《軸對稱之最短路徑》破解策略用軸對稱思想解決線段最值問題是常用的方法，本質是利用三角形三邊關系解決問題．常見的題型有：1.已知：在直線l同惻有A.B兩點，在l上找一點P,使得AP+PB最小.?BA? l作法：如圖.作點A關于直線l的對稱點A‘，連結A'B,與直線，的交點就是點PA'.已知：在直線l同側有A,B兩點，在l上找一點P,使得|AP—PB|最小作法：如圖，連結AB,作線段AB的垂甫平分線.與直線l的交點就是點P.已知：在直線l同側有A,B兩點，在l上找一點P.使得|AP—PB|最大?BA? l作法：如圖，連結BA并延長，與直線，的交點就是點P.已知：在直線l同側有A,B兩點.在l上找兩點C,D（其中CD的長度固定，等于所給線段d），使得AC+CD+DB最小，5.已知：在/5.已知：在/MON內有一點P,作法：如圖，先將點A向右平移口個單位長度到點A',作A'關于直線l的對稱點A”,連結A"B,與直線l的交點就是點D.連結A'D,過點A作AC〃A'D,交直線l于點C.則此時AC'+CD+DB最小.作法：如圖，分別作點P關于射線OM的對稱點P',P",連結P'P",與射線ON,OM的交點就是點Q,R.6．,Q.使得6．,Q.使得PR+QR最小作法：如圖，作點P關于射線OM的對稱點P',作P'Q±ON,垂足為Q,P'Q與射線ON的交點就是R.Q NQ N例題講解例1 (1)如圖1,等邊4ABC中，AB=2,E是AB的中點，AD是高，在AD上作出點P,使BP+EP的值最小，并求BP+PE的最小值.(2)如圖2,已知。。的直徑CD為2,AC的度數為60°,點B是AC的中點，在直徑CD上作出點P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.(3)如圖3,點P是四邊形ABCD內一點，BP=m,NABC=a，分別在邊AB,BC上作出點M,N,使4PMN的周長最小，并求出這個最小值(用含m,a的代數式表示).圖1解圖1解(1)<3(作法是：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，這點就是所求的點P)；(2)五(作法是：作點B關于CD的對稱點E,連接AE交CD于一點，這點就是所求的點P)；(3)分別作點P關于邊AB,BC的對稱點E,F,連結EF,分別與邊AB,BC交于點M,N,線段EF的長度即為4PMN的周長的最小值.如圖，連結BE,BF,ZEBF=2ZABC=2a,BE=BF=BP=m.過點B作BHLEF于點H,

所以NEBH=1NEBF=a,EH=FH.2在Rt^BEH中，sina=EH,BE所以EH=BE?sina=m?sina,所以EF=2m-sina,IPPM+PN+MN=EF=2m-sina.例2如圖，在平面直角坐標系xOy中，分別以點A(2,3),B(3,4)為圓心，以1,3為半徑作。A,0B,M,N分別是。A,0B上的動點，點P為x軸上的動點，求PM+PN的最小值．解如圖，作。A關于x軸的對稱圖形。A',連結A'B,與x軸交于點P,與。A'交點為M',與。B交點為N,連結PA,PA與。A交點為M,則此時PA+PB值最小，從而PM+PN值也最小，最小值為線段M'N的長.如圖，易得A'(2,—3),由兩電間距離公式得A'B=5、；2.故M'N=5x：2—4,即PM+PN=5<2—4.BE是兩條邊上的高，點。為其交點.例3如圖1,等邊4ABC的邊長為6,AD,P,N分別是BE,BCBE是兩條邊上的高，點。為其交點.NDNDNDND圖1 圖2(1)當PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度；(2)如圖2,若點Q在線段BO上，BQ=1,求QN+NP+PD的最小值.

AAAA圖3 圖4解(1)由等邊三角形軸對稱的性質可得，點D關于BE的對稱點D'在AB上，且為AB的中點．如圖3,過點D'作BC的垂線，垂足為N',D'N交BE于點P,連結PD',則PD'=PD.此時D'N的長度即為PN+PD長度的最小值.顯然D'N〃AD,即點N為BD的中點.所以BN=1BC=3,42從而BP=一BN一=n.cosZPBN(2)如圖4,作點Q關于BC的對稱點Q',則BQ'=1,NCBQ'=30°.點D'是點D關于BE的對稱點，連接D'Q',交BE于點P,交BC于點N.此時D'Q'即為QN+NP+PD的最小值.顯然ND'BQ'=90°,所以D'Q'=、BD&+BQ‘2=105,即QN+NP+PD的最小值為v10.進階訓練.兩平面鏡OM,ON相交于點。，且CMLCN,一束光線從點A出發，經過平面鏡反射后，恰好經過點B,光線可以只經過平面鏡OM反射后過點B,也可以只經過平面鏡ON反射后過點B.除了這兩種作法外，還有其他方法嗎？如果有，請在圖中畫出光線的行進路線，保留作圖痕跡,并簡要說明理由．OM’OM’答案：作點A關于OM的對稱點A',作點B關于ON的對稱點B',連接A'B',與OM,ON分別交于點D,C.光線行進路線如圖.. (1)在A和B兩地之間有一條河，現要在這條河上建一座橋CD,橋建在何處才能使從A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)(2)如圖2,在A和B兩地之間有兩條河，現要在這兩條河上各建一座橋，分別是MN和PQ,橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)解：(1)如圖，過點B作BB′垂直于河岸，且使BB’長度等于這條河寬，連接AB’交河的一岸于點C,過點C作CD垂直于河岸，與另一岸交點為D,則CD即為架橋最合適的位置.(2)如圖，過點A作AA′垂直于距點A較近的河岸，且使AA′長等于該河寬，同樣，過點B作BB′垂直于距點B較近的河岸，且使BB′長等于河寬，連接A'B‘分別交兩條河相鄰的河岸于點N,P,過點N作NM垂直于該河河岸，與另一岸交點為M,過P作PQ垂直于該河河岸，與另一岸交點為Q,則MN,PQ即為架橋最合適的位置.圖1圖1圖23.如圖，直線y=X+3分別與x軸，y軸交于點A,B,拋物線y=-X2+2x+1與y4軸交于點C.若點E在拋物線y=—X2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值.

提示：作點C關于對稱軸x=1的對稱點C‘，則c'（2,1）.過點C‘作C'