高中

二年級

數學一元函數的導數及其應用復習2—函數的單調性與導數目錄12知識梳理考點突破3要點總結知識梳理函數的單調性與其導函數符號的關系可導函數f(x)在區間(a，b)內的單調性與導數的正負有如下關系：導數函數的單調性f′(x)＞0單調遞增f′(x)＜0單調遞減f′(x)＝0常數函數“f(x)在區間(a，b)上是增函數，則f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，這種說法是否正確？【概念方法微思考】知識梳理

[化解疑難]在某個區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間內為單調遞增(減)函數的充分不必要條件．導函數y=f′(x)的孤立的不變號零點，不會影響函數f(x)，在包含這些特殊點的某個區間內的單調性．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．√√跟蹤練習.如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是（）A在區間(－2,1)上f(x)是增函數B在區間(1,3)上f(x)是減函數C在區間(4,5)上f(x)是增函數D當x＝2時，f(x)取到極小值√解析在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函數.分類突破例3、已知定義在區間(－π，π)上的函數f(x)＝xsinx＋cosx，則f(x)的單調遞增區間是___________________.解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx>0，跟蹤訓練3.函數f(x)＝x·ex－ex＋1的遞增區間是A.(－∞，e) B.(1，e)C.(e，＋∞) D.(e－1，＋∞)解析由f(x)＝x·ex－ex＋1＝ex·（x－e）得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函數f(x)的遞增區間是(e－1，＋∞).√例4.已知函數f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0).試討論f(x)的單調性.解：函數的定義域為R，由題意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，思想方法SIXIANGFANGFA用分類討論思想研究函數的單調性1．討論含有參數的函數的單調性，通常歸結為求含參數不等式的解集問題，而對含有參數的不等式要針對具體情況進行討論，但要注意定義域對單調區間的影響以及分類討論的標準．2．對含參數的函數的單調性進行分類討論時，常見的分類討論標準有以下幾種可能：①導函數f′(x)是否有變號零點；②若f′(x)有變號零點，令f′(x)=0，求出根后判斷其是否在定義域內；③若根在定義域內且有兩個，比較兩根的大小是常見的分類方法.

思維升華因為f(x)在[1,4]上單調遞增，所以當x∈[1,4]時，f′(x)≥0恒成立，題

型

四(2)若函數f(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍.所以a>－1.

又因為a≠0，所以a的取值范圍為(－1,0)∪(0，＋∞).

思維升華根據函數單調性求參數范圍的一般思路：(1)函數y＝f(x)在(a，b)上單調，通常可轉化為不等式恒成立問題即f(x)在(a，b)上為增（減）函數的充要條件是：對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.f′(x)≥a恒成立

f′(x)min≥a

f′(x)≤a恒成立

f′(x)max≤a(3)函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.即f′(x)＞a有解

f′