《線性代數(shù)D》復(fù)習(xí)題一、選擇題1．設(shè)＝，則多項(xiàng)式的次數(shù)為()(A)4(B)3(C)7(D)102．設(shè)為常數(shù)，＝為n階矩陣A的行列式，則=()(A)(B)||(C)(D)3．＝()(A)(B)(C)(D)4．若A，B為同階方陣，且滿足AB＝O，則有（）（A）A＝0或B＝0（B）|A|＝0或|B|＝0（C）(A＋B)＝A＋B（D）A與B均可逆5．若由AB=AC（A，B，C為同階方陣）能推出B=C，則A滿足（）（A）AO（B）A＝O（C）|A|0（D）|AB|06．若A，B為同階方陣，則有（）（A）(AB)＝AB（B）|-AB|＝－|AB|(C）E－(AB)＝（E－AB）（E＋AB)（D）|A＋B|＝|A|＋|B|7．已知A為n階方陣，若有n階方陣B使AB＝BA＝A則（）（A）B為單位矩陣（B）B為零方陣（C）B＝A（D）結(jié)論不確定8．若A，B為同階方陣，且AB＝BA，則（）（A）（BA）＝BA（B）BA＝AB（C）BA＝AB（D）BA=AB9．若A，B，(B+A)為同階可逆方陣，則(B+A)＝（）（A）B+A（B）B＋A（C）(B+A)（D）B(B+A)A10．設(shè)向量組1，2，3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）。(A)1+2，2+3，3+1(B)1，1+2，1+2+3(C)12，23，31(D)1+2，22+3，33+111．向量組1，2，…，s線性無關(guān)的充分條件是()(A)1，2，…，s均為非零向量。(B)1，2，…，s中任意兩個向量的分量不成比例。(C)1，2，…，s中有一個部分組線性無關(guān)。(D)1，2，…，s中任意一個向量不能被其余向量線性表示。12．設(shè)A為n階方陣，且R(A)=r<n，則A中()(A)必有r個行向量線性無關(guān)。(B)任意r個行向量線性無關(guān)。(C)任意r個行向量構(gòu)成一個最大無關(guān)組。(D)任意一個行向量都能被其它r個行向量線性表示。13．設(shè)A是4階矩陣，且A的行列式A=0，則A中()(A)必有一列元素全為0。(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例。(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合。(D)任一列向量是其余列向量的線性組合。14．設(shè)1，2，…，m均為n維向量，則下列結(jié)論正確的是()(A)若k11+k22+…+kmm=0，則1，2，…，m線性相關(guān)。(B)若對任一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，都有k11+k22+…+kmm0，則1，2，…，m線性無關(guān)。(C)若1，2，…，m線性相關(guān)，則對任一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，都有k11+k22+…+kmm=0。(D)01+02+…+0m=0，則1，2，…，m線性相關(guān)。15．設(shè)齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A為mn矩陣，R(A)=r(rn)，則此方程組的基礎(chǔ)解系中含有解向量的個數(shù)為()。(A)mr；(B)rn；(C)nr；(D)mn。16．設(shè)Ax=0是與非齊次方程Ax=b對應(yīng)的齊次方程，則下列結(jié)論正確的是()。(A)若Ax=0僅有零解，則Ax=b一定有唯一的解。(B)若Ax=0有非零解，則Ax=b一定有無窮多個解。(C)若Ax=b有解，則Ax=0一定有非零解。(D)若Ax=b有無窮多個解，則Ax=0也一定有無窮多個解。17．設(shè)1，2，3，4是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列向量組中為Ax=0基礎(chǔ)解系的是()。(A)1+2，2+3，3+4，4+1。(B)1，1+2，2+3，3+4。(C)1，2，1+2，1+3，1+4。(D)1+2，12，2+34，23+4。18．設(shè)A為mn矩陣，則n元齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充分條件是()(A)A的列向量線性無關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；(C)A的行向量線性無關(guān)；(D)A的行向量線性相關(guān)。19．設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為r，則Ax=0有非零解的充分必要條件是()(A)r=n；(B)rn；(C)r<n；(D)r>n。20．要使1=(1,0,2)和2=(0,1,1)都是一個齊次線性方程組的解，則此齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A=()(A)(2,1,1)；(B)；(C)；(D)。21．設(shè)A為n階可逆方陣，λ是A的一個特征值，則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是。(A)λ-1|A|n；(B)λ-1|A|；(C)λ|A|；(D)λ|A|n。22．設(shè)三階方陣A有特征值0，－1，1，其對應(yīng)的特征向量為P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，則P-1AP＝。(A)；(B)；(C)；(D)。23．n階方陣A與某對角矩陣相似，則。(A)R(A)=n；(B)A有n個不同的特征值；(C)A是實(shí)對稱陣；(D)A有n個線性無關(guān)的特征向量。24．已知矩陣有一個特征向量，則=。(A)－18；(B)－16；(C)－14；(D)－12。25．下列二階方陣中與對角矩陣相似的是。(A)；(B)；(C)；(D)。26．設(shè)A為冪等矩陣(即A2＝A)，則A的特征值是。(A)只能是0；(B)只能是1；(C)只能是0與1；(D)以上說法都不對。27.零為方陣A的特征值是A不可逆的。(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)非充分、非必要條件。28．設(shè)λ1與λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，ξ，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則。(A)對任意k1≠0，k2≠0，k1ξ+k2η是A的特征向量；(B)存在常數(shù)k1≠0，k2≠0，使k1ξ+k2η是A的特征向量；(C)當(dāng)k1≠0，k2≠0時，k1ξ+k2η不可能是A的特征向量；(D)存在唯一的一組常數(shù)k1≠0，k2≠0，使k1ξ+k2η是A的特征向量。29．設(shè)λ是n階矩陣A的特征值，且齊次線性方程組(A－λE)x=0的基礎(chǔ)解系為η1與η2，則A的屬于λ的全部特征向量是。(A)η1和η2(B)η1或η2(C)k1η1＋k2η2(k1,k2為任意常數(shù))(D)k1η1＋k2η2(k1,k2為不全為零的任意常數(shù))30．設(shè)λ1，λ2為A的兩個不同的特征值，α和β為A的分別屬于λ1與λ2的特征向量，則有α與β是。(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)對應(yīng)分量成比例(D)可能有零向量。31．矩陣A與B相似，則。(A)|A－λE|=|B－λE|(B)A－λE=B－λE(C)A與B與同一對角陣相似(D)存在正交陣P，使得P－1AP＝B32．實(shí)二次型f＝xAx為正定的充分必要條件是。(A)R(A)=n；(B)A的負(fù)慣性指數(shù)為零；(C)|A|>0；(D)A的特征值全大于零。33．設(shè)A是一個三階實(shí)矩陣，若對任一3維列向量x，都有xAx＝0，則。(A)|A|＝0；(B)|A|>0；(C)|A|<0；(D)都不對。34．設(shè)A、B均為n階方陣，x＝(x1，x2，…，xn)，且xAx＝xBx，當(dāng)時，A＝B。(A)R(A)＝R(B)；(B)A與B等價；(C)A與B相似；(D)A＝A且B＝B。35．以下命題正確的是。(A)如果n階方陣A的順序主子式都大于零，則A是正定矩陣；(B)如果n階方陣A的特征值都大于零，則A是正定矩陣；(C)如果n階實(shí)對稱矩陣A的主對角線元素都大于零，則A是正定矩陣；(D)如果n階實(shí)對稱矩陣A的主對角線元素不都大于零，則A一定不是正定矩陣。36．設(shè)A、B為n階正定矩陣，則是正定矩陣。(A)k1A＋k2B；(B)A*+B*；(C)A－1－B－1；(D)AB。37．下列各式是二次型的。(A)x12－2x22＋x32－4x1x2＋2x1x3＋6x2x3－2；(B)2x12－2x22－2x32＋x1x2－x2x3＋x1＋x2－x3；(C)x1x2－x1x3＋x2x3－x2x4；(D)x12－2x1x2＋x22－x32＝0；38．以下二次型中是正定二次型的為。(A)x12－x22＋x32＋2x1x2＋4x1x3＋6x2x3；(B)2x1x2－4x1x3＋2x2x3；(C)x12＋x22＋x32－4x1x2；(D)x12＋x22＋x32＋x1x2＋x2x3；39．任一個n階矩陣都存在對角矩陣與它。(A)合同；(B)相似；(C)等價；(D)以上都不是。40．n階實(shí)對稱矩陣A正定的充要條件是。(A)對于任意的分量全不為0的列向量x，有xAx>0；(B)A不是負(fù)定的；(C)A的k階子式都大于0(k＝1，2，…，n)；(D)存在可逆矩陣U，使A＝UU。二、填空題1．＝.2．在５階行列式中，包含前兩行的二階子式共有個.3．如果＝１，則＝.4．若，則＝.5．行列式＝.6．已知＝，則的系數(shù)為.7．設(shè)＝，則＝.8．設(shè)A為二階方陣，B為三階方陣，且│A│＝＝，則＝.9．設(shè)A為四階可逆方陣，且│A│＝2，則│3(A)－2A│＝.10．設(shè)A為階方陣，A為A的伴隨矩陣，，則＝.11．設(shè)3階方陣Ｂ0，A=,且AB=0，則＝.12．設(shè)A＝，A為A的伴隨矩陣，則(A)=.13．設(shè)A＝，則│A│＝，A＝。14．設(shè)A＝，則A＝，│4A│＝，(A)＝15．設(shè)A＝，則│A│＝，A＝16．=時，線性方程組有非零解．17．若B=，C=，且A＝BC，則A＝。18．設(shè)A＝，且A＝E，則A＝。19.已知矩陣A=，則R(A)=。20．若=(0,k,k2)能由向量組1=(1+k,1,1)，2=(1,1+k,1)，3=(1,1,1+k)唯一線性表示，則k。21．若向量組1，2，3與向量組l1+2，2+3，m3+1都線性無關(guān)，則常數(shù)l、m必滿足關(guān)系式。22．若向量組1，2，…，r(r>2)線性無關(guān)，填寫下列向量組的線性相關(guān)性：(1)1，0，2，…，r；。(2)1，1，2，…，r；。(3)2，…，r；。(4)1+2，2，…，r；。(5)31，42，…，(r+2)r；。(6)1，2，…，r1，1+22+…+(r1)r1；。23.兩個n維向量1，2線性相關(guān)的充要條件是。24.A是5階方陣，且R(A)=3，R(A*)=，其中A*是A的伴隨矩陣。25．如果x1，x2都是Ax=b的解，則x1x2一定是方程的解。26．如果1，2，3與1，2，3是方程Ax=0的兩個基礎(chǔ)解系，則向量組1，2，3與向量組1，2，3一定。27．如果方程組有解，則a=。28．如果線性方程組x1+x2=a1x3+x4=a2x1+x3=b1x2+x4=b2有解，則a1，a2，b1，b2應(yīng)滿足。29．設(shè)四元非齊線性方程組Ax=b中，R(A)=3，且1，2，3為它的三個解向量，已知1=(2,0,5,1)，2+3=(1,9,8,6)，則Ax=b的通解可以寫成。30．若A為冪零矩陣(Ak＝0，k為正整數(shù))，則A的特征值。三、計算與解答題1.＝;2.＝();3．＝; 4．＝;5．＝ ;6．＝;7．求方程的解;8．當(dāng)取何值時，方程組有非零解;9．已知A＝，求A;10．求A＝的逆矩陣;11．已知n階方陣A滿足A=4E，證明A－E，A－2E均可逆，并求它們的逆矩陣。12．設(shè)A＝，，求。13．設(shè)A＝，求(A)14．已知A，B為n階方陣，且B為可逆矩陣，滿足A＋AB＋B＝0證明A和A＋B均可逆，并求其逆。15．已知A，B為n階方陣，且A＋B＝AB，如果B＝求方陣A。16．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，且，試證|AB|＝017．已知A＝，B＝，C＝，求解下列矩陣方程：(ⅰ)AX=X+C， (ⅱ)AXB=C;18．設(shè)1=(1+,1,1)，2=(1，1+,1)，3=(1，1，1+)，=(1,,2)，問取何值時，可由1，2，3線性表示，且表示式唯一。19．求向量組1=(3,1,1)，2=(1,1,1)，3=(2,0,2)，4=(5,3,1)的秩和一個最大無關(guān)組。20．用初等行變換求A=的逆。21．求向量組1=(1,2,3,1)，2=(3,2,1,1)，3=(2,3,1,1)，4=(2,2,2,1)，5=(5,5,2,0)的秩和一個最大無關(guān)組。22．求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系：2x14x2+5x3+3x4=03x16x2+4x3+2x4=04x18x2+17x3+11x4=023．求解非齊次線性方程組：x1+x2+2x3+x4=3x1+2x2+x3x4=22x1+x2+5x3+4x4=7。24．已知線性方程組x1+x2+x3=3x1+x2+x3=2x1+x2+x3=2討論取何值時，方程組有唯一解、無窮多解、無解。在有無窮多解時，求出其通解。25．設(shè)A=，求一秩為2的3階方陣B，使AB=O。26．已知向量組=(1,2,3,4)，=(2,3,4,5)，=(3,4,5