2022-2023學年湖南省長沙市楚才高級中學高二數學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數，則z的虛部等于（）A．1

Ｂ．3

Ｃ．

Ｄ．參考答案：B略2.已知，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略3.若集合，下列關系式中成立的為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.在中，已知，則

(

)A.5

B.10

C.

D.參考答案：C略5.設是復數，則下列命題中的假命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則參考答案：D試題分析：對（A），若，則，所以為真；對（B）若，則和互為共軛復數，所以為真；對（C）設，若，則，，所以為真；對（D）若，則為真，而，所以為假．故選D．考點：1.復數求模；2.命題的真假判斷與應用．6.若雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的方程是（

）．A. B. C. D.參考答案：A【分析】先由漸近線方程，設雙曲線方程為，再由題意，即可求出結果.【詳解】解：因為雙曲線的漸近線方程為，所以，可設雙曲線標準方程為：，∵雙曲線過，代入方程得，∴雙曲線方程：．故選A．7.已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，若當x＜0時，f（x）=﹣log2（﹣2x），則f（32）=（）A．﹣32 B．﹣6 C．6 D．64參考答案：B【考點】3L：函數奇偶性的性質．【分析】真假利用函數的奇偶性的性質求解即可．【解答】解：因為當x＜0時，f（x）=﹣log2（﹣2x），f（32）=f（﹣32）=﹣log264=﹣6，故選：B．8.已知等比數列中，是方程的兩個根，則等于（

）

A.1或

B.

C.1

D.2參考答案：C略9.設復數z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，則在復平面內對應的點在（）A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限

D． 第四象限參考答案：D.10.已知x、y滿足，則的最小值為（

）A.4 B.6 C.12 D.16參考答案：A【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（2，2），令z=3x﹣y，化為y=3x﹣z，由圖可知，當直線y=3x﹣z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查的是線性規劃問題，解決線性規劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線x＋2y－2＝0經過橢圓(a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于___________。參考答案：略12.=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果與為共線向量，則x+y=．參考答案：【考點】共線向量與共面向量．【分析】利用向量共線的充要條件即可求出．【解答】解：∵與為共線向量，∴存在實數λ使得，∴解得，∴．故答案為．13.甲、乙、丙三人參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.4、0.6，0.5，則三人都達標的概率是__________________．參考答案：0.12略14.一個邊長為12cm的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長都為的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，要使方盒的容積最大，的值應為

.

參考答案：2cm

略15.近年來，隨著以煤炭為主的能源消耗大幅攀升、機動車保有量急劇增加，我國許多大城市灰霾現象頻發，造成灰霾天氣的“元兇”之一是空氣中的pm2.5（直徑小于等于2.5微米的顆粒物）.右圖是某市某月（按30天計）根據對“pm2.5”24小時平均濃度值測試的結果畫成的頻率分布直方圖，若規定空氣中“pm2.5”24小時平均濃度值不超過0.075毫克/立方米為達標，那么該市當月有

天“pm2.5”含量不達標．

參考答案：27該市當月“pm2.5”含量不達標有（天）;16.橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2，直線l經過F1橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為．參考答案：20【考點】橢圓的簡單性質．【分析】△AF2B為焦點三角形，由橢圓定義可得周長等于兩個長軸長，再根據橢圓方程，即可求出△AF2B的周長．【解答】解：由橢圓的焦點在x軸上，a=5，b=2，∴|AF1|+|AF2|=2a=10，|BF1|+|BF2|═2a=10，∴△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+|（BF1|+|BF2|）=4a=20，故答案為：20．17.隨機變量的取值為0,1,2，若，，則________.參考答案：設時的概率為，則，解得，故考點：方差.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣與x=1處都取得極值．（1）求a，b的值；（2）求曲線y=f（x）在x=2處的切線方程．參考答案：【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）根據所給的函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，得到關于a，b的關系式，解方程組即可，（2）求出切點坐標，利用導數幾何意義求出切線斜率k，即可求解切線方程【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（）=﹣a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，得a=﹣，b=﹣2，經檢驗，a=﹣，b=﹣2符合題意；（2）由（1）得f′（x）=3x2﹣x﹣2，曲線y=f（x）在x=2處的切線方程斜率k=f′（2）=8，又∵f（2）=2，∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y﹣2=8（x﹣2），即8x﹣y﹣14=0為所求．19.已知各項均不為零的數列，其前項和滿足.在公差不為0的等差數列中，，且是與的等比中項.(1)求和，(2)記，求的前n項和.參考答案：解：(1)對于數列，由題設可知

①，當時，

②，①-②得，即，，，又是以1為首項，以為公比的等比數列，.………（5分）設等差數列的公差為，由題設可知，又，，解得或（舍去）.………（8分）(2)，

③，

④，③-④得，．………（13分）

略20.（本小題滿分13分）如圖,是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點，使得平面？若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由。參考答案：(Ⅰ)證明：因為平面，所以.

……2分因為是正方形，所以，又相交從而平面.

………4分(Ⅱ)解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為與平面所成角為，即，…………5分所以.由可知，.………6分則，，，，，所以，，……7分設平面的法向量為，則，即，令，則.

………8分因為平面，所以為平面的法向量，，所以.…9分因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.………10分(Ⅲ)解：點是線段上一個點，設.則，因為平面，所以，

……11分即，解得.

………12分此時，點坐標為，故存在點M，，符合題意.

……13分略21.（12分）已知函數，若時，有極值.處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為.（1）求函數的解析式。（2）若函數的圖像與直線有三個不同的公共點，求實數的取值范圍.參考答案：（1）;（2）

得

2分設切線l的方程為，由原點到切線l的距離為，則

4分∵切線不過第四象限，切線l的方程為，由于切點的的橫坐標為x=1，∴切點坐標為（1，4），∵∴.

6分（2）由（1）知，所以，令．∴極大值==13，極小值==∴

12分

22.（12分）某車間有50名工人，要完成150件產品的生產任務，每件產品由3個A型零件和1個B型零件配套組成．每個工人每小時能加工5個A型零件或者3個B型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數不再進行調整），每組加工同一中型號的零件．設加工A型零件的工人人數為x名（x∈N*）（1）設完成A型零件加工所需時間為小時，寫出的解析式；（2）為了在最短時間內完成全部生產任務，x應取何值？

參考答案：解：(1)生產150件產品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需