽車數(shù)量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最大利潤(rùn)和此時(shí)的購(gòu)買方案．【解答過程】解：（1）設(shè)甲種型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為a萬(wàn)元、乙種型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為b萬(wàn)元，30a+20b=27014a+10b=128解得：a=7b=3答：甲、乙兩種型號(hào)汽車每輛的進(jìn)價(jià)分別為7萬(wàn)元、3萬(wàn)元；（2）①由題意得：購(gòu)進(jìn)乙型號(hào)的汽車（100﹣a）輛，則W＝（8.8﹣7）a+（4.2﹣3）×（100﹣a）＝0.6a+120，乙型號(hào)汽車的數(shù)量不少于甲型號(hào)汽車數(shù)量的3倍，∴100﹣a≥3a，且a≥0，解得，0≤a≤25，∴W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為W＝0.6a+120（0≤a≤25）；②W＝0.6a+120，∵0.6＞0，∴W隨著a的增大而增大，∵0≤a≤25，∴當(dāng)a＝25時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝0.6×25+120＝135（萬(wàn)元），100﹣25＝75（輛），答：獲利最大的購(gòu)買方案是購(gòu)進(jìn)甲型汽車25輛，乙型汽車75輛，最大利潤(rùn)是135萬(wàn)元．【變式3-3】（2021?鹿邑縣一模）草莓是一種極具營(yíng)養(yǎng)價(jià)值的水果，當(dāng)下正是草莓的銷售旺季．某水果店以2850元購(gòu)進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓．若按標(biāo)價(jià)出售可獲毛利潤(rùn)1500元（毛利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)），這兩種盒裝草莓的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表所示：價(jià)格/品種A品種B品種進(jìn)價(jià)（元/盒）4560標(biāo)價(jià)（元/盒）7090（1）求這兩個(gè)品種的草莓各購(gòu)進(jìn)多少盒；（2）該店計(jì)劃下周購(gòu)進(jìn)這兩種品種的草莓共100盒（每種品種至少進(jìn)1盒），并在兩天內(nèi)將所進(jìn)草莓全部銷售完畢（損耗忽略不計(jì)）．因B品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒．如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)是多少？【解題思路】（1）根據(jù)某水果店以2850元購(gòu)進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓，按標(biāo)價(jià)出售可獲毛利潤(rùn)1500元和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出毛利潤(rùn)和購(gòu)買A種草莓?dāng)?shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒，可以得到相應(yīng)的不等式，求出A種草莓?dāng)?shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)是多少．【解答過程】解：（1）設(shè)A品種的草莓購(gòu)進(jìn)x盒，B品種的草莓購(gòu)進(jìn)y盒，由題意可得，45x+60y=2850(70-45)x+(90-60)y=1500解得x=30y=25答：A品種的草莓購(gòu)進(jìn)30盒，B品種的草莓購(gòu)進(jìn)25盒；（2）設(shè)A品種的草莓購(gòu)進(jìn)a盒，則B品種的草莓購(gòu)進(jìn)（100﹣a）盒，毛利潤(rùn)為w元，由題意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000，∵k＝﹣5＜0，∴w隨a的增大而減小，∵水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒，∴a≥20100-a≥2a解得20≤a≤3313∴當(dāng)a＝20時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80，答：當(dāng)A品種的草莓購(gòu)進(jìn)20盒，B品種的草莓購(gòu)進(jìn)80盒時(shí)，才能使毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)是2900元．【題型4一次函數(shù)的應(yīng)用（費(fèi)用最低）】【例4】（2021春?廣安期末）為積極響應(yīng)垃圾分類的號(hào)召，某街道決定在街道內(nèi)的所有小區(qū)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱．已知購(gòu)買3個(gè)垃圾箱和2個(gè)溫馨提示牌需要280元，購(gòu)買2個(gè)垃圾箱和3個(gè)溫馨提示牌需要270元．（1）每個(gè)垃圾箱和每個(gè)溫馨提示牌各多少元？（2）若購(gòu)買垃圾箱和溫馨提示牌共100個(gè)（兩種都買），且垃圾箱的個(gè)數(shù)不少于溫馨提示牌個(gè)數(shù)的3倍，請(qǐng)寫出總費(fèi)用w（元）與垃圾箱個(gè)數(shù)m（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)購(gòu)買垃圾箱和溫馨提示牌各多少個(gè)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)購(gòu)買3個(gè)垃圾箱和2個(gè)溫馨提示牌需要280元，購(gòu)買2個(gè)垃圾箱和3個(gè)溫馨提示牌需要270元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)垃圾箱的個(gè)數(shù)不少于溫馨提示牌個(gè)數(shù)的3倍，即可得到m的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當(dāng)購(gòu)買垃圾箱和溫馨提示牌各多少個(gè)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元．【解答過程】解：（1）設(shè)每個(gè)垃圾箱和每個(gè)溫馨提示牌分別為x元、y元，由題意可得，3x+2y=2802x+3y=270解得x=60y=50答：每個(gè)垃圾箱和每個(gè)溫馨提示牌分別為60元、50元；（2）設(shè)購(gòu)買垃圾箱m個(gè)，則購(gòu)買溫馨提示牌（100﹣m）個(gè)，w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，∵垃圾箱的個(gè)數(shù)不少于溫馨提示牌個(gè)數(shù)的3倍，∴m≥3（100﹣m），解得m≥75，∴當(dāng)m＝75時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝5750，100﹣m＝25，答：總費(fèi)用w（元）與垃圾箱個(gè)數(shù)m（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝10m+5000，當(dāng)購(gòu)買垃圾箱和溫馨提示牌分別為75個(gè)、25個(gè)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為5750元．【變式4-1】（2021春?環(huán)江縣期末）某縣園林局打算購(gòu)買三角梅、水仙裝點(diǎn)城區(qū)道路，負(fù)責(zé)人小李去花卉基地調(diào)查發(fā)現(xiàn)：購(gòu)買1盆三角梅和2盆水仙需要14元，購(gòu)買2盆三角梅和1盆水仙需要13元．（1）求三角梅、水仙的單價(jià)各是多少元？（2）購(gòu)買三角梅、水仙共10000盆，且購(gòu)買的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆．①設(shè)購(gòu)買的三角梅種花a盆，總費(fèi)用為W元，求W與a的關(guān)系式；②當(dāng)總費(fèi)用最少時(shí)，應(yīng)選擇哪一種購(gòu)買方案？最少費(fèi)用為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)購(gòu)買1盆三角梅和2盆水仙需要14元，購(gòu)買2盆三角梅和1盆水仙需要13元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，解方程組即可得到三角梅、水仙的單價(jià)各為多少元；（2）①根據(jù)題意，可以寫出W與m的關(guān)系式；②根據(jù)①中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到使總花費(fèi)最少的夠花方案，并求出最少費(fèi)用．【解答過程】解：（1）設(shè)三角梅、水仙的單價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)題意得x+2y=142x+y=13解得x=4y=5答：三角梅、水仙的的單價(jià)分別為4元、5元；（2）①由題意可得，W＝4a+5（10000﹣a），即W與a的關(guān)系式是W＝﹣a+50000（3000≤a≤5000）；②∵W＝﹣a+50000，∴W隨a的增大而減小，∵3000≤a≤5000，∴當(dāng)a＝5000時(shí)，W取得最小值，此時(shí)W＝45000，10000﹣a＝1000﹣5000＝5000，答：當(dāng)購(gòu)買三角梅、水仙各5000盆時(shí)，總花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為45000元．【變式4-2】（2021?三水區(qū)校級(jí)二模）截至2021年4月10日，全國(guó)累計(jì)報(bào)告接種新冠疫苗16447.1萬(wàn)劑次，接種總劑次數(shù)為全球第二．某社區(qū)有80000人每人準(zhǔn)備接種兩劑次相同廠家生產(chǎn)的新冠疫苗并被分配到A、B兩個(gè)接種點(diǎn)，A接種點(diǎn)有5個(gè)接種窗口，B接種點(diǎn)有4個(gè)接種窗口．每個(gè)接種窗口每天的接種量相同，并且在獨(dú)立完成20000人的兩劑次新冠疫苗接種時(shí)，A接種點(diǎn)比B接種點(diǎn)少用5天．（1）求A、B兩個(gè)接種點(diǎn)每天接種量；（2）設(shè)A接種點(diǎn)工作x天，B接種點(diǎn)工作y天，剛好完成該社區(qū)80000人的新冠疫苗接種任務(wù)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若A接種點(diǎn)每天耗費(fèi)6.5萬(wàn)元，B接種點(diǎn)每天耗費(fèi)為4萬(wàn)元，且A、B兩個(gè)接種點(diǎn)的工作總天數(shù)不超過85天，則如何安排A、B兩個(gè)接種點(diǎn)工作的天數(shù)，使總耗費(fèi)最低？并求出最低費(fèi)用．【解題思路】（1）設(shè)A接種點(diǎn)每天接種量為5x劑次，B接種點(diǎn)每天接種量為4x劑次，由題意：在獨(dú)立完成20000人的兩劑次新冠疫苗接種時(shí)，A接種點(diǎn)比B接種點(diǎn)少用5天．列出分式方程，解方程即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)“A、B兩個(gè)接種點(diǎn)的工作總天數(shù)不超過85天”可得x+y≤85，再把（2）的結(jié)論代入可得關(guān)于x的不等式，解不等式求出x的取值范圍；設(shè)總耗費(fèi)為w萬(wàn)元，由題意求出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答過程】解：（1）設(shè)A接種點(diǎn)每天接種量為5x劑次，B接種點(diǎn)每天接種量為4x劑次，由題意得：20000×24x解得：x＝400，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝400是原方程的解，且符合題意，則4x＝1600，5x＝2000，答：設(shè)A接種點(diǎn)每天接種量為2000劑次，B接種點(diǎn)每天接種量為1600劑次；（2）由（1）得2000x+1600y＝80000×2，∴y=-5（3）由題意，得x+y≤85，即x+（-5解得x≥60，設(shè)總耗費(fèi)為w萬(wàn)元，則w＝6.5x+4（-54x+∵1.5＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝60時(shí)，w取值最小，最小值為：1.5×60+400＝490（萬(wàn)元），∴y=-5答：安排A接種點(diǎn)工作60天，B種接種點(diǎn)工作25天，使總耗費(fèi)最低，最低費(fèi)用為490萬(wàn)元．【變式4-3】（2021春?大同期末）在新冠疫情防控期間，某校新購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的電子體溫測(cè)量?jī)x共20臺(tái)，其中A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23，已知A、B兩種測(cè)溫儀的價(jià)格如表所示，請(qǐng)問購(gòu)買A、B型號(hào)AB價(jià)格800元/臺(tái)600元/臺(tái)【解題思路】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出費(fèi)用與A種型號(hào)測(cè)溫儀臺(tái)數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)某校新購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的電子體溫測(cè)量?jī)x共20臺(tái)，A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23，可以得到A種型號(hào)臺(tái)數(shù)的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到購(gòu)買A、B【解答過程】解：設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)的測(cè)溫儀x臺(tái)，則購(gòu)買B種型號(hào)的測(cè)溫儀（20﹣x）臺(tái)，所需費(fèi)用為w元，由題意可得，w＝800x+600（20﹣x）＝200x+12000，∴w隨x的增大而增大，∵某校新購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的電子體溫測(cè)量?jī)x共20臺(tái)，A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23∴23（20﹣x）≤x解得8≤x≤20，∴當(dāng)x＝8時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝200×8+12000＝13600，20﹣x＝12，答：購(gòu)買A、B兩種測(cè)溫儀分別為8臺(tái)、12臺(tái)時(shí)，可使所購(gòu)儀器的總費(fèi)用最少，最少需13600元．【題型5一次函數(shù)的應(yīng)用（工程問題）】【例5】（2021?匯川區(qū)三模）為了主題為“醉美遵義，酒都仁懷”第十三屆遵義文化旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會(huì)召開，仁懷某社區(qū)計(jì)劃對(duì)面積為2000m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，經(jīng)投標(biāo)，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成，已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化面積的2.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為500m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積．（2）設(shè)甲工程隊(duì)施工x天，乙工程隊(duì)施工y天，剛好完成綠化任務(wù)，求y與x的函數(shù)解析式．（3）若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是1.5萬(wàn)元，乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.5萬(wàn)元，且甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，則如何安排甲、乙兩隊(duì)施工的天數(shù)，使施工總費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．【解題思路】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是xm2，則乙甲隊(duì)每天能完成綠化面積2.5xm2，根據(jù)在獨(dú)立完成面積為500m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天，列方程求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出y與x的函數(shù)解析式．（3）根據(jù)甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，得到x的取值范圍，設(shè)施工總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【解答過程】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是xm2，則乙甲隊(duì)每天能完成綠化面積2.5xm2，根據(jù)題意得：500x解得x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解并滿足題意，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是：50×2.5＝125（m2），答：甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是125m2、50m2；（2）根據(jù)題意，得：125x+50y＝2000，整理得：y＝40﹣2.5x，∴y與x的函數(shù)解析式為：y＝40﹣2.5x；（3）∵甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，∴x+y≤19，∴x+40﹣2.5x≤19，解得：x≥14，設(shè)施工總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得：w＝1.5x+0.5y＝1.5x+0.5×（40﹣2.5x）＝0.25x+20，∵k＝0.25＞0，∴w隨x減小而減小，∴當(dāng)x＝14時(shí)，w有最小值，最小值為0.25×14+20＝23.5（萬(wàn)元），此時(shí)y＝19﹣14＝5．答：安排甲隊(duì)施工14天，乙隊(duì)施工5天時(shí)，施工總費(fèi)用最低為23.5萬(wàn)元．【變式5-1】（2021春?青羊區(qū)期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)鋪設(shè)兩條公路，所鋪設(shè)公路的長(zhǎng)度y（m）與鋪設(shè)時(shí)間x（h）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息分析，解決下列問題：（1）在2時(shí)～6時(shí)段時(shí)，乙隊(duì)的工作效率為5m/h；（2）分別求出乙隊(duì)在0時(shí)～2時(shí)段和2時(shí)～6時(shí)段，y與x的關(guān)系式，并求出甲乙兩隊(duì)所鋪設(shè)公路長(zhǎng)度相等時(shí)x的值；（3）求出當(dāng)兩隊(duì)所鋪設(shè)的公路長(zhǎng)度之差為5m時(shí)x的值．【解題思路】（1）根據(jù)圖象即可求出在2時(shí)～6時(shí)段時(shí)，乙隊(duì)的工作效率；（2）根據(jù)圖中的信息利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)關(guān)系式；再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式列方程解答即可；（3）利用（2）中的函數(shù)關(guān)系式可以解決問題．【解答過程】解：（1）在2時(shí)～6時(shí)段時(shí)，乙隊(duì)的工作效率為：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（m/h），故答案為：5；（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，設(shè)乙隊(duì)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx，可得2k＝30，解得k＝15，即y＝15x；當(dāng)2≤x≤6時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝nx+m，可得2n+m=306n+m=50解得n=5m=20即y＝5x+20，∴y乙10x＝5x+20，解得x＝4，即甲乙兩隊(duì)所挖河渠長(zhǎng)度相等時(shí)x的值為4；（3）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，15x﹣10x＝5，解得x＝1．當(dāng)2＜x≤4時(shí)，5x+20﹣10x＝5，解得x＝3，當(dāng)4＜x≤6時(shí)，10x﹣（5x+20）＝5，解得x＝5．答：當(dāng)兩隊(duì)所挖的河渠長(zhǎng)度之差為5m時(shí)，x的值為1h或3h或5h．【變式5-2】（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩人同時(shí)開始共同組裝一批零件，工作兩小時(shí)后，乙因事離開，停止工作．一段時(shí)間后，乙重新回到崗位并提高了工作效率．最后40分鐘，甲休息，由乙獨(dú)自完成剩余零件的組裝．甲在工作過程中工作效率保持不變，乙在每個(gè)工作階段的工作效率保持不變．甲、乙兩人組裝零件的總數(shù)y（個(gè)）與工作時(shí)間x（小時(shí)）之間的圖象如圖．（1）這批零件一共有多少個(gè)？（2）在整個(gè)組裝過程中，當(dāng)甲、乙各自組裝的零件總數(shù)相差40個(gè)時(shí)，求x的值．【解題思路】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以分別計(jì)算出甲的速度、乙開始和后來的速度，然后即可計(jì)算出這批零件一共有多少個(gè)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和分類討論的方法，可以求得x的值．【解答過程】解：（1）由圖象可得，甲的工作效率是：（690﹣420）÷（5﹣2）＝90（個(gè)/小時(shí)），乙剛開始的工作效率是：420÷2﹣90＝120（個(gè)/小時(shí)），乙后來的工作效率是：（1320﹣690）÷（8-401320+180×＝1320+120＝1440（個(gè)），答：這批零件一共有1440個(gè)；（2）當(dāng)0≤x＜2時(shí)，（120﹣90）x＝40，解得x=4當(dāng)2≤x＜5時(shí)，120×2﹣90x＝40或90x﹣120×2＝40，解得x＝229或x＝31當(dāng)5≤x＜8-4090x﹣120×2﹣180（x﹣5）＝40或120×2+180（x﹣5）﹣90x＝40，解得x＝689或x＝77當(dāng)8-4060120×2+180（x﹣5）﹣90×（8-40解得x＝759由上可得，在整個(gè)組裝過程中，當(dāng)甲、乙各自組裝的零件總數(shù)相差40個(gè)時(shí)，x的值是43，229，319，68【變式5-3】（2020秋?鄭州期末）工廠某車間需加工一批零件，甲組工人加工中因故停產(chǎn)檢修機(jī)器一次，然后以原來的工作效率繼續(xù)加工，由于時(shí)間緊任務(wù)重，乙組工人也加入共同加工零件．設(shè)甲組加工時(shí)間t（時(shí)），甲組加工零件的數(shù)量為y甲（個(gè)），乙組加工零件的數(shù)量為y乙（個(gè)），其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）求a的值，并說明a的實(shí)際意義；（3）甲組加工多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個(gè)．【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到y(tǒng)乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到甲的速度，然后即可計(jì)算出a的值，然后再說明a的實(shí)際意義即可；（3）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，然后即可得到甲組加工多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個(gè)．【解答過程】解：（1）設(shè)y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙＝kt+b，5k+b=08k+b=360解得k=120b=-600即y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）；（2）由圖象可得，甲的工作效率為120÷3＝40（個(gè)/時(shí)），a＝120+40×（8﹣4）＝280，即a的值是280，實(shí)際意義是當(dāng)甲加工8小時(shí)時(shí)，一共加工了280個(gè)零件；（3）設(shè)甲組加工c小時(shí)時(shí)，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個(gè)，120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480，解得c＝7，即甲組加工7小時(shí)時(shí)，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個(gè)．【題型6一次函數(shù)的應(yīng)用（其他問題）】【例6】（2021春?沙河口區(qū)期末）為預(yù)防疫情傳播，學(xué)校對(duì)教室定期噴藥消毒．如圖為一次消毒中，某教室每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時(shí)間x（min）的函數(shù)圖象，它是由關(guān)閉門窗集中噴藥，通風(fēng)前和打開門窗后通風(fēng)三段不同的一次函數(shù)組成的．在下面四個(gè)選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過5min集中噴藥，教室每立方米空氣中含藥量最高達(dá)到10mg/m3 B．持續(xù)11min室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3 C．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時(shí)間不低于35分鐘，才有效殺滅病毒．由此判斷此次消毒有效 D．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于4mg/m3時(shí)，對(duì)人體是安全的．從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到10mg/m3開始，需經(jīng)過40min后學(xué)生才能進(jìn)入室內(nèi)【解題思路】根據(jù)圖象分別求出三段一次函數(shù)的解析式即可判斷．【解答過程】解：設(shè)三段一次函數(shù)的解析式為：y＝k1x，y＝k2x+b1，y＝k3x+b2，由圖象可得，10＝5k1，10=5k2+解得k1＝2，k2=-1∴三段函數(shù)的解析式為：y＝2x，y=-15x+11，y=-1A通過圖象可得，經(jīng)過5min集中噴藥，教室每立方米空氣中含藥量最高達(dá)到10mg/m3，故A正確；B將y＝8代入y＝2x得x＝4，15﹣4＝11，因此持續(xù)11min室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3，故B正確；C將y＝5代入y＝2x得x=52，將y＝5代入y=-110x+192得D將y＝4代入y=-110x+192得x＝55，55﹣5＝50，由此從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到10mg/m3開始，需經(jīng)過50故選：D．【變式6-1】（2021春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）某地自來水公司為限制單位用水，每月只給某單位計(jì)劃內(nèi)用水3000噸，計(jì)劃內(nèi)用水每噸收費(fèi)0.5元，超計(jì)劃部分每噸按0.8元收費(fèi)．（1）某月該單位用水3200噸，水費(fèi)是1660元；若用水2800噸，水費(fèi)是1400元；（2）寫出該單位水費(fèi)y（元）與每月用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若某月該單位繳納水費(fèi)1540元，則該單位這個(gè)月的用水量為多少噸？【解題思路】（1）由2800≤3000，根據(jù)“水費(fèi)＝每噸水費(fèi)×用水量”即可算出此時(shí)水費(fèi)；由3200＞3000，根據(jù)“水費(fèi)＝3000×0.5+超出部分×0.8”即可算出此時(shí)水費(fèi)；（2）分0≤x≤3000以及x＞3000來考慮，根據(jù)“水費(fèi)＝每噸水費(fèi)×用水量和水費(fèi)＝3000×0.5+超出部分×0.8”即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)用水3000噸的收費(fèi)可知該單位本月用水量超過3000噸，故把1540代入y＝0.8x﹣900求出x即可．【解答過程】解：（1）某月該單位用水3200噸，水費(fèi)是：3000×0.5+（3200﹣3000）×0.8＝1660（元）；若用水2800噸，水費(fèi)是：2800×0.5＝1400（元）．故答案為：1660，1400；（2）根據(jù)題意，當(dāng)0≤x≤3000時(shí)，y＝0.5x；當(dāng)x＞3000時(shí)，y＝0.5×3000+0.8×（x﹣3000）＝0.8x﹣900，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=0.5x(0≤x≤3000)（3）如果該單位一個(gè)月用水3000噸，則應(yīng)交水費(fèi)：0.5×3000＝1500（元），∵1540＞1500，∴該單位某月用水超過3000噸，∴把y＝1540代入y＝0.8x﹣900得：0.8x﹣900＝1540，解得：x＝3050，∴該單位這個(gè)月的用水量為3050噸．【變式6-2】（2021春?河?xùn)|區(qū)期末）一個(gè)水庫(kù)的水位在某段時(shí)間內(nèi)持續(xù)上漲，表格中記錄了連續(xù)5h內(nèi)6個(gè)時(shí)間點(diǎn)的水位高度，其中x表示時(shí)間，y表示水位高度．01234533.33.63.94.24.5（1）水位高度y是否為時(shí)間x的函數(shù)？若是，請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)解析式；（2）據(jù)估計(jì)，這種上漲規(guī)律還會(huì)持續(xù)，并且當(dāng)水位高度達(dá)到8m時(shí)，水庫(kù)報(bào)警系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)發(fā)出警報(bào)．請(qǐng)預(yù)測(cè)再過多久系統(tǒng)會(huì)發(fā)出警報(bào)？【解題思路】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求得y與x之間的函數(shù)解析式；（2）將y＝8代入（1）中的函數(shù)解析式，求出x的值，再用x的值減去5即可解答本題．【解答過程】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y＝kx+b，b=3k+b=3.3解得k=0.3b=3即y與x之間的函數(shù)解析式為y＝0.3x+3；（2）把y＝8，代入y＝0.3x+3，得8＝0.3x+3，解得，x=50503答：再過353【變式6-3】（2021?澗西區(qū)三模）某大型商場(chǎng)為了提高銷售人員的積極性，對(duì)原有的薪酬計(jì)算方式進(jìn)行了修改，設(shè)銷售人員一個(gè)月的銷售量為x（件），銷售人員的月收入為y（元），原有的薪酬計(jì)算方式y(tǒng)1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每銷售一件商品另外獲得15元的提成修改后的薪酬計(jì)算方式為y2（元），且y2＝k2x+b，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）求y1和y2的解析式，并說明b的實(shí)際意義；（2）求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，并說明交點(diǎn)F的實(shí)際意義；（3）根據(jù)函數(shù)圖象請(qǐng)判斷哪種薪酬計(jì)算方式更適合銷售人員．【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得y1和y2的函數(shù)關(guān)系式；（2）聯(lián)立方程組，解方程組可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)題目條件可得F的實(shí)際意義；（3）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式和（2）中點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可解答本題．【解答過程】解：（1）∵y1＝k1x+b的圖象過點(diǎn)（0，3000），∴b＝3000，又∵每銷售一件商品另外獲得15元的提成，∴k1＝15，∴y1＝15x+3000，∵y2＝k2x+b的圖象過點(diǎn)（100，3000），由圖象可得b＝0，∴100k2＝3000，解得k2＝30，∴y2＝30x，∴y1中b的實(shí)際意義為底薪為3000元，y2中b的實(shí)際意義為底薪為0元；（2）y=15x+3000y=30x解得x=200y=6000∴F（200，6000），∴F點(diǎn)的實(shí)際意義是當(dāng)銷售200件商品時(shí)，兩種薪酬計(jì)算方式所得薪酬相等為6000元；（3）結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)0＜x＜200時(shí)，原有的薪酬計(jì)算方式更適合銷售人員，當(dāng)x＝200時(shí)，選擇兩種薪酬計(jì)算方式對(duì)銷售人員一樣．當(dāng)x＞200時(shí)，修改后的薪酬計(jì)算方式更適合銷售人員．專題6.5一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系-重難點(diǎn)題型【蘇科版】【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關(guān)系】1.任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）．當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．2.解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍.【題型1一次函數(shù)的與一元一次方程】【例1】（2020秋?包河區(qū)期中）根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，直接寫出下列問題的答案：（1）關(guān)于x的方程kx+b＝0的解；（2）代數(shù)式k+b的值；（3）關(guān)于x的方程kx+b＝﹣3的解．【變式1-1】（2021秋?泰興市校級(jí)期末）已知一次函數(shù)y＝kx+1與y=-12x+b的圖象相交于點(diǎn)（2，5），求關(guān)于x的方程kx+【變式1-2】一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx+b＝4的解為多少？【變式1-3】已知一次函數(shù)y＝kx﹣6的圖象如圖（1）求k的值；（2）在圖中的坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象（要求：先列表，再描點(diǎn)，最后連線）；（3）根據(jù)圖象寫出關(guān)于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．【題型2一次函數(shù)的與一元一次不等式（數(shù)形結(jié)合）】【例2】（2021春?高明區(qū)期末）一次函數(shù)y1＝ax+b與y2＝cx+d的圖象如圖所示，下列說法：①對(duì)于函數(shù)y1＝ax+b來說，y隨x的增大而增大；②函數(shù)y＝ax+d不經(jīng)過第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c=14（d﹣A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【變式2-1】（2021?安徽模擬）已知一次函數(shù)y1＝kx+3（k為常數(shù)，且k≠0）和y2＝x﹣3．當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2，則k的取值范圍是（）A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0【變式2-2】（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）我們知道，若ab＞0．則有a＞0b＞0或a＜0b＜0．如圖，直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點(diǎn)A（﹣0.5，0）、B（2，0），則不等式（kx+b）（mx+A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2【變式2-3】（2021春?中山市期末）一次函數(shù)y1＝ax+b與y2＝cx+d的圖象如圖所示，下列說法：①對(duì)于函數(shù)y1＝ax+b來說，y隨x的增大而減?。虎诤瘮?shù)y＝ax+d的圖象不經(jīng)過第一象限；③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；④d﹣b＝3（a﹣c）．其中正確的有（）A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③【題型3一次函數(shù)的與一元一次不等式（取值范圍）】【例3】（2021春?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y1＝x+1與直線l2：y2＝2x﹣2交于點(diǎn)A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，直接寫出x的取值范圍；（3）已知直線l3：y3＝kx+1，當(dāng)x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有y3＞y2，直接寫出k的取值范圍．【變式3-1】（2021春?茌平區(qū)期末）已知：如圖一次函數(shù)y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象相交于點(diǎn)A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若一次函數(shù)y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)B、C，求△ABC的面積．（3）結(jié)合圖象，直接寫出y1≥y2時(shí)x的取值范圍．【變式3-2】（2021春?海珠區(qū)期末）已知一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象交x軸和y軸于點(diǎn)B和D；另一個(gè)一次函數(shù)y2＝bx+a的圖象交x軸和y軸于點(diǎn)C和E，且兩個(gè)函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，4）（1）當(dāng)a，b為何值時(shí)，y1和y2的圖象重合；（2）當(dāng)0＜a＜4，且在x＜1時(shí)，則y1＞y2成立．求b的取值范圍；【變式3-3】（2020春?贛縣區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，4），且與正比例函數(shù)y=-23x的圖象交于點(diǎn)B（（1）求a的值及一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)C，且正比例函數(shù)y=-23x的圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過點(diǎn)C，求（3）直接寫出關(guān)于x的不等式0＜-23x＜kx+【題型4一次函數(shù)與一元一次不等式（面積問題）】【例4】（2021春?諸城市期末）如圖，直線y＝kx+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，3）；直線y＝1﹣mx分別與x軸交于點(diǎn)C，與直線AB交于點(diǎn)D，已知關(guān)于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞-4（1）分別求出k，b，m的值；（2）求S△ACD．【變式4-1】（2021春?東遼縣期末）已知直線y＝kx+5交x軸于A，交y軸于B且A坐標(biāo)為（5，0），直線y＝2x﹣4與x軸于D，與直線AB相交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面積．【變式4-2】（2020春?寧化縣校級(jí)月考）如圖，直線l1：y＝2x與直線l2：y＝kx+3在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)交于點(diǎn)P（a，2）．（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；（2）求出△OAP的面積．【變式4-3】已知一次函數(shù)y1＝﹣2x﹣3與y2=12（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，不等式﹣2x﹣3＞12x+2的解集為（3）求兩圖象和y軸圍成的三角形的面積．【題型5一次函數(shù)的與一元一次不等式（求點(diǎn)的坐標(biāo)）】【例5】如圖，直線y＝kx+b與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)M（3，0），N（0，4），且MN=5.（1）求直線MN的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出不等式kx+b≥0的解集；（3）若點(diǎn)P在x軸上，且點(diǎn)P到直線y＝kx+b的距離為125，直接寫出符合條件的點(diǎn)P【變式5-1】（2021春?順德區(qū)期末）一次函數(shù)y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的圖象如圖所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．（1）由圖可知，不等式kx+b＞0的解集是；（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求a的值．【變式5-2】（2020秋?南京期末）已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），B（1，4）．（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）若直線y＝2x﹣4與直線AB相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)，不等式2x﹣4＞kx+b．【變式5-3】在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+1與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x+k（k≠0）與y軸交于點(diǎn)A，與直線y＝﹣2x+1交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及k的值；（2）求直線y＝﹣2x+1、直線y＝x+k與y軸所圍成的△ABC的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．【知識(shí)點(diǎn)2一次函數(shù)與二元一次方程】（1）每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，也對(duì)應(yīng)一條直線.（2）解二元一次方程組，從“數(shù)”的角度看，相當(dāng)于考慮當(dāng)自変量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少，從“形”的角度看，相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).【題型6一次函數(shù)與二元一次方程】【例6】（2021?濟(jì)南二模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》“方程”一章記載用算籌（方陣）表示二元一次方程組的方法，發(fā)展到現(xiàn)代就是用矩陣式a1b1a2b2xy=c1c2來表示二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，而該方程組的解就是對(duì)應(yīng)兩直線（不平行）a1x+b【變式6-1】如圖，直線y＝﹣2x+6與直線y＝mx+n相交于點(diǎn)M（p，4）．（1）求p的值；（2）直接寫出關(guān)于x，y的二元一次方程組y=-2x+6y=mx+n（3）判斷直線y＝3nx+m﹣2n是否也過點(diǎn)M？并說明理由．【變式6-2】（2021秋?文成縣期末）如圖，l1，l2分別表示兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，它們相交于點(diǎn)P，（1）求出兩條直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)可看作是哪個(gè)二元一次方程組的解；（3）求出圖中△APB的面積．【變式6-3】（2020秋?西安期末）學(xué)校準(zhǔn)備五一組織老師去隆中參加諸葛亮文化節(jié)，現(xiàn)有甲、乙兩家旅行社表示對(duì)老師優(yōu)惠，設(shè)參加文化節(jié)的老師有x人，甲、乙兩家旅行社實(shí)際收費(fèi)為y1、y2，且它們的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息，請(qǐng)你回答下列問題：（1）當(dāng)參加老師的人數(shù)為多少時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)相同？（2）當(dāng)參加老師的人數(shù)為多少人時(shí)，選擇甲旅行社合算？（3）如果全共有50人參加時(shí)