第十一章三角形數學活動鑲嵌學習導航學習目標新課導入概念剖析典型例題當堂檢測課堂總結1.知道鑲嵌的意義，會用一種或幾種正多邊形進行平面的鑲嵌；(重點、難點)2.知道可以用一些全等的非正多邊形進行平面的鑲嵌；一、學習目標3.通過對可進行平面鑲嵌的多邊形的探究，體會數學與生活的密切聯系.二、新課導入生活中的鑲嵌思考：在生活中有沒有遇到正五邊形的瓷磚鋪成的地面或墻面？為什么？三、概念剖析

用地磚鋪地，用瓷磚貼墻，都要求磚與磚嚴絲合縫，不留空隙，把地面或墻面全部覆蓋.從數學角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋(不留縫隙)，就叫做用多邊形覆蓋平面，或叫做平面鑲嵌.(一)鑲嵌的概念三、概念剖析活動1：用一種正多邊形鑲嵌平面.(二)鑲嵌的條件

從一些邊長相同的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中，選擇其中的一種進行平面鑲嵌，哪幾種正多邊形能夠鑲嵌成平面圖案？我們發現能夠鑲嵌成平面圖案的有：不能鑲嵌成平面圖案的有：正五邊形正三角形、正方形、正六邊形思考：為什么會出現這種結果？三、概念剖析60°60°60°60°60°60°接點處的六個角和為360°三角形的鑲嵌三、概念剖析接點處的四個角和為360°正方形的鑲嵌三、概念剖析接點處的3個角和不等于360°正五邊形的鑲嵌三、概念剖析接點處的3個角和等于360°正六邊形的鑲嵌結論1：同一種正多邊形能夠平面鑲嵌的條件是：360°是它內角的整數倍.三、概念剖析活動2：用一種正多邊形鑲嵌平面.

從一些邊長相同的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中，選擇其中的兩種進行平面鑲嵌，哪兩種正多邊形能夠鑲嵌成一個平面圖案？我們發現能夠鑲嵌成平面圖案的組合有：正三角形和正方形正三角形和正六邊形三、概念剖析兩種正多邊形組合的鑲嵌3×60°+2×90°=360°2×60°+2×120°=360°4×60°+120°=360°結論2：幾種正多邊形能夠平面鑲嵌的條件是，它們內角的倍數相加能夠等于360°.三、概念剖析活動3：用不規則多邊形鑲嵌平面.用大小、形狀完全相同的不規則的多邊形是否也能夠鑲嵌平面？形狀、大小完全相同的任意三角形、四邊形都可以鑲嵌平面.我們發現：

三、概念剖析不規則多邊形的鑲嵌結論3：多邊形能夠平面鑲嵌的條件是，拼接在同一個頂點的各個角的和恰好等于360°且相鄰的多邊形有公共邊.例1.現有六種地板磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形，且它們的邊長都相等．若同時選擇其中兩種地板磚鋪地面(不能有縫隙)，選擇的方式有哪幾種？四、典型例題分析：能夠平面鑲嵌的條件它們內角的倍數相加能夠等于360°.解：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的內角度數分別是，60°、90°、108°、120°、135°、150°.四、典型例題60°×3+90°×2=360°正三角形+正方形60°×4+120°×1=360°正三角形+正六邊形90°×1+135°×2=360°正方形+正八邊形60°×1+150°×2=360°正三角形+正十二邊形它們的內角度數：60°、90°、108°、120°、135°、150°答：選擇的方式有4種，分別是：正三角形+正方形，正三角形+正六邊形，正方形+正八邊形，正三角形+正十二邊形.1.用一些不重疊的多邊形把平面的一部分完全覆蓋叫做平面鑲嵌，則用一種多邊形鑲嵌時，下列多邊形中不能進行平面鑲嵌的是()A.正三角形B.正四邊形C.正五邊形D.正六邊形【當堂檢測】C2．在下列三組地板磚中，①正三角形與正方形，②正三角形與正六邊形，③正六邊形與正方形，將每組中的兩種多邊形結合，能鑲嵌地面的是

.【當堂檢測】分析：正三角形、正方形、正六邊形的內角分別為：60°，90°，120°.①∵3×60°+2×90°=360°，∴能鑲嵌地面；②∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，∴能鑲嵌地面；③90m+120n=360°，n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鑲嵌地面；∴將每組中的兩種多邊形結合，能鑲嵌地面的是①②.①②例2.王老師正準備裝修新買房屋的地面，到一家裝修公司去看地磚，結果王老師看中邊長相等的正方形和正八邊形的兩種地磚的質量，你能幫助王老師用這兩種正多邊形鑲嵌成一個平面圖形（草圖）嗎？并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形，說明你的理由.四、典型例題分析：利用兩種正多邊形鑲嵌內角之間關系進而求出即可.解：鑲嵌成一個平面圖形（如圖）.四、典型例題設在一個頂點周圍有m個正方形的角，n個正八邊形的角，那么m，n應是方程m·90°+n·135°=360°的正整數解，即2m+3n=8的正整數解；只有m=1，n=2一組，∴符合條件的圖形只有一種．3.已知2個正多邊形A和3個正多邊形B可繞一點周圍鑲嵌（密鋪），A的一個內角的度數是B的一個內角的度數的1.5倍.（1）試分別確定A、B是什么正多邊形？（2）畫出這5個正多邊形在平面鑲嵌（密鋪）的圖形（畫一種即可）.【當堂檢測】解：(1)設B的內角為x，則A的內角為1.5x，∵2個正多邊形A和3個正多邊形B可繞一點周圍鑲嵌（密鋪），∴3x+2×1.5x=360°，解得：x=60°，1.5x=90°，∴可確定A為正四邊形，B為正三邊形；(2)這5個正多邊形在平面鑲嵌（密鋪）的圖形如下圖.【當堂檢測】五、課堂總結多邊形覆蓋平面問題概念：用不重疊擺