北京市房山區2023-2024學年度高二上學期期中考試數學

試題【解析版】

第一部分(選擇題共50分)

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，

選出符合題目要求的一項.

1.已知A(-L3),8(3,5),則線段AB的中點坐標為()

A.(1,4)B.(2,1)C.(2,8)D.(4,2)

2.如圖，平行六面體ABC。-A4G。中，E為CC1中點.設AB二a，AD=b，44,=c,

用基底｛。，6,4表示向量AE，則AE=<)

C.a+4+cD.—a+Z?+c

22

3.在如圖所示的正方體ABCD-A耳GA中，異面直線A/與8c所成角的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在棱長為2的正方體ABC。-A4CQ中，=()

A.2忘B.4亞C.2D.4

5.如圖，在四面體A-BC。中，49，平面8。9,BCLCD,則下列敘述中錯誤的是

()

A

---丁7D

C

A.NACO是直線AC與平面BCD所成角

B./AAD是二面角A-8C-O的一個平面角

C.線段AC的長是點A到直線BC的距離

D.線段AD的長是點A到平面BCD的距離

6.已知直線，i：2x+（q_l）y+a=0與直線4：ox+y+2=0平行，貝i]a的值為（）

A.-1或2B.—C.2D.—1

7.在同一平面直角坐標中，表示4：y=6+。與仆y=6x-a的直線可能正確的是（）

8.長方體ABCO-A4G。中，AAl=AB=2,M為A8的中點，D.MVMC,則4）=

（）

A.1B.2C.3D.4

9.設尸為直線y=-l上的動點，過點尸做圓C：（x+3Y+（y-2）2=4的切線，則切線

長的最小值為（）

A.2B.6C.3D.-Jvi

10.古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》

是古代世界光輝的科學成果，著作中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數

%依＞0且％"）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點A（-l,0）,

8（2,0）,圓C:（x-2y+（y-姆=","0）,在圓上存在點尸滿足|網=2儼卸，則實數

m的取值范圍是（）

J5向

~2

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.已知4(2,1),8(0,-3),則直線的斜率3.

12.已知4(0,0),8(2,2),C(4,2),則依C外接圓的方程為________.

13.已知直線/與平面a所成角為45。，A,8是直線/上兩點，且AB=6,則線段A3在

平面。內的射影的長等于.

14.如圖，長方體ABCO-AAGR中，AA,=AD=\,AB=1,則點A到點B的距離

等于;點R到直線AC的距離等于

15.已知圓。：/+/=/&>0)和直線/：x-y+4=0,則圓心。到直線/的距離等

于;若圓。上有且僅有兩個點到直線/的距離為0,寫出一個符合要求的

實數,的值，，?=.

16.如圖，在四棱錐P-A8CO中，底面ABC。是邊長為1的正方形，一抬8是等邊三

角形，。為A3的中點，且PO上底面438,點F為棱PC上一點.給出下面四個結論：

①對任意點尸，都有CCOF；

②存在點F,使。尸〃平面尸仞；

③二面角P—AC—B的正切值為新；

④平面PAB_L平面A8CO.

其中所有正確結論的序號是

三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過

程.

17.已知三條直線4：x+y—2=0,4：x—3y+10=0,4：3x—4y+5=0.

(1)求直線4，乙的交點〃的坐標;

(2)求過點M且與直線人平行的直線方程;

(3)求過點M且與直線4垂直的直線方程.

18.已知圓C的圓心為點。(1,-3),半徑為2.

(1)寫出圓C的標準方程；

⑵若直線/：》->-2=0與圓C交于A,B兩點,求線段48的長.

19.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面ABC7),底面ABCD是正方形，PA=AB=\,

M為尸8的中點.

(1)求證：平面P8C；

(2)求直線PO與平面PBC所成角的大小；

(3)求點D到平面PBC的距離.

20.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AA_L平面4BC,。是BC的中點，BC=6,

4A=AB=AC=1.

D

B

⑴求證：AB〃平面AOC；

(2)求二面角O-AG-C的余弦值；

(3)判斷直線A由與平面AOG是否相交，如果相交，求出4到交點〃的距離；如果不相

交，求直線4片到平面AOG的距離.

21.已知圓M：/+y2-4x-2y=0和直線/：y=Ax-l.

⑴寫出圓M的圓心和半徑；

(2)若在圓M上存在兩點4,8關于直線/對稱，且以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，

求直線A8的方程.

1.A

【分析】用中點坐標公式即可求解.

-1+3

a=F-

【詳解】設線段A8的中點坐標為“（。力），則3工，

b=:-

2

（4二1

即6=4'則線段A8的中點坐標為“（L4）.

故選：A.

2.B

【分析】利用幾何圖形的關系，結合向量的加法運算，即可求解.

【詳解】AE=AC+CE=AB+AD+^AAt=a+b+^c.

故選：B

3.C

【分析】根據異面直線所成角的定義及正方體的特征求解

【詳解】連接A。，DB,如圖,

因為正方體中AD//8C，

所以NBAD就是A8與B、C所成的角,

在；BA】Z）中，A^D=\B=BD.

??./%。=60。.

故選：C

4.D

【分析】根據向量數量積定義計算即可.

D,c

C

在棱長為2的正方體ABC。-A冉GR中，

易知14Al=2,閘|=2&

因為AA=與3cl的夾角為-,

所以A4,與BQ的夾角為:，

/Z

A4,?BCt=|A4l|.|fiCl|cos^=2x2>/2x^-=4.

故選：D

5.B

【分析】根據線面垂直即可求解AD,根據8c1平面AC。，即可得3C_LAC,進而判斷

C,結合二面角的定義即可判斷B.

【詳解】對于AD,由于">_L平面88,所以/AC。是直線AC與平面BCO所成角，線

段AO的長是點A到平面BCD的距離，故AD正確，

對于B,AT>J_平面8c。，8。匚平面8。。,所以8。，4。,又8。_18,

AD8=。,4￡),8<=平面48,所以BC/平面ACZ),

C4u平面ACD,故3c1AC,

又BCLCD,ACu平面ABC,C￡)u平面BCD,

故/AC￡>是二面角A-8C-Q的一個平面角，故B錯誤，

對于C,由于BCJ.AC,所以線段AC的長是點A到直線BC的距離，C正確，

故選：B

6.D

【分析】根據兩直線平行，即可列式求解.

【詳解】因為“4,所以

a12

解得：a=-\.

故選：D

7.C

【分析】結合各選項分析直線的斜率與在y軸上的截距，即可判斷.

【詳解】對于A：由圖可得直線4的斜率a>0,在y軸上的截距

而4的斜率6<0,矛盾，故A錯誤.

對于B：由圖可得直線4的斜率a>0,在y軸上的截距%>0；

而4的斜率6<0,矛盾，故B錯誤.

對于c：由圖可得直線4的斜率“<0,在)軸上的截距b>0；

而4的斜率方>0,在y軸上的截距-。>0,即a<0,故C正確.

對于D：由圖可得直線4的斜率。<0,在y軸上的截距6<0；

而4的斜率方>0,矛盾，故D錯誤.

故選：C.

8.A

【分析】連接CR,設4￡>=a(a>0),表示出CM,CD,,MD,,利用勾股定理計算可得.

【詳解】如圖連接C0,設4O=a(a>0),則CM=J/+1，

CD,=V22+22=2V2,MD、=V?2+l2+22=J/+5,

因為RM1MC,所以MC2+MR2=C22,即/+1+/+5=8,解得a=l(負值舍去).

故選：A

9.B

【分析】根據切線最小時為圓心到直線上的點的距離最小時可以求出圓心到直線的距離，再

求出切線長即可.

【詳解】圓心為。(一3,2),半徑為r=2,設切點為。，

要使得切線長歸。|最小，則|。耳最小，此時CP，/,

所以|CP|=臂=3,所以|也|=廊=二=石，

故選：B

10.D

【分析】設P(x,y),根據|E4|=2|P8|求出點尸的軌跡方程，根據題意可得兩個圓有公共點,

根據圓心距大于或等于半徑之差的絕對值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.

【詳解】設P(x,y),因為點A(—1,0),8(2,0),|申|=2|陶，

所以yj(x+\)2+y2=2^(x-2)2+y2即/+丁-6x+5=0,

所以(x-3)\y2=4,可得圓心(3,0),半徑R=2,

由圓C:(x-2)2+(y-⑺2=；可得圓心C(2m),半徑—=],

因為在圓C上存在點產滿足|R4|=2|PB|,

所以圓(x-3)2+V=4與圓C:(x—2y+(y-m)2=；有公共點，

所以2—彳4J(3—2)~+〃-<2+—>整理可得：1+/n2<,

解得：JlqmM叵,

22

所以實數機的取值范圍是手，等，

故選：D.

11.2

【分析】根據直線斜率公式進行計算即可.

【詳解】根據題意，kAB=^^-=2,

故答案為：2.

12.x2+y2-6x+2y=0

【分析】首先設.MC外接圓的方程為『+/+m+6+尸=0,從而得到

F=0

4+4+2￡>+2E+F=0,再解方程組即可.

16+4+4D+2E+F=0

【詳解】設ABC夕卜接圓的方程為丁+J、+。工+砂+/=o,

F=0￡>=-6

則44+4+2D+2E+T7=0=><E=2,

16+4+4O+2E+F=0[F=0

所以45c外接圓的方程為：x2+y2-6x+2y=0.

故答案為：x2+y2-6x+2y=0

13.3也

【分析】依題意可得線段AB在平面a內的射影的長等于Mcos45。.

【詳解】因為直線/與平面a所成角為45。，A,B是直線/上兩點，且AB=6,

則線段AB在平面a內的射影的長等于ABcos45。=6x—=372.

2

故答案為：3亞

14.V6苧##]?

【分析】以向量D4，DC，所在方向為x軸，）'軸，z軸建立空間直角坐標系，根據兩

點間的距離公式可求點R到點8的距離；連接。①，作。E垂直AC,垂足為E,求出向量

ULIII

ADt在向量AC上的投影，由勾股定理即可求點。到直線AC的距離.

【詳解】如圖，以向量DA，DC，所在方向為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

由M=AO=1,AB=2,則2（0,0,1）,1,2,0）,所以1卻=Jl+4+1=3,

所以點R到點B的距離等于V6.

連接0A,作RE垂直AC,垂足為E,由A（l,0,0）,C（0,2,0）,所以叫=（一1,0,1）,

,、?AD,■AC1V5

AC=（T2,0）,所以MAE|=不不=忑=行，

又|A〃卜近,所以點】到直線AC的距離d=NJ=手.

15.202（答案不唯一）.

【分析】根據點到直線距離公式計算；將圓。上有且僅有兩個點到直線/的距離為應轉化

為半徑與圓心。到直線/的距離之間的關系即可求解.

|0-0+4|

【詳解】圓心。到直線/的距離為d==2&；

VT+T

因為圓。上有且僅有兩個點到直線/的距離為正，所以-0<"-廠<應，解得0<〃<3&.

故答案為：2近;2（答案不唯一）.

16.②③④

【分析】根據題意，利用空間直線與直線，直線與平面位置關系，依次進行判斷即可.

對于①，若點F與點C重合，顯然不滿足所以①錯;

對于②，若點F為線段PC中點，取線段尸。中點E,連接EF,

貝IJEF8且EF=；C￡>,

所以所〃A。且EF=AO,則四邊形AOFE為平行四邊形，

得。尸〃AE,因為。/0平面PA￡）,AE=平面PAD

所以OF〃平面尸AQ,所以②正確；

對于③，因為。為的中點，且PO1底面A8CO,

過。作OHJ_AC于H,

則NPHO即為二面角尸―AC—3的平面角，

根據邊長可求得P0=且，0"=變，

24

所以tanNPHO=2所以③正確:

4

對于④，因為底面A8C￡>,POu平面R4B,

所以平面PAB_L平面ABC。，所以④正確;

故答案為：②③④

17.(1)M(2,4)

(2)3x-4y+10=0

⑶4x+3y—20=0

【分析】(1)聯立直線方程，即可求解；

(2)根據己知條件，結合直線平行的性質，即可求解;

(3)根據已知條件，結合直線垂直的性質，即可求解;

fx+y—2=0fx=2

【詳解】(1)聯立；in八，解得，，

[x-3y+10=0[y=4

故交點〃坐標為M(2,4)；

(2)所求直線與直線4平行，

則所求直線可設3x-4y+C=0(Cw5),

所求直線過點M(2,4),

則3x2-4x4+C=0,解得C=10,

故所求直線方程為3x-4y+10=0；

(3)所求直線與直線4垂直，

則所求直線可設4x+3y+￡>=0,

所求直線過點M(2,4),

則4x2+3x4+￡>=0,解得￡>=一20,

故所求直線方程為4x+3y-20=0.

18.(l)(x-l)2+(y+3)2=4

⑵2夜

【分析】(1)根據圓的標準方程定義可得解；

(2)求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理計算可得.

【詳解】(1)因為圓心C(l,-3),半徑廠=2,

所以圓C的標準方程為(x-l)，(y+3)2=4.

(2)圓心C到直線/的距離d==

V2

2

19.(1)見解析

⑶變

2

【分析】(1)根據線線，線面的垂直關系的轉化，即可證明線面垂直；

(2)首先建立空間直角坐標系，由(1)可知向量AM是平面P8C的法向量，利用向量法

求線面角的大小；

(3)根據(2)的結果，結合點到平面的距離的定義，即可求解.

【詳解】(1)因為上4,平面ABC。，所以

又PAAB=A,尸A,A8u平面%

所以3cl平面以8,AMu平面乃W,

所以BC_LAM,

因為R4=/W,且點〃是尸8的中點，所以AA/J_P8,

且8cPB=B,

所以AA/1平面PBC；

(2)以點A為原點，以向量A8,ARAP為％y,z軸的方向向量，建立空間直角坐標系,

A（0,0,0）,P（O,O,1）,。（0,1,0）,8（1,0,0）,C（l,l,0）,

A例=（；,0,￡|,PD=（0,1-1）,

由（1）可知，向量AM是平面PBC的法向量，

設直線與平面PBC所成角為凡

_1

-5

所以sin(9=|cos(PZ),AM，卜則。=9

正走LO

2

所以直線PD與平面PBC所成角的大小為與；

6

（3）因為R4=AD=1,則=

由（2）可知，直線尸￡）與平面P8C所成角的大小為

所以點。到平面P6C的距離為&sin^=走.

62

20.⑴見解析

⑵如

3

（3）相交，AH=-j2

【分析】（1）構造中位線，利用線線平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求二面角的余弦值；

（3）利用平面的性質，即可判斷直線A片與平面AOC的位置關系，并利用圖形求解.

【詳解】（1）連結AC交AR于點E,連結。￡,

小

因為點Z),E分別是BC，AC的中點，所以。E//A8,

且￡)Eu平面AOG，4乃仁平面4。6，

所以AB//平面4OG；

(2)因為鉆=AC=1,BC=五,

所以AB1AC,且平面ABC,

所以如圖，以點A為原點，以向量AB,AC,A4,為x,y,z軸的方向向量建立空間直角坐標系,

A(0,0,0)