2022-2023學年上海市奉賢區六校聯考九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若兩個相似三角形的相似比為1：2,則它們面積的比為（）

A.2：1B.1：72C.1：4D.1：5

【答案】C

【解析】

【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比進行求解即可得.

【詳解】解：；兩個相似三角形的相似比為1：2,

，它們面積的比等于（；）2=-=1：4,

24

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解本題的關鍵.

2.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°，AC=3,BC=4,則cosA的值為（）

34

C.

53

【答案】C

【解析】

【分析】本題需先根據勾股定理得出A3的長,再根據銳角三角函數的定義即可得出cosA的值.

【詳解】NC=90°，AC=3,8C=4,

:.AB=5,

AB5

故選：C.

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數定義,在解題時要根據勾股定理解出AB的長是解本題的關鍵.

3.在,ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，AD:BD=1:3,那么下列條件中能夠判斷。?〃

是（）

DE1DE1AE1AE1

A.——B.——C.——D.——

BC2BC3AC4AC3

【答案】C

【解析】

【分析】根據給出的條件證明△AOESZXABC,根據相似三角形的性質得到NA￡>E=NABC,證明

DE//BC.

【詳解】解：要判斷。石〃BC,

則要證明ZXADEcoAABC,

DF1DF1AFI

當*=_L,匕=上，絲=上時，不能得到△ADES/XABC,

BC2BC3AC3

.?.不能判斷。石〃3C,

當處」時，

AC4

AD：BD=1：3,

AD1

??=,

AB4

.ADAE

ZA=ZA,

AADEcoAABC,

:.ZADE^ZABC,

：.DE//BC,

故選項C可以判斷DE//BC,

故選：C.

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、平行線的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關

鍵.

4.在RtA3C中，ZC=90°,NB=a,AB=m,那么邊8c的長為（）

A.m-sincrB.m-cosaC.m-tan?D.m-cota

【答案】B

【解析】

【分析】根據余弦函數定義可以求得cos8=cosa=+,將AB=m代入即可求得8C.

AB

【詳解】解：如圖，ZC=90°,NB=a,AB^m,

貝ijcosB=cosa,

AB

/.BC—AB-cosa=m-cosa.

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數定義，本題中明確三角函數的定義求得cosa=變是解

AB

題的關鍵.

5.已知點。是線段的中點，下列結論中，正確的是（）

1—.1

A.CA=-ABB.CB^-ABC.AC+BC^QD.AC+CB^O

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意畫出圖形，因為點。是線段的中點，所以根據線段中點的定義解答.

1

【詳解】解：A、CA^-BA,故本選項錯誤；

2

B、CB=—AB,故本選項正確；

2

C、AC+BC=Q＞故本選項錯誤；

D、AC+CB=AB＜故本選項錯誤.

C

-----------?-----------

故選B.

【點睛】本題主要考查線段的中點定義，難度不大，注意向量的方向及運算法則.

6.如果點。是線段AB的黃金分割點（且AC）,那么下列結論錯誤的為（）

A.生=避二1B.3C是AC和AB的比例中項

AB2

cABV5-1cBC>/5+l

AC2AC2

【答案】C

【解析】

【分析】根據黃金分割的概念進行判斷即可.

【詳解】解：點C是線段AB的黃金分割點（且BC>AC）,

.?.BC是AC和AB的比例中項，生=生=吏二［,

ABBC2

BC2V5+1

"AC=V5-1=2

故選項A、B、。不符合題意，選項C符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關

鍵.

二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）

..a2…a+b

7.若丁==，WJ——=.

b5b

7

【答案】y

【解析】

【分析】先設。=2%，則Q5A,然后將它們分別代入竺計算即可求出其值.

b

【詳解】解：：==一，

b5

設a=2k,則b=5k,

.a+b_2k+5k_7

''~b5k5'

7

故答案為：y.

【點睛】本題考查了比例的基本性質，掌握比例的基本性質，并運用設％法可使計算簡便.

8.已知線段a=2厘米，c=4厘米，則線段”和。的比例中項6是_____厘米.

【答案】2垃

【解析】

【分析】根據線段比例中項的概念，可得a:b=>：c,可得〃=ac=8,故匕的值可求.

【詳解】解：線段b是。的比例中項，

b"=ac—8>

解得6=±2近，

又線段是正數，

；)=2萬

故答案為：2后.

【點睛】本題考查了比例中項的概念，注意：求兩個數的比例中項的時候，應開平方.求兩條線段的比例中

項的時候，負數應舍去.

9.已知a與單位向量e的方向相反，且長度為5,那么e表示a為.

【答案】-5e

【解析】

【分析】根據向量的表示方法可直接進行解答.

【詳解】解：a的長度為5,向量e是單位向量，

.?.同=5同，

,4與單位向量?的方向相反，

a=-5e；

故答案為：一5e.

【點睛】本題考查的是平面向量的知識，即長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度

等于1個單位長度的向量叫做單位向量，解決本題的關鍵是注意單位向量只規定大小沒規定方向.

10.計算：sin30。+血cos45。-tan60。=.

【答案】——A/3

2

【解析】

【分析】根據sin3(T=:，cos45°=—1tan60°=V3.即可.

22

i萬

【詳解】Vsin30°=-,cos45°=J，tan600=6，

22

，sin30°+>/2cos45°-tan60°

，+應X立—6

22

=3-3

2

故答案為：6?

2

【點睛】本題考查銳角三角函數，解題的關鍵是掌握sin3(r=1，cos45°=—.tan600=百的值.

22

11.計算：2(a—Z?)—3(6(+—Z?)—.

【答案】-a-3b

【解析】

【分析】根據向量的計算法則求解即可.首先去括號，再將同一向量的系數相加減即可求得答案.

1-

【詳解】解：2(a-b)-3(a+-b)

3

=2a_2/j-3a-b

=-a-3b.

故答案為：-a-3b*

【點睛】此題考查了向量的運算.題目比較簡單，先去括號，再加減運算即可.

12,已知浸ABCs△A18]G，頂點A、B、C分別與A、B]、G對應，AB：4旦=3：4，BE、

gg分別是它們的對應角平分線，則座：用耳=.

【答案】3：4

【解析】

【分析】根據相似三角形對應角平分線的比都等于相似比解答即可.

【詳解】解：?.”Cs^AgG，

BE：=AB：A4=3：4，

故答案為：3：4.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的

比都等于相似比是解題的關鍵.

13.如圖，在平面直角坐標系內有一點P（5,12）,那么OP與x軸正半軸的夾角a的正弦值

【解析】

【分析】過點尸作孫，x軸于點A,由P點的坐標得24、。4的長，根據勾股定理求出0P，然后根據正

弦函數的定義得結論.

【詳解】解：過點尸作軸于點A,

P（5,12）,

..（M=5,PA=\2,

：.OP=\?>,

PA12

???O尸與X軸正半軸所夾的角的正弦值為：sinZPOA=——=—.

OP13

、,一、、12

故答案為：—.

13

【點睛】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形性質，勾股定理.解決本題的關鍵是構造直角三角形.

AE1

14.如圖，已知A。為角平分線，DE//AB，如果——=一，AB=6,那么。E=.

AC3

【答案】4

【解析】

DEEC

【分析】由DE〃A8可得f=再根據題干條件，即可求解.

ABAC

【詳解】解：；O￡〃AB，

DEEC

rAE1

又----——,

AC3

DEEC2

-7c-3*

AB-6,

:.DE=4.

故答案為：4?

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵.

15.如圖，已知A8_L8￡>，ED工BD，C是線段BO的中點，且4。1CE,AB=BD=8，那么。￡=

【答案】2

【解析】

【分析】根據相似三角形的判定及己知可得到s二CDE,利用相似三角形的對應邊成比例即可求得

EZ)的長.

【詳解】解：C是線段的中點，30=8,

BC=CD=4,

ABA.BD，ED上BD，

:.ZB=AD=90°,ZA+ZACB=90°,

AC1CE,即NEC￡>+ZACB=9()°,

:.ZA^ZECD,

:._ABCs_CDE,

ABBC

'^CD~~DE'

84

/.一=---9

4DE

DE=2，

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是推出.ABCs.CDE.

16.如圖，在中，AO是中線，G是重心，AB=°,GD=b，那么8G=.（用a、表示）

【解析】

【分析】根據重心定理求出4G，再利用三角形法則求出BG即可.

【詳解】解：根據三角形的重心定理，GD=-AD,

3

于是AG=2GD=2b-

故86=46—48=%—a.

故答案為：2b—a.

【點睛】此題考查了平面向量的三角形法則和重心定理（三角形的重心是各中線的交點，重心定理是說三角

2

形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的§）,難度不大.

17.已知菱形A3C。的邊長為6,對角線AC與8。相交于點0，。￡，回，垂足為點E，AC=4,

那么tanZBOE=.

C

【答案】20

【解析】

【分析】根據菱形對角線互相垂直，和OE_LAB,證明△OBEsCO,可得NBOE=NBAO,根據

4。和的值，利用勾股定理求出。B,即可求得tan/BOE的值.

【詳解】解：菱形對角線互相垂直，OE1AB,

.-.ZOEA=ZAOB=90°,

ZOBE=ZABO,

:：OBEsABO,

：.ZBOE=ZBAO,

AO=—AC=2,AB=6>

2

:.OB=VAB2-(9A2=V62-22=40，

tanZBOE=tan/BAO=—==20.

OA2

故答案為：2夜.

【點睛】本題考查了相似三角形判定與性質，三角形正切函數的計算，菱形對角線垂直平分的性質，本

題中求證Z.BOE=ZBAO是解題的關鍵.

18.如圖，在梯形ABCO中，AD〃BC,AC與6。相交于點。，如果S.C=2SACD，那么5人。。：

SABC=------?

【答案】I：3##-

3

【解析】

【分析】首先根據SABC=2SAQ，可得A￡>：BC=\：2；然后根據.?.二AQDsqCQB,可得AO：

OC=OD：OB=AD：BC=1：2.進而可得、.。。：SBOC=1：4，SAOI)：SAC,B=1：2,SA0D：

SMCD=1：2,設S*。=3分別表達So。和S"c進而可得結論?

【詳解】解：在梯形ABCD中，AD//BC,SABC=2SA°，

..AD：BC=1：2：

AD/IBC,

:._AODs二COB，

：.AO：OC=OD：OB=AD：BC=1：2.

,,AOD:SMe=1：4，SA。。：S"OB=1：2，,AOD:^AOCD=:2，

設sA8=々，則sBOC=4k,SAOB=S℃D=2k，

―SABC—SA0B+SBOC=6k,

一SCOD:SABC=2k：6k=1：3.

故答案為：1：3.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質的應用，以及梯形的特征和應用，要熟練掌握.

三、解答題（本大題共7小題，共78.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.已知：土=上=三，2x-3y+4z=33,求代數式3x-2y+z的值.

234

【答案】12

【解析】

【分析】設比值為Z,用％表示出X、＞、Z,然后代入等式求出從而得到X、y、Z,再代入代數式進

行計算即可得解.

【詳解】解：設土=2=1=&,則x=2Z,y=3Z,z=4k,

234

2x-3y+4z=33,

:.4k-9k+16k=33,

解得：k=3,

:.x-6,y=9,z=12,

.,.3x-2y+z=3x6-2x9+12=18-18+12=12.

【點睛】本題考查了比例的性質，代數式求值.利用“設七法”表示出x、V、z求解更簡便.

20.如圖，已知4D〃8￡〃C戶，它們依次交直線4、4于點A、B、C和點。、E、F.

(1)如果AC=14,BC=8,DE=9,求EE的長；

(2)如果OE:OF=2:5,AD=7,BE=11>求CF的長.

【答案】(1)EF=n

(2)CF=17

【解析】

AUDE

【分析】(1)根據平行線分線段成比例定理得到——=——，把已知數據代入計算即可；

BCEF

(2)連接AF，交BE于H,先證明△EEZ/s/XRM，根據相似三角形的性質求出”E，進而求出

BH，再證明△ABHSAAC戶，根據相似三角形的性質計算，得到答案.

【小問1詳解】

AD//BE//CF,

ABDE

"~BC~~EF'

AC-14?BC—S,DE-9,

,14-8_9

??—,

8EF

解得：EF=12；

【小問2詳解】

連接A”，交BE于H,

AD//BE//CF,

ABDE2

,AC-PF-5'

AD//BE，

HEEFmHE3

ADDF75

解得：HE言,

34

:.BH=BE—HE=——，

5

BE//CF,

AABHsAACF,

34

BHAB

即3_2,

~CF~~AC

CF-5

解得：CF=17.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質，靈活運用定理、找準對應關

系是解題的關鍵.

21.如圖，在48c和VA0E中，ZBAD^ZCAE,ZABC^ZADE.

(1)求證：—

BCAC

（2）判斷△ABO與ZVICE是否相似？并證明.

【答案】（1）見解析（2）△A5O與A4CE相似，理由見解析

【解析】

npAp

【分析】（1）根據兩個角相等的三角形相似，可以得到一ABCsVADE，然后即可得到釜=笠

￡?CAC

A0ARAD

（2）根據_A8CsvADE可以得到一=—,從而可以得到蕓=隼，再根據NRM>=NC4E,即

ADAEACAE

可得到△A3。與AACE相似.

【小問1詳解】

證明：ZBAD=ZCAE,

ZBAD+ADAC=ZCAE+ADAC,

:.ZBAC-ZDAE,

又ZABC^ZADE,

ZABCSVADE,

DE_AE

,BC-AC!

【小問2詳解】

△A3。與AACE相似，

證明：由（1）知：ABCSVADE，

ABAC

'AD-AE）

ABAD

'AC-AE'

*ZBAD=ZCAE,

.?..AS。與八4。￡相似.

【點睛】本題考查相似三角形判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，能合理運用已經得到的結論解決

后面的問題.

4

22.已知：如圖，在ABC中，AB=AC=15,tanA=-.求：

3

（2）N8的余弦值.

【答案】⑴S狀=90;

（2）的余弦值為更

5

【解析】

【分析】Q）過點。作CDJ_A5,垂足為。，在Rt^ABC中，利用銳角三角函數的定義設CD=4左，則

AD=3k,從而利用勾股定理求出AC=5Z,進而可得Z=3,然后可得AO=9,CD=12,最后利用三

角形的面積公式，進行計算即可解答；

(2)在Rt_BC。中，利用勾股定理求出BC的長，然后再利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答.

【小問1詳解】

解：過點。作CDLAB,垂足為。，

CD4

在RtZXABC中，tanA=——=一，

AD3

.?.設8=4%,則AD=3A,

???AC=y/AD2+CD2=7(3A:)2+(W=5k，

AC=15,

5*=15,

:?k=3,

???AO=9,0)=12,

*e.3八ARC=_AB,CD

=-xl5xl2

2

=90；

【小問2詳解】

解：在RtBCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12,

BC=yjcif+BD2=V122+62=6后,

??.COS人處=二=立,

CB6V55

的余弦值為好

5

【點睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線

是解題的關鍵.

23.如圖，在中，點。、E分別在邊A3、AC上，AC=3CE,AD^2BD,已知=BC=b?

（1）用向量a、人分別表示向量BE、AE'

（2）作出向量0c分別在DA、8c方向上的分向量（寫出結論，不要求寫作法）.

2212

【答案】（1）AE=——a+-h,BE^-a+-b

3333

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）利用三角形法則求解即可：

（2）證明小〃3C,利用平行四邊形法則解決問題即可.

【小問1詳解】

AC=AB+BC，

AC=-a+b'

AC=3CE,

2

/.AE^-AC,

3

-22

AE——ciH—b>

33

BE=BA+AE,

2212

BE=ci—aH—b——ciH—b；

3333

【小問2詳解】

,AC-3CE,AD=2BD,

,ADAE

:.DE//BC,

過點C作CT//AB交DE的延長線于點T,DB，OT即為所求.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，平面向量，三角形法則，平行四邊形法則等知識，解題的關鍵是掌握三

角形法則，平行四邊形法則，屬于中考常考題型.

24.如圖，已知在四邊形ABCO中，AD〃BC,E為邊CB延長線上一點，聯結QE交邊A6于點尸，聯

FGAD

結AC交。E于點G,且一￡=—.

DGCE

(1)求證：ABhCD.

(2)如果AE?=AG-AC，求證：——=——

AGAD

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據AD/BC,得工4DG二CEG,再根據相似三角形的判定和性質，即可；

（2）由A￡2=AG-AC，則.AEG_ACE,得ZAEG=ZACE=NZMG,可得..EDA,再

根據相似三角形的性質，即可.

【小問1詳解】

,/AD//BC,

:.ZADE=/CED,ZCAD=ZACE,

i,ADGe^CEG,

ADAG

~CE~~CG

FGAD

~DG~~CE

AGFG

~CG~~DG

*'.,AFG.CDG，

：.ZACD^ZCAF,

：.ABCD.

【小問2詳解】

AE2=AGAC>

4g=旭且/E4c是公共邊,

ACAE

AEGACE,

ZAEG^ZACE,

ABCD,

ZDAG^ZACE,

ZAEG^ZDAG,

NADG是公共角,

ADGEDA,

AEDE

75一茄,

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

25.已知：如圖1，在梯形ABCO中，AD//BC,NBCD=90°,BC=11,8=6,cotZABC^-

2

點七在邊上，且AE=3ED,EF〃AB交BC于點、F，點、M、N分別在射線EE和線段8上.

備用圖

(2)如圖2，當點〃在線段FE上，且設RW-cosNEFC=x,CN=y,求y關于x的

函數解析式，并寫出它的定義域;

(3)如果.AA/N為等腰直角三角形，求線段FM的長.

【答案】(1)CF=5

/c、5x?-14x—15/\

（2）y=----------------（04x41）

2x-6、）

(3)FM為小或小層或電5

33

【解析】

【分析】(1)過A作AHJ.BC,于是得到AH=C￡>=6,解直角三角形即可得到結論;

(2)過M作MPLC。于P,MKLBC于K，反向延長交AO于Q，則KQ_LAO,解直角三角

形求得MK=2x=PC,NP=y-2x,MP=CK=5-x=QD,于是得到AQ=8-（5-x）=3+x,

QM=6-2x,推出△AMQs二PMN,根據相似三角形的性質列方程即可得到結論;

(3)①當M在線段上戶上時，根據全等三角形的性質和等量代換得到QM=MP,列方程得到

6-2x=5—x,解方程即可得到結論；②當M在山的延長線上時，根據已知條件得到VAQM絲AMNH,

由全等三角形的性質得到AQ=M"，由(2)知FK=X,CK=5-x=MH,MK=2x=CH,列方程

即可得到結論.③當NAM0=9O。時，過點N作PQLCD交AB，AG于點P,H,作MR1BC交

BC的延長線于點R,交直