關于函數的奇偶性和周期性第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第二單元函數、導數及其應用理科第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第七講函數的奇偶性性和周期性第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天考綱解讀1.了解奇函數、偶函數的定義，會判斷一些簡單函數的奇偶性，并能夠用函數的奇偶性解決一些函數問題.2.了解周期函數的定義，并能夠用函數的周期性解決一些函數問題.

第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天主干知識整合知識回顧（1）函數的奇偶性概念：1、定義：對于定義域內的

，總有

成立，則f(x)是偶函數；總有

成立，則f(x)是奇函數。

任意x

f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)理解：①任意x；

②定義域是否關于原點對稱；

③恒有

④當函數是偶函數是恒有：成立

⑤f(x)=0既是奇函數又是偶函數。第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天（2）利用定義判斷函數的奇偶性的步驟為：1、首先確定函數的

，并判斷其定義域是否關于

對稱；定義域

原點

2、確定

和f(x)的關系；f(-x)3、作出相應的結論。（3）函數的奇偶性的作用：

1、作圖：f(x)為偶函數f(x)的圖像關于y軸對稱；f(x)為奇函數f(x)的圖像關于原點成中心對稱。2、函數的奇偶性的判定方法：①定義法；②圖像法；③性質法。第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天（4）．函數的奇偶性的性質和常用結論：

奇函數與奇函數奇函數與偶函數偶函數與偶函數和差積商注意：以上結論是在兩函數的公共定義域內才成立；并且只能在選擇題、填空題中直接應用，解答題須先證明再利用．奇函數奇函數偶函數偶函數奇函數奇函數偶函數偶函數偶函數偶函數第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

2、奇函數在對稱的兩個區間上有

的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上有

的單調性。相同

相反3、奇函數f(x)在x=0處有定義，則一定有f(0)=

;偶函數滿足等式

.0

4、函數的定義域關于原點對稱是：

函數具有奇偶性的必要不充分條件．第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天（5）一些重要類型的奇偶函數：

1、函數為

函數，

偶

函數為

函數，

奇2、函數為

函數，

奇3、函數為

函數，

奇第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天一般地，對于函數f(x)，如果

一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有

，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．對于一個周期函數f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．存在f(x＋T)＝f(x)

2、求函數周期的基本方法：

①定義法；②圖像法；

③轉化為同一個函數的形式（如，）。(6)、周期性：1.定義：第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天課前訓練：1、已知，若，則的值為（）

A、

B、

C、

D、答案：B.

解答：自變量互為相反數，必定考查函數的奇偶性。

f(x)是奇函數，所以f(-a)=-b.第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天2、已知是定義在上的偶函數,那么的值是()

A、

B、

C、

D、答案：C.解答：由f(x)是偶函數知b=0.因為f(x)的定義域為[a-1,2a]，

所以a-1+2a=0，則第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天3、已知圓O：及以下三個函數：①；②；③．其中圖象能等分圓O面積的函數個數為（）

A．3B．2C．1D．0答案：B.

解答：圖象能等分圓O面積的函數等價于這個函數是奇函數。

第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天若，則＝

。4、已知為常數，17

解答：法一：由f(-7)=-(a7+b7+c7+d7)+5=-7,可得：a7+b7+c7+d7=12.f(7)=(a7+b7+c7+d7)+5=12+5=17.753775533法二：令h(x)=f(x)-5=ax+bx+cx+dx,

顯然h(x)是奇函數。

h(-7)=f(-7)-5=-12,則h(7)=12=f(7)-5,∴f(7)=17.753第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天5、設f(x)在R上有定義，下列函數①

②③④其中必為奇函數的有

。②④解答：令g(x)=-|f(x)|,則g(-x)=-|f(-x)|≠g(x),g(-x)≠-g(x),

所以g(x)既不是奇函數也不是偶函數。令h(x)=xf(x),則h(-x)=-xf[(-x)]=-xf(x)=-h(x),

所以h(x)是奇函數；同理可知：y=-f(-x)既不是奇函數也不是偶函數；

y=f(x)-f(-x)是奇函數.22第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天6、已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函數．若方程f(x)＝m(m＞0)在區間[－8,8]上有四個不同的根x，x，x，x，則x＋x＋x＋x＝________.12341234解答：由已知f(x－4)＝f(－x)，則函數f(x)的圖象關于x＝－2對稱，由f(x)在[0,2]上是增函數，則f(x)在[－2,0]上遞增，函數f(x)的圖象如圖所示：－8f(x)＝m在區間[－8,8]上四個不同實根x，x，x，x.x＋x＋x＋x＝－12＋4＝－8.12341234第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天7、設函數f(x)(x∈R)為奇函數，則（）A．0 B．1 C． D．5答案：C.解答：因為f(x)是奇函數，所以f(-1)=-f(1)。令x=-1得：f(2)=1,則：

f(5)=f(3)+1=f(1)+2=第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天典型例題例1、判斷下列函數的奇偶性:第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解答：①函數f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，其關于原點對稱，并且有：

∴f(x)是奇函數。第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例2、①若函數是奇函數，則a=

.。法一：利用f(-1)=-f(1),解得：法二：因為f(x)是奇函數，所以有：而

對照比較知：

解得：

思考：改分母呢？第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

②已知函數的最大值為M，最小值是m，則M+m的值為

。2

解答：令h(x)=f(x)-1=，顯然h(x)是奇函數。

設f(a)=M=h(a)+1，則f(-a)=m=h(-a)+1∴h(a)+h(-a)=0=M+m-2，∴M+m=2第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天③設x,y∈R,且滿足：則x+y=()A．1 B．2 C．3 D．4答案：D.第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天④已知f(x)是定義在R上的奇函數，滿足當時，，則函數f(x)在區間[0,6]上的零點個數是（）A．3B．5C．7D．9D第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例3、已知函數f(x)滿足，且f(x)為偶函數，當x∈[3,4]時，,試求當x∈[-1,1]時，f(x)的解析式。解答：由可得：所以函數f(x)是周期為2的周期函數。設-1≤x≤0,則3≤x+4≤4,∴f(x+4)=log(x+4)3∵f(x)是周期為2的周期函數，∴f(x+4)=f(x)=log(x+4).3第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天再令0≤x≤1,則-1≤-x≤0，又∵函數f(x)為偶函數，∴f(-x)=f(x)=log(4-x).3綜上所述：∴f(-x)=log(4-x).3第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例4、已知定義域為R的偶函數f(x)在（-∞，0]是減函數，且，求不等式的解集。解答：因為f(x)是偶函數，所以f(logx)=f(|logx|).44由偶函數f(x)在(-∞，0]上是減函數知：f(x)在[0，+∞)上是增函數。

∴

解得：

故原不等式的解集為第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例5、定義在實數集上的函數f(x),對于任意x,y∈R且⑴求證：f(0)=1；(2)求證：f(x)是偶函數；⑶若存在常數c,使得：①求證：對任意x∈R，有f(x=c)=-f(x)成立；②試問函數f(x)是不是周期函數？如果是，找出它的一個周期；如果不是，請說明理由。第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解答：（1）令x=y=0，則得：2f(0)=2f(0).2因為f(0)≠0,所以f(0)=1(2)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).由（1）知f(0)=1，∴f(-y)=f(y)（3）①∵∴即f(x+c)=-f(x)②函數y=f(x)是周期為2c的周期函數。證明如下：f(x+2c)=f[(x+c)+c]=-f(x+c)=f(x)∴函數y=f(x)是周期為2c的周期函數。第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例6、

①f(x)是定義在R上的奇函數，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+5)那么f(144)+f(3)=

.

-2解答：由f(x+1)=f(x+5)知函數f(x)是周期為4的周期函數