§8.7拋物線

【考試要求】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程2掌握拋物線的簡單幾何性質（范圍、

對稱性、頂點、離心率）.3.了解拋物線的簡單應用.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.拋物線的概念

把平面內與一個定點/和一條定直線/（/不經過點F）的距離相笠的點的軌跡叫做拋物線.點F

叫做拋物線的焦點,直線/叫做拋物線的準線.

2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質

標準

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x1=2py(p>G)

方程

XK出

圖形

/—p-i4V

范圍x20,yGRxWO,yCRy20,x￡R戶0,xGR

像。）G'2)(o,-f)

焦點(-多°)

準線

丫_2

x~2x~2y-2y-2

方程

對稱軸x軸y軸

頂點(0.0)

離心率e-=1

【常用結論】

1.通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2P.

2.拋物線）2=2外。＞0）上一點P（x°,阿到焦點造，0）的距離|PH=xo+g，也稱為拋物線的

焦半徑.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）平面內與一個定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡是拋物線.（X）

（2）方程），=4f表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是（1,0）.（X）

⑶拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.（X）

(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為f=4y.(V)

【教材改編題】

1.拋物線f=5的準線方程為()

A.產一七B.x=一點

C.產表D.x=上

答案A

解析由拋物線的標準方程可得，拋物線的焦點位于y軸正半軸上，焦點坐標為(0,專)，準

線方程為尸一七

2.過拋物線尸=4》的焦點的直線/交拋物線于P(X[,>'1),<2(X2，>2)兩點，如果XI+》2=6,

則|PQ|等于()

A.9B.8C.7D.6

答案B

解析拋物線V=4x的焦點為F(l,0),準線方程為》=一1.根據題意可得，

|PQ|=|PF|+|Qf1=Xi+I+也+1

=川+及+2=8.

3.拋物線V=2px(p>0)上一點M(3,y)到焦點尸的距離|MQ=4,則拋物線的方程為()

A.y=8xB.產=4?C.y2=2xD.y2=x

答案B

解析由題意可得|Mfl=x“+g,

則3+^=4,即p=2,故拋物線方程為y2=4x.

■探究核心題型

題型一拋物線的定義及應用

例1(1)(2022?全國乙卷)設尸為拋物線C：y2=4x的焦點，點A在C上，點8(3,0),若依依

=|8月，則|A8|等于()

A.2B.26C.3D.3y[2

答案B

解析方法一由題意可知尸(1,0),拋物線的準線方程為x=-1.

設A停,他)，

則由拋物線的定義可知|AF|=￥+1.

因為|BF|=3—1=2,

7

所以由|盟=|明，可得于+1=2,

解得刈=±2,所以A(l,2)或A(l,-2).

不妨取A(l,2),

則|A劇=#1一3y+(2_0)2=m=2^2.

方法二由題意可知尸(1,0),故|8用=2,

所以|AQ=2.

因為拋物線的通徑長為2P=4,

所以AF的長為通徑長的一半，

所以AFLv軸，

所以|AB|=停兩=m=272.

(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2^2px(p>0)±,拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的

一點P，IPM+IPF1的最小值為41,則p的值等于.

答案42或22

解析當點M(20,40)位于拋物線內時，如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為。，

則|PQ=|P￡?|,

\PM\+\PF\=\PM\+\PD\.

當點M,P,。三點共線時，

IPM+IPQ的值最小.

由最小值為41,得20+5=41,解得p=42.

當點M(20,40)位于拋物線外時，如圖②，當點、P,M,尸三點共線時，|PM+|PQ的值最小.

由最小值為41,得[好+(20一阱=41,

解得p—22或p=58.

當p=58時，)?=[16x,點M(20,40)在拋物線內，故舍去.

綜上，p=42或p=22.

②

思維升華“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得

簡捷、直觀的求解.“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑.

跟蹤訓練1⑴已知拋物線產〃后(心0)上的點(xo,2)到該拋物線焦點F的距離為右則m等

于()

A.4B.3C.1D.g

答案D

解析由題意知，拋物線了=機/(加＞0)的準線方程為y=一七，

根據拋物線的定義，可得點(尤(),2)到焦點F的距離等于到準線＞=一七的距離，

可得2+親=￥，解得機=；.

(2)若P是拋物線V=8x上的動點，P到y軸的距離為4,到圓C：(X+3)2+。-3＞=4上動

點Q的距離為dz，則dy+d2的最小值為.

答案^34-4

解析圓C：。+3產+&-3尸=4的圓心為C(—3,3),半徑r=2,

拋物線V=8x的焦點F(2,0),

因為P是拋物線y2=8x上的動點，P到y軸的距離為4,到圓C：(尤+3)?+。-3尸=4上動

點。的距離為刈，

所以要使最小，即P到拋物線的焦點與到圓C的圓心的距離最小，

如圖，連接尸尸，FC,則小+必的最小值為|FC|減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的

距離，

即,\J(—3—2)2+(3—0)2-2-2="\/34-4,

所以d\+di的最小值為五一4.

題型二拋物線的標準方程

例2分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.

⑴準線方程為2y+4=0；

(2)過點(3,-4)；

(3)焦點在直線x+3y+15=0上.

解(1)準線方程為2y+4=0,即y=-2,故拋物線焦點在〉軸的正半軸上，設其方程為d

=2py(p>0).

又§=2,，2p=8,故所求拋物線的標準方程為f=8y.

(2);?點(3,-4)在第四象限，，拋物線開口向右或向下，

設拋物線的標準方程為VnZpMp〉。)或r——2p\y(p\>0).

把點(3,—4)的坐標分別代入)2=23和『=一2口》中，得(一4)2=2p3,32=—2p「(一4),

169

則2〃=至，2P尸不

所求拋物線的標準方程為V=爭16;或/=—九Q

(3)令x=0得y=—5；令y=0得x=-15.

.?.拋物線的焦點為(0,—5)或(一15,0).

所求拋物線的標準方程為9=-20)，或)2=-60乂

思維升華求拋物線的標準方程的方法

(1)定義法.

(2)待定系數法：當焦點位置不確定時，分情況討論.

跟蹤訓練2(1)如圖，過拋物線V=2pxS>0)的焦點尸的直線依次交拋物線及準線于點A,B,

C,若山C|=2由且|A~=3,則拋物線的方程為()

23

AA.y=2X

B.)r—9x

C.

D.y2=3x

答案D

解析如圖，分別過點A,8作準線的垂線，交準線于點E,D,

設|Bfl=a,則|BC]=2m由拋物線的定義得|BC|="，故/BC￡>=30。，

在RtAACE中，21A￡]=|AC|,

：|AE|=HF|=3,|AC|=3+3a,

???3+34=6,解得a=l,

'JBD//FG,.?.-=1，

P3

,_3

,'P~2'

因此拋物線的方程為)?=3x.

(2)(2022?煙臺模擬)已知點尸為拋物線y2=2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8,O

為坐標原點，若△OFP的面積為2/，則該拋物線的準線方程為()

A.x=—^B.x=~\

C.x=-2D.x=-4

答案B

解析拋物線y2=2px(p>0)的焦點造，0),

將點P的橫坐標代入拋物線得產=160，可得y=±45，不妨令尸(8,4W)，

則S△oFP=耳義；X4^\E=p\歷=2y[:i,解得p=2,

則拋物線方程為V=4x,其準線方程為x=-l.

題型三拋物線的幾何性質

例3(1)在拋物線V=8x上有三點A,B,C,尸為其焦點，且尸為△ABC的重心，則|AQ+

|BR+|CF|等于()

A.6B.8C.9D.12

答案D

解析由題意得，/為△ABC的重心，

->■2I-?—?]―?—?

故AF=gX](A3+AC)=](A3+AC),

設點A,B,C的坐標分別為但，yi),(X2,竺)，(X3,券)，

???拋物線V=8x,尸為其焦點，???p(2,0),

>—?

.,.AF=(2—xl,—yi),AB=(X2—XI,y2~yi),

A

AC=(X3—XI,y3~yi),

'：AF^AB+AC),

.,.2—Xi=g(X2—X1+X3-Xl),

**.X1+及+13=6,

布+|而|+|函=即+及+次+6=12.

（2）（多選）已知拋物線C：）2=2℃。>0）的焦點為F,直線/的斜率為小且經過點凡與拋物線

C交于A,B兩點（點A在第一象限），與拋物線C的準線交于點D若[Af]=8,則以下結論正

確的是（）

A.p=4B.DF=M

C.\BD\^2\BF\D.18rl=4

答案ABC

解析如圖所示，分別過點A,3作拋物線C的準線的垂線，垂足分別為點E,M,連接EF.

設拋物線C的準線交x軸于點P,則|Pf]=p.因為直線/的斜率為小，所以其傾斜角為60。.

因為AE〃x軸，所以/E4F=60。，

由拋物線的定義可知，|AE|=|AW，

則△AEF為等邊三角形，

所以NEFP=ZAEF=60°,

則NPEr=30。,

所以lAFlMlE/qMZIPMnZpng,得p=4,

故A正確；

因為lAEInlEflnZIPE，3.PF//AE,

所以F為A。的中點，則1亦'=麗，故B正確；

因為ND4E=60。，所以44DE=30。，

所以|BD|=2|8M=2出用,故C正確;

因為|8。|=2|8月，

1IQ

所以故D錯誤.

思維升華應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物

線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性.

跟蹤訓練3（1）（2021?新高考全國1）已知。為坐標原點，拋物線C：V=2px（p>0）的焦點為F,

尸為C上一點，尸尸與x軸垂直，。為x軸上一點，且PQJ_OP.若尸。|=6,則C的準線方程

為.

3

答案x=-2

解析方法一（解直角三角形法）由題易得|OQ=§|PQ=p,NOPF=NPQF,

所以tanNOPF=tan/PQ凡

所以嘰闿即2=2

m^\PF]~\FQ\,即p—6'

3

解得p=3⑦=0舍去），所以。的準線方程為尸一哀

方法二（應用射影定理法）由題易得|0月=，

[PF]=p,\PF^=\OF]-\FQ\,

即p2=?X6,解得p=3或p=0（舍去）,

3

所以C的準線方程為尸一宗

（2）己知尸是拋物線）?=16x的焦點，例是拋物線上一點，的延長線交y軸于點N,若3前

=2加，則|FN|=

答案16

解析易知焦點廠的坐標為（4,0）,準線/的方程為》=-4,如圖,

拋物線準線與x軸的交點為A,作于點8,NCJJ于點C,

?AMN\\BM\-\CN\

AF//MB//NC,則扁=?麗-

由3FM=2MN,

,B\MN\_3

付Wf]一亍

又|CN|=4,\OF]=4,

所以圓途必=苧，|MF|=|BM|=y,需=|，

所以尸N|=16.

課時精練

以基礎保分練

1.（2022.桂林模擬）拋物線C丁=一/的準線方程為（）

33

A.x=gB.x=-g

「3n3

c-y食D.產一§

答案A

解析戶一方的準線方程為X=].

2.（2023?榆林模擬）已知拋物線』=200>0）上的一點M（xo,l）到其焦點的距離為2,則該拋物

線的焦點到其準線的距離為（）

A.6B.4C.3D.2

答案D

解析由題可知，拋物線準線為y=一多可得1+^=2,解得夕=2,所以該拋物線的焦點到

其準線的距離為p=2.

3.（2023?福州質檢）在平面直角坐標系。孫中，動點尸（x,y）到直線尤=1的距離比它到定點

（-2,0）的距離小1,則/>的軌跡方程為（）

A.V=2xB.V=4x

C.y2=~4xD.V=_8x

答案D

解析由題意知動點P（x,y）到直線x=2的距離與到定點（一2,0）的距離相等，

由拋物線的定義知，尸的軌跡是以（一2,0）為焦點，x=2為準線的拋物線，

所以p=4,軌跡方程為V=-8工

4.（2022?北京模擬）設M是拋物線V=4x上的一點，尸是拋物線的焦點，O是坐標原點，若

ZOFM=\20°,則由M等于（）

47

34C-D-

A.B.33

答案B

解析過點M作拋物線的準線/的垂線，垂足為點N,連接FW,如圖所示,

因為/OFM=120。，MN〃x軸，則/FMN=60。，

由拋物線的定義可得|MN|=|FM，所以△FNM為等邊三角形，則/FNM=60。，

拋物線V=4x的準線方程為了=-1,設直線x=-l交x軸于點E,則NENF=30。，

易知|EF|=2,NFEN=90。,則|FM|=|FN|=2|E￡]=4.

5.（多選）已知拋物線）2=2*（p>0）的焦點F到準線的距離為4,直線/過點F且與拋物線交

于兩點A（xi，yi）,8（x2，J2）>若M（，〃,2）是線段AB的中點，則下列結論正確的是（）

A.〃=4

B.拋物線方程為V=16x

C.直線/的方程為y=2x-4

D.|AB|=10

答案ACD

解析由焦點F到準線的距離為4,根據拋物線的定義可知p=4,故A正確；

則拋物線的方程為V=8x,

焦點尸（2,0）,故B錯誤；

則況=8x”另=8x2,

若M（九2）是線段A8的中點，則力+以=4,

8xi—8%2,

my'~y2-8_8_7

Xi—X2y\+y24，

...直線/的方程為y=2x—4,故C正確；

又由yi+y2=2（xi+及）—8—4,得制+及=6,

|A陰=|AF|+=閑+及+4=10,故D正確.

6.（多選）（2022?金陵模擬）在平面直角坐標系。孫中，點尸是拋物線C：>2="（〃>0）的焦點,

點48，1）,B（a,勿（b>0）在拋物線C上，則下列結論正確的是（）

A.C的準線方程為》=若

B.b=y]2

C.OAOB=2

D.焉+舟喈

答案BD

解析點A0，1)(a>0),B(a,與g>0)在拋物線C上,

T,

則解得1

=

b2=a2,,by[2,

產=啦》，A(坐，1),B(小,y/2),

則拋物線C：

拋物線C的準線方程為x=一乎，故A錯誤，B正確;

OA-OB=^Xy/2+lXy[2=l+y/2

,故C錯誤;

拋物線C的焦點0.

2+(0-1尸斗,

則依冏=

+(0-何=乎,

|防=

_____2y[2,2^216^2坊口下油

則|AF|十|8用一3+5—15，故D正確.

7.如圖是拋物線形拱橋，當水面為/時，拱頂離水面2米，水面寬4米.則水位下降1米后,

水面寬.米.

4米

答案2班

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為d=-2py(p>0),則點(2,—2)

在拋物線上，代入可得p=l,所以f=-2y當y=-3時，』=6,所以水面寬為入用米.

8.(2021?北京)已知拋物線C：y2=4x,焦點為F,點M為拋物線C上的點，且尸M=6,則

M的橫坐標是,作軸于N,貝I」SAFMV=

答案54小

解析因為拋物線的方程為V=4x,

故p=2且尸(1,0),

因為尸M|=6,所以x”+§=6,

解得XM=5,

故)M=±2A/5,

所以SAF,W,V=1X(5-1)X2<5=4^5.

9.過拋物線C：，=20。>0)的焦點F作直線I與拋物線C交于A,B兩點，當點A的縱坐

標為1時，忸月=2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若拋物線C上存在點時(一2,泗)，使得求直線/的方程.

解⑴拋物線C：/=2p,y(p>0)的準線方程為產一多焦點為《0,2).

當點A的縱坐標為1時，|An=2,

...l+g=2,解得p=2,

拋物線C的方程為』=4y

(2);?點M(—2,泗)在拋物線C上，

(-2)2

???%=七，~=1,M坐標為(-2,1).

又直線/過點F(0,l),...設直線/的方程為y=fcv+l.

y=Ax+l,

由L

|』=4丫，

得%2—4fcr—4=0.

設A(xi,a),8(X2,”),

則X1+X2=4A,X|X2=-4,

MA=(x\+2,yi—1),

MB=(X2+2,y2-l).

.*.(Xi+2)(x2+2)+(j|—1)(y2—1)=0,

.,.-4+弘+4—43=0,解得％=2或無=0.

當％=0時，/過點M,不符合題意，；"=2,

.?.直線/的方程為y=2x+\.

10.已知在拋物線C：/=2外(。>0)的第一象限的點P(x,l)到其焦點的距離為2.

(1)求拋物線C的方程和點P的坐標；

⑵過點(一1，0的直線/交拋物線C于A,B兩點，若NAP8的角平分線與y軸垂直，求弦

AB的長.

解(1)由1+§=2,可得p=2,

故拋物線的方程為爐=4)，，

當>'=1時，/=4,

又因為x>0,所以x=2,

所以點P的坐標為(2,1).

(2)由題意可得直線/的斜率存在，

設直線/的方程為y=k(x+l)+],A(xi,yi),Bgyi),

'1

由，y；口kx—I—k十~沙得34-2=0,

=4y,

所以/=169+4(4k+2)>0,jq+x2=44，為l2=—4%—2,

因為NAPB的角平分線與)，軸垂直，

所以kpA+kpB=3

所以kpA+kpB=*~=0,

x\-2念一2

X2\.XI7

4-'4-1

即-7+—7=0,

X\—2XL?

即x\+X2+4=0,

所以％=—1,X\~\~X2=—4,XIM=2,

所以IAB]=y1+F|X]一及|=「1+W(X1+X2)2—4為念=4.

應綜合提升練

11.(多選)(2023?唐山模擬)拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，

沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后

必過拋物線的焦點.已知拋物線r：V=x,o為坐標原點，一束平行于x軸的光線/,從點

尸偌，1)射入，經過「上的點A?！?】)反射后，再經;?上另一點8(X2,”)反射后，沿直線，2

射出，經過點。，則下列結論正確的是()

A."2=-1

B.|AB|=||

C.P8平分248。

D.延長AO交直線x=—；于點C,則C,B,。三點共線

答案BCD

解析設拋物線的焦點為F,

則《，0).

因為據,1)

,且/i〃x軸，故A(U),

41

故直線4By=一曠尹一T

'=4_1

由“尹不可得：y2-%一；：。，

、產X，

故》”=一：,故A錯誤；

又yi=l,故”=一不

故唯，5)，

1125

故叢8|=1+諱+]=京，故B正確；

4125

因為|AP|=而一1=詫=|A3|,

故△AP3為等腰三角形，故/ABP=NAPB,

而八〃/2,故/PBQ=NAPB,

即/ABP=/PBQ,

故PB平分NA8Q,故C正確；

y=x，

直線A。：y=x,由，_1

可得《V，-4)1故優=)*

所以C,B,。三點共線，故D正確.

12.(2022?阜寧模擬)已知拋物線C：)2=2px(p>0)的焦點為凡