材料在受軸向拉壓時的力學性能8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能【引言】分析構件的強度時，除計算構件在外力作用下的應力外，還應了解材料的力學性能。所謂材料的力學性能主要是指材料在外力作用下在變形和破壞方面表現出來的特性。了解材料的力學性能主要通過試驗的方法。可分為材料在拉伸時的力學性能與材料在壓縮時的力學性能。8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能一、材料拉伸時的力學性能在室溫下,以緩慢平穩加載的方式進行的拉伸試驗，稱為常溫、靜載拉伸試驗。它是確定材料力學性能的基本試驗。拉伸試件的形狀如圖所示，中間為較細的等直部分，兩端加粗。在中間等直部分取長為l的一段作為工作段,

l稱為標距。為了便于比較不同材料的試驗結果，應將試件加工成標準尺寸。對圓截面試件,標距l與橫截面直徑d有兩種比例：l

=10d,

l

=5d分別稱為長試件和短試件。對矩形截面試件，標距l與橫截面面積A之間的關系規定為【注】由國家規定的試驗標準，對試件的形狀、加工精度、試驗條件等都有具體的規定。試驗時使試件受軸向拉伸，通過觀察試件從開始受力直到拉斷的全過程，了解試件受力與變形之間的關系，從而確定材料力學性能的各項指標。由于材料品種很多，常以典型塑性材料低碳鋼和典型脆性材料鑄鐵為代表，來說明材料在拉伸時的力學性能。（一）低碳鋼在拉伸時的力學性能低碳鋼一般是指碳的質量分數在0.3%以下碳素鋼。在拉伸試驗中，低碳鋼表現出來的力學性能最為典型,在工程上，低碳鋼也是使用較廣的鋼材之一。試件裝上試驗機后，緩緩加載。試驗機的示力盤上指出一系列拉力F的數值，表示相應的拉力F值，測距儀同時測出試件標距之間桿的伸長量Δl

。以縱坐標表示拉向拉力F，橫坐標表示伸長量Δl。根據測得的一系列數據，作圖表示F和Δl的關系，如圖所示，稱為拉伸圖或F—Δl曲線。圖示為低碳鋼的拉伸圖或F—Δl曲線。F—Δl曲線與試件尺寸有關。為了消除試件尺寸的影響，把拉力F除以試件橫截面的原始面積A，得出試件橫截面上的正應力：

=F/A；同時，把伸長量Δl除以標距的原始長度l，得到試件在工作段內的應變：

=Δl/l

。以

為縱坐標，

為橫坐標，作圖表示

與

的關系，如圖所示，稱為軸向受拉桿的應力應變圖或

—

曲線。下面分析該曲線。1.

—

曲線的四個階段：根據試驗結果分析，低碳鋼的

—

曲線可以分為如下四個階段(1)彈性階段

在拉伸的初始階段，

與

的關系為直線oa，這表示在這一階段內

與

成正比：即

或者把它寫成等式

=E即滿足胡克定理。等式

=E即是拉伸或壓縮的胡克定律。式中E為與材料有關的比例常數（彈性模量）。由公式

=E，并從曲線的直線部分看出8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能所以E是直線的斜率。直線的最高點a所對應的應力，用

P來表示，稱為材料的比例極限?？梢姡攽Φ陀诒壤龢O限時，應力與應變成正比，材料服從胡克定律。超過比例極限后，從a點到b點，

與

之間的關系不再是直線。但變形仍然是彈性的，即解除拉力后變形將完全消失。b點所對應的應力是材料只出現彈性變形的極限值，稱為彈性極限，用

e來表示。在曲線上，a、b兩點非常接近，所以工程上對彈性極限和比例極限并不嚴格區分。因而也經常說，應力低于彈性極限時，應力與應變成正比，材料服從胡克定律。8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能在應力大于彈性極限后，如再解除拉力，則試件變形的一部分隨之消失，但有一部分變形不能消失。前者是彈性變形，而后者就是塑性變形。8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能（2）屈服階段

當應力超過b點增加到某一數值時，應變有非常明顯的增加，而對應的應力值先是下降，然后在很小的范圍內波動，在

—

曲線上出現接近水平線的小鋸齒形線段。這種應力先是下降然后即基本保持不變，而應變顯著增加的現象，稱為屈服或流動。在屈服階段內的最高應力和最低應力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。上屈服極限的數值與試件形狀、加載速度等因素有關，一般是不穩定的。下屈服極限則有比較穩定的數值，能夠反應材料的性質。通常把下屈服極限稱為屈服極限或流動極限，用

S來表示。表面磨光的試件在應力達到屈服極限時，表面將出現與軸線大致成45°傾角的條紋，如圖所示。這是由于材料內部晶格之間相對滑移而成的，稱為滑移線。因為拉伸時在與桿軸線成的45°斜截面上，剪應力為最大值，可見屈服現象的出現與最大剪應力有關。當材料屈服時，將引起顯著的塑性變形。由于材料的塑性變形將影響其正常工作，所以屈服極限是衡量材料強度的重要指標。8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能（3）強化階段經過屈服階段后，由于受拉桿內的材料內部晶格之間相對滑移，分子重新組合，材料又恢復了抵抗變形的能力，此時要使它繼續變形，必須增大拉力，這種現象稱為材料的強化。在應力應變圖中，強化階段中的最高點e所對應的應力，是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限，用

b表示。在強化階段中，試件的橫向尺寸有明顯的縮小。（4）局部變形階段過e點后,在試件的某一局部范圍內,橫向尺寸突然縮小,形成頸縮現象,如右下圖所示，所以,該階段也稱為頸縮階段。由于在頸縮部分橫截面面積迅速減小,使試件繼續伸長所需要的拉力也相應減少。在

—

圖中，用橫截面原始面積A算出的應力

=F/A隨之下降。降落到f點,試件被拉斷。因為應力到達強度極限后,試件出現頸縮現象,隨后即被拉斷,所以強度極限是衡量材料強度的另一重要指標2.材料的塑性——延伸率和斷后收縮率試件拉斷后，彈性變形消失，而塑性變形依然保留。試件的長度由原始長度l變為l1。用百分比表示的比值表示

稱為延伸率，試件的塑性變形越大，延伸率

也就越大。因此，延伸率是衡量材料塑性的重要指標。低碳鋼的延伸率很高，其平均值約為

=20%～30%，這說明低碳鋼的塑性性質很好。工程上通常按延伸率的大小把材料分成兩大類，

≥5%的材料稱為塑性材料，如碳鋼、黃銅、鋁合金等；而把

＜5%的材料稱為脆性材料。如灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等。試件拉斷后，若以A1表示頸縮處的最小橫截面面積，用百分比的比值表示

稱為斷面收縮率，也是衡量材料塑性的重要指標；式中A為試件橫截面的原始面積。由于試件的長度不同，由實驗得到的斷面收縮率

波動較大，所以，區別材料的塑性指標主要以材料的延伸率為主。3．卸載定律及冷作硬化在低碳鋼的拉伸試驗中,如把試件拉到超過屈服極限的d點,然后逐漸卸除拉力,

—

曲線將沿著斜直線dd/回到d/點.斜直線dd/近似地平行于oa。這說明:在卸載過程中,應力和應變按直線規律變化.這就是卸載定律.拉力完全卸除后,

—

圖中,

d/g表示消失了的彈性變形,od/而表示不再消失的塑性變形。卸載后，如在短期內再次加載，則應力和應變關系大致上沿卸載時的斜直線d/d變化，直到d點后，又沿曲線def變化?？梢娫谠俅渭虞d過程中，直到d點以前，材料的變形是彈性的，過點后才開始出現塑性變形。比較圖中的oabcdef和d/def兩條曲線，可見在第二次加載時，其比例極限（亦即彈性階段）得到了提高，但塑性變形和延伸率卻有所降低。這表示：在常溫下把材料預拉到強化階段，產生塑性變形，然后卸載，當再次加載時，將使材料的比例極限提高而塑性降低。這種現象稱為冷作硬化，冷作硬化現象經退火后又可消除。若在第一次卸載后讓試件“休息”幾天，再重新加載，這時的應力-應變曲線將沿d/d變化，直到比d點更高處，即能獲得了更高的強度指標。這種現象稱為冷作時效。8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能工程上經常利用冷作硬化來提高材料的彈性階段。如起重用的鋼索和建筑用的鋼筋，常用冷拔工藝以提高強度。又如對某些零件進行噴火處理，使其表面發生塑性變形，形成冷硬層，以提高零件表面層的強度。但另一方面，零件初加工后，由于冷作硬化使材料塑性下降，即脆性增加，給下一步加工造成困難，且容易產生裂紋，此時需要在工序之間安排退火，以消除冷作硬化的影響。材料的塑性下降、脆性增加對于承受沖擊荷載和振動荷載的構件是非常不利的，因此，對于水泵基礎、吊車梁等鋼筋混凝土構件，一般不宜用冷拉鋼筋。（二）其他塑性材料在拉伸時的力學性能工程上常用的塑性材料,除低碳鋼外,還有中碳鋼,某些高碳鋼和合金鋼,鋁合金,青銅,黃銅等。右圖是幾種塑性材料的

—

曲線.其中有些材料,如16Mn鋼,和低碳鋼一樣,有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。有些材料，如黃銅，沒有屈服階段，但其他三階段卻很明顯8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能對于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產生數值為0.2%的殘余應變（塑性應變）的應力作為屈服應力，稱為名義屈服強度或屈服極限，并用

0.2表示。如圖所示，在橫坐標軸上取OC=0.2%，自C點作直線平行于彈性階段直線OA，與應力-應變曲線相交于D，與D點對應的正應力即為名義屈服極限。各類碳素鋼中隨碳的質量分數的增加，屈服極限和強度極限相應增高，但延伸率降低。例如合金鋼、工具鋼等高強度鋼，其屈服極限較高，但塑性性質卻較差。在我國，結合國內資源，近年來發展了普通低合金鋼，如16Mn、15MnTi等。這些低合金鋼的生產工藝和成本與普通鋼相近，但有強度高、韌性好等良好的性能，目前使用頗廣。（三）鑄鐵拉伸時的力學性能灰口鑄鐵拉伸時的應力—應變關系是一段微彎曲線，如圖所示，沒有明顯的直線部分。在較小的拉力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小。所以，灰口鑄鐵是典型的脆性材料。由于鑄鐵的

—

圖沒有明顯的直線部分，彈性模量E的數值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉力不能很高，而在較低的拉應力下，則可近似地認為變形服從胡克定律。通常取曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為彈性模量，稱為割線彈性模量。鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限,因為沒有屈服現象，強度極限是衡量強度的惟一指標。鑄鐵等脆性材料抗拉強度很低，所以不宜作為抗拉零件的材料。鑄鐵經球化處理成為球墨鑄鐵后，力學性能有顯著變化，不但有較高的強度，還有較好的塑性性能。國內不少工廠成功地用球墨鑄鐵代替鋼材制造曲軸、齒輪等零件。8.4材料在受軸向拉壓時的力學性能二、材料在壓縮時的力學性能金屬材料的壓縮試件，一般制成很短的圓柱，以免試驗時被壓彎。圓柱高度約為直徑的1.5～3倍。1.低碳鋼受壓時的力學性能與拉伸時一樣，可以畫出低碳鋼壓縮時的應力應變圖或

—

曲線，如圖所示。試驗結果表明：低碳鋼壓縮時的彈性模量E，屈服極限

S，都與拉伸時大致相同。低碳鋼由于在屈服階段以后，試件越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試件抗壓能力也繼續增高，因而壓縮時得不到其強度極限。對于低碳鋼，由于從拉伸試驗就可以了解到其壓縮時的主要性質，因此，了解低碳鋼材料的性質，不一定要進行壓縮試驗。2.鑄鐵受壓時的力學性能下左圖表示鑄鐵壓縮時的

—

曲線。試件仍然在較小的變形下突然破壞。破壞斷面與軸線大致成45°～50°的傾角。表明這類試件是由于斜截面因剪切而破壞。鑄鐵的抗壓強度極限比它的抗拉強度極限高4～5倍。其他脆性材料，如混凝土、石料等，抗壓強度也遠高于抗拉強度。（右圖為拉伸時的

—

曲線）脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，而且價格低廉，宜于作為抗壓零件的材料。鑄鐵堅硬耐磨，易于澆鑄成形狀復雜的零部件，廣泛地用于鑄造成機床床身、機座、缸體及軸承座等受壓零部件。因此，其壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。綜上所述，衡量材料力學性能的指標主要有：比例極限（或彈性極限）

P、屈服極限

S、強度極限

b、彈性模量E、延伸率

和斷面收縮率等

。表8-2列出了幾種常用材料在常溫、靜載下的主要力學性能。表8-2幾種常用材料的主要力學性能8.6應力集中的概念8.6應力集中的概念8.6應力集中的概念一、什么是應力集中等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的應力是均勻分布的。但由于實際需要，在些構件必須有切口、切槽等，以致在這些部位上截面尺寸發生突然的變化。實驗結果和理論分析表明，在構件尺寸突然改變的橫截面上，應力并不是均勻分布的。例如開有圓孔和帶有切口的板條，當其受軸向拉伸時，在圓孔和切口附近的局部區域內，應力將劇烈增加，但在離開這一區域稍遠處，應力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化而引起局部應力急劇增大的現象，稱為應力集中。8.6應力集中的概念如圖所示二、如何描述應力集中？設在發生應力集中的截面上的最大應力為

max,同一截面上的平均應力為

m,則比值

=

max

/

m

,

稱為理論應力集中系數。它反映了應力集中的程度,是一個大1的系數。實驗結果表明：截面尺寸改變得越急劇、角越尖、孔越小,應力集中和程度就越嚴重。因此,構件上應盡可能地避免帶尖角的孔和槽,在階梯軸的軸肩處要用圓弧過渡,而且在結構允許的范圍,應盡量使圓弧半徑大一些。三、應力集中的危害各種材料對應力集中的敏感程度并不相同。塑性材料有屈服階段，當局部的最大應力

max到達屈服極限時

s

，該處材料的變形可以繼續增長，而應力卻不再加大。如外力繼續增加，增加的力就由截面尚未屈服的材料來承擔，使截面上其他點的應力相繼增大到屈服極限，如圖所示。這就使截面上的應力逐漸趨于平均，降低了應力不均勻程度，也限制了最大應力

max的數值。因此，用塑性材料制成的構件在靜載作用下，可以不考慮應力集中的影響。脆性材料沒有屈服階段，當荷載增加時，應力集中處的最大應力

max一直領先，不斷增長，首先到達強度極限

b

，該處將首先產生裂紋。所以對于脆性材料制成的構件，應力集中的危害性顯得嚴重。因此，即使在靜載下，也應考慮應力集中對構件承載能力的削弱。但是象灰鑄鐵這類材料，其內部的不均勻性和缺陷往往是產生應力集中的主要因素，而構件外形改變所引起的應力集中就可能成為次要因素，對構件的承載能力不一定造成明顯的影響。當構件受周期性變化的應力或受沖擊荷載作用時，不論是塑性材料還是脆性材料，應力集中對構件的強度都有嚴重的影響，往往是構件破壞的根源，應引起充分的重視。小結1.軸向受拉或受壓桿件的共同特點是：在受力方面，作用于桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合；在變形方面，桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。軸力以受拉為正。2.軸向拉壓桿橫截面上的應力在橫截面上式均勻分布的。軸向拉壓桿的變形可以用胡克定理來計算。3.低碳鋼拉伸實驗的拉斷可以分為四個階段，即彈性階段、屈服階段、強化階段、頸縮階段；有三個強度指標，即比例極限、屈服極限、強度極限；有兩個塑性指標，即延伸率、斷面收縮率。4.應用強度條件,可以進行三項強度計算。8.1軸向拉伸與壓縮的概念建筑力學

軸向拉伸與壓縮【學習目標】【學習目標】1.了解軸向拉壓時構件的受力與變形特點；2.掌握軸向拉壓時構件的內力（軸力）的求解、應力的分析與計算、變形的分析與計算；3.理解胡克定理；4.掌握軸向拉壓時的強度條件及強度計算;5.理解材料的力學性能。6.理解應力集中的概念及其危害。8.1軸向拉伸與壓縮的概念8.1軸向拉伸與壓縮的概念在工程實際中，經常會遇到承受軸向拉伸或壓縮的構件如圖所示的磚柱、桁架中的桿件、斜拉橋中的拉索等。分析它們的受力與變形形式，都是軸心拉伸或壓縮。8.1軸向拉伸與壓縮的概念這些受拉或受壓的桿件雖外形各有差異，加載方式也并不相同，但它們的共同特點是：在受力方面，作用于桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合；在變形方面，桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。如圖所示。圖中用實線表示受力前的外形，虛線表示變形后的形狀。一、軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力【關于內力】工程結構及構件，都是由一定的材料組成，在這些構件的內部，材料的分子之間，存在著原始的相互作用力（內力），同時處于平衡。我們將這些原始就存在的材料分子之間的相互作用力，稱為原始內力。當構件受外力作用后，構件內部的分子之間的相互作用力，將隨之發生改變，產生新的內力，即由于外力作用引起的附加內力。我們將這種“附加內力”簡稱為內力。今后說的內力，就是指附加內力。求內力的基本方法是截面法，它不但在本節中用于軸心拉(壓)桿的內力計算，而且將在以后各節中用于計算其它各種變形形式桿件的內力，因此應著重理解和掌握它。下面通過對圖示的軸心受壓桿求橫截面的內力，來闡明截面法。8.1軸向拉伸與壓縮的概念(1)為了顯示內力，沿欲求內力的橫截面，假想地把構件截開為兩部分。任取一部分截離體（或稱為隔離體）作為研究對象，而棄去另一部分(如圖)。8.1軸向拉伸與壓縮的概念(2)隔離體上除了作用有原有外力F以外，在截面上還受到截掉的另一段對它的作用力，此即橫截面m-m上的內力。根據連續性、均勻性假設，橫截面m-m上的內力是連續分布的，可稱其為分布內力，而這些分布內力的合力(或合力偶)，稱為內力。有了這些內力的作用，使隔離體得以像未截開之前一樣仍處于平衡狀態。8.1軸向拉伸與壓縮的概念由隔離體的平衡條件可知，軸向拉（壓）桿橫截面的內力,只能是軸向力。因為外力的作用線與桿件軸線重合，內力的作用線也必然與桿件的軸線重合，所以稱為軸力，用FN表示。習慣上，把拉伸時的軸力規定為正，壓縮時的軸力規定為負。在求軸力的時候，通常把軸力設成拉力，即假設軸力的箭頭是背離截面的。8.1軸向拉伸與壓縮的概念(3)建立所取研究對象的平衡方程，并解出所欲求的內力，這里是軸力FN。對上圖，根據平衡方程，得：在這里求出FN的結果為正，說明橫截面上的軸力與假設的方向（或性質）相同，是拉力；反過來，若求出FN的結果為負，說明橫截面上的軸力與假設的方向（或性質）相反，是壓力。8.1軸向拉伸與壓縮的概念上面這種假想地將構件截開成兩部分，從而顯示并求解內力的方法稱為截面法。由上述求解過程可知，用截面法求構件內力可分為以下四個步驟：(1)截開。沿需要求內力的截面，假想地將構件截開分成兩部分；(2)選取。選取截開后的任一部分作為研究對象(即隔離體)(3)代替。用截面上的內力代替棄去部分對留下部分的作用(4)平衡。根據平衡條件，建立研究對象的靜力平衡方程，解出需求的內力。8.1軸向拉伸與壓縮的概念二、軸向拉（壓）的內力圖1.內力圖的概念若沿桿件軸線作用的外力多于兩個，則在桿件各部分的橫截面上，其軸力將不盡相同。逐次地運用截面法，可求得桿件上所有各部分橫截面上的內力。以與桿件軸線平行的橫坐標軸表示各橫截面位置，以縱坐標表示相應的內力值，這樣作出的內力圖形稱為內力圖。8.1軸向拉伸與壓縮的概念2.內力圖的意義內力圖可以清楚、完整地表示出桿件的各橫截面上的內力沿桿軸線變化的情況，是下一步進行應力、變形、強度、剛度等計算的依據。3.軸力圖：對軸心拉（壓）桿軸來說，其內力是軸力FN，內力圖的縱坐標就是軸力FN。因此，軸心拉（壓）的內力圖稱為軸力圖，即FN圖。關于軸力圖的繪制，用下例說明。8.1軸向拉伸與壓縮的概念例8-1

軸心拉壓桿如圖所示，不計桿的自重，試求作其軸力圖。解：一般來說，解題首先應識別問題的種類。由該桿的受力特點，可知它的變形是軸心拉壓，其內力是軸力FN。8.1軸向拉伸與壓縮的概念由桿件的整體平衡條件可求出支座反力FEx。對于本例題這類具有自由端的構件或結構，一般可取含自由端的一段為隔離體，這樣可以避免求支座反力。用截面法求內力。各隔離體如圖所示，由各隔離體的平衡條件，可以求得各段中的軸力。8.1軸向拉伸與壓縮的概念AB段，如圖BC段。如圖8.1軸向拉伸與壓縮的概念CD段，如圖DE段，如圖8.1軸向拉伸與壓縮的概念如果在前面求出右端支座反力，DE段也可以截取右邊一段為隔離體進行求解，如圖。8.1軸向拉伸與壓縮的概念根據上面求得的桿上各段截面的軸力FN，作軸力圖如圖。8.1軸向拉伸與壓縮的概念畫軸力圖要點：內力圖一般都應與受力圖對正。對FN圖而言，當桿水平放置或傾斜放置時，正值應畫在與桿件軸線平行的橫坐標軸的上方或斜上方，而負值則畫在下方或斜下方，并必須標出符號+或─,如前圖所示。當桿件豎直放置時，正負值可分別畫在一側并標出+或─。內力圖上必須標全橫截面的內力值及其單位，還應適當地畫出一些垂直于橫坐標軸的縱坐標線。內力圖旁應標明為何種內力圖。橫坐標軸名稱可以不標出，縱坐標FN也可以不畫。當熟練時，各截離體圖亦可不必畫出。8.1軸向拉伸與壓縮的概念例8-2

豎柱AB如圖所示，其橫截面為正方形，邊長為a，柱高h；材料的堆密度為γ；柱頂受荷載F作用。求作它的軸力圖。8.1軸向拉伸與壓縮的概念解：由受力特點判別該柱子屬于軸心拉壓桿，其軸力是FN?？紤]柱子的自重荷載，以豎向的x坐標表示橫截面位置，則該柱各橫截面的軸力是x的函數。對任意x截面取上段為研究對象，隔離體如右圖所示。圖中，FNx是任意x截面的軸力；G=γa2x是該段截離體的自重。8.1軸向拉伸與壓縮的概念上式稱為該柱的軸力方程。該軸力方程是x的一次函數，故只需求得兩點的值連成直線，即得FN圖。8.1軸向拉伸與壓縮的概念當x0時，可得B下鄰截面的軸力FNBA=─F當xh時，可得A上鄰截面的軸力

FNAB=─F─γa2h

應注意式中符號及其意義，第二個腳標表示所求內力的截面處，第三個腳標表示桿件上與所求內力的截面有關的相鄰截面。以后，表示這種相鄰截面的其他內力都用此法。8.1軸向拉伸與壓縮的概念從上面例子中，我們還可以總結得到求軸向拉壓桿軸力的規律：軸向拉壓桿任一截面的軸力，等于該截面任意一側所有軸向外力的代數和，其中以軸向外力的方向背離截面者為正。8.3軸向拉壓時的變形8.3軸向拉壓時的變形8.3軸向拉壓時的變形【引言】直桿在軸向拉力作用下，將引起軸向尺寸的增大和橫向尺寸的縮小。反之，在軸向壓力作用下，將引起軸向尺寸的縮小和橫向尺寸的增大。本節介紹軸向拉壓時變形的概念與計算。8.3軸向拉壓時的變形一、軸向拉伸與壓縮時變形的形式1.絕對變形：如圖所示，等直桿的原長為l，橫截面面積為A。在軸向拉力F作用下，長度由l變為l1。桿件在軸線方向的伸長為Δl=l1－lΔl稱為拉壓桿的縱向變形，對Δl

，規定桿件受拉伸長時Δl為正，受壓縮短時Δl為負。而桿件在垂直于軸線方向的橫向尺寸的縮小為Δb=b1－bΔb稱為拉壓桿的橫向變形，顯然，Δb與Δl的性質，永遠都是相反的8.3軸向拉壓時的變形2.相對變形：軸向拉壓桿的縱向變形Δl，與桿件的原長l有關，雖然在一定程度上，能夠反映受拉桿的伸長量，但是不能反映桿件的變形程度。為了消除桿件長度的影響，將Δl除以l，得桿件軸線方向單位長度的伸長量，用以說明桿件在軸向的變形程度，稱為軸向拉壓桿的縱向線應變，用

表示，即上式也可改寫為若縱向線應變

為已知，則可以由上式求得軸向拉壓桿的縱向變形Δl。由此可見，桿件的變形，是桿件各點應變的總和。8.3軸向拉壓時的變形同理，將Δb除以b，得桿件垂直于軸線方向的橫向單位寬度的伸長量，用以說明桿件在橫向的變形程度，稱為軸向拉壓桿的橫向線應變，用

/表示，即

顯然，和Δb與Δl的性質相反一樣，軸向拉壓桿的縱向線應變

與橫向線應變

/的性質，也總是相反的。8.3軸向拉壓時的變形二、軸向拉伸與壓縮時變形的計算研究表明，在軸向拉壓桿的正應力

和縱向變應變

之間，存在正比關系，即：

引入比例常數E，上式可寫為

=E

（8—7）式中E是一比例常數，稱為材料的彈性模量，常用單位是MPa,E的值隨材料而不同，它的具體值可由實驗來測定。幾種常用材料的E值見表8-1。式（8—7）稱為材料的單向胡克定律。其意義為：當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。8.3軸向拉壓時的變形

=E

（8—7）若將、兩式代入式（8—7）中，則可得公式（8—8）表示：當應力不超過材料的比例極限時，桿件的伸長Δl與拉力F及桿件的原長度l成正比，與橫截面面積A成反比。這是胡克定律的另一表達式。以上結果同樣可以用于軸向壓縮的情況，只要把軸向拉力改為壓力，把伸長改為縮短就可以了。8.3軸向拉壓時的變形從公式（8—8）看出,對長度相同，受力相等的桿件,EA越大則變形越小,所以EA稱為桿件的抗拉（或抗壓）剛度。三、泊松比試驗結果表明：當應力不超過比例極限時，橫向線應變

/與縱向線應變

之比的絕對值是一個常數，即

稱為橫向變形系數或泊松比，是一個沒有量綱的量。因為當桿件軸向伸長時，橫向縮??；而軸向縮短時，橫向增大。所以

/和

的符號總是相反的。這樣，

/和

的關系可以寫成

/

=－

（8—10）和彈性模量E一樣，泊松比

也是材料固有的彈性常數。表8—1中摘錄了幾種常用材料的E和

值，可備查用。當橫截面尺寸或軸力沿桿件軸線變化而并非常量時，上述計算變形的方法應稍作變化。在變截面的情況下，如果截面尺寸沿軸線的變化是平緩的，且外力作用線與軸線重合，如圖所示。此時，可用兩個相鄰橫截面從桿中取出長度為dx的微段，并以Ax和FNx分別表示橫截面面積和橫截面上的軸力，如圖所示。將公式(8-8)應用于這一微段，求得微段的伸長為將上式積分，得桿件的伸長為在等截面桿的情況下，當軸力不是常量時，仍可按上述方法計算變形。例8-4如圖所示,階梯桿受軸向荷載作用。桿件材料的抗拉、抗壓性能相同。l1=100mm，l2=50mm，l3=200mm；材料的E=2×105MPa，

=0.3。求：（1）各段的縱向線應變；（2）全桿的縱向變形；（3）各段直徑的改變量。解：（1）求出各段的軸力，畫軸力圖。求得AB、BC、CD三段的內力分別為

FNAB=FNBC=?4kN,FNCD=3kN如圖。（2）AB、BC、CD三段的應力分別為8.3軸向拉壓時的變形（3）根據胡克定理計算AB、BC、CD三段的縱向線應變（4）計算AB、BC、CD三段的縱向變形及桿的縱向變形（5）計算AB、BC、CD三段的直徑改變量例8-5圖示結構的AB為剛性桿，B端受荷載F=10kN作用。拉桿CD的橫截面積A=4cm2,材料的E=200GPa

求B端的豎向位移ΔBy。解：取AB桿為研究對象，由∑MA=0,求得CD桿中的拉力為用胡克定理計算拉桿CD的縱向變形

如圖所示，由于變形微小，則D、B點實際移動的圓弧線可用其切線DD/

、D1D/、BB/代替。根據幾何關系得則B端的豎向位移例8-6如圖所示等截面直桿，已知其原長l、橫截面積A、材料的堆密度

、彈性模量E，直桿受自重和下端處集中力F作用。求該桿下端面的豎向位移ΔBy。8.3軸向拉壓時的變形解：取截離體如中圖所示，求得x截面內力

FNx=F+G=F+

Ax在截面x處取微段dx如圖所示。由于是微段，所以可以略去兩端內力的微小差值，則微段的變形8.3軸向拉壓時的變形積分得全桿的變形就是B端豎向位移8.5軸向拉壓時的強度條件與強度計算8.5軸向拉壓時的

強度條件與強度計算一、極限應力的概念以上各節介紹了材料的力學性能。在這一基礎上,現在討論軸向拉（壓）時桿件的強度計算。通常把材料破壞時的應力稱為危險應力或極限應力,它表示材料所能承受的最大應力。對于塑性材料

,當應力到達屈服極限（或）時,零件將發生明顯的塑性變形，影響其正常工作,一般認為這時材料已經破壞，因而把屈服極限（或）作為塑性材料的極限應力；而對于脆性材料,直到斷裂也無明顯的塑性變形,所以斷裂是脆性材料破壞的惟一標志,因而斷裂時的強度極限就是脆性材料的極限應力。二、許用應力和安全系數為了保證構件有足夠的強度，構件在載荷作用下的應力（工作應力）顯然必須低于極限應力。因此，強度計算中，把極限應力除以一個大于1的系數，并將所得結果稱為許用應力，用[

]來表示。式中，系數ns和nb分別是對應于塑性材料和脆性材料各自極限應力的安全系數，其值均大于1。為計算方便，將常用材料的許用應力列于表8-3中。三、軸向拉（壓）時的強度條件為確保軸向拉伸（壓縮）桿件有足夠的強度，把許用應力作為桿件實際工作應力的最高限度。即要求工作應力不超過材料的許用應力。于是，得強度條件如下根據上述強度條件，可以解決以下三種類型的強度計算問題。1．強度校核若已知構件尺寸、載荷數值和材料的許用應力，即可直接用強度條件公式（8─17）驗算構件是否滿足強度要求。2．設計截面若已知構件所承擔的載荷及材料的許用應力，可把上面的強度條件公式改寫成（右式）由此即可確定構件所需的橫截面面積。3．確定許可載荷若已知構件的尺寸和材料的許用應力,根據強度條件

由此就可以確定構件所能承擔的最大軸力。根據構件的最大軸力又可以確定工程結構的許可荷載。下面舉例說明例8-7原木直桿的大、小頭直徑及所受軸心荷載如圖所示，B截面是桿件的中點截面。材料的許用拉應力[

t]

=6.5MPa，許用壓應力[

c]

=10MPa。試對該桿作強度校核。解：（1）根據直桿受力情況求得FN圖如圖所示。（2）可判斷A右鄰截面和B右鄰截面是危險截面；危險截面上的任一點是危險點。（3）截面幾何參數（4）計算危險點應力，并作強度校核A右鄰截面上：B右鄰截面上：所以構件危險（可能破壞）。8.5軸向拉壓時的強度條件與強度計算例8-8如圖所示，磚柱柱頂受軸心荷載F作用。已知磚柱橫截面面積A=0.3m2，自重G=40kN，材料許用壓應力[

c]

=1.05MPa。試按強度條件確定柱頂的容許荷載[F]。解:(1)根據磚柱受力情況，求得FN圖，如圖所示。(2)判斷柱底截面是危險截面：其上任一點都是危險點。8.5軸向拉壓時的強度條件與強度計算（3）根據強度條件計算8.5軸向拉壓時的強度條件與強度計算例8-9如圖所示，桁架的AB桿擬用直徑d=25mm的圓鋼，AC桿擬用木材。已知鋼材的[

]

=170MPa，木材的[

c]

=10MPa。試校核AB桿的強度，并確定AC桿的橫截面積。解：（1）取節點A求內力，得

FNAB=60kN

FNAC=－52kN（2）校核AB桿的強度。（3）確定AC桿所需的橫截面積例8-10如圖所示，槽鋼截面桿，兩端受軸心荷載F=330kN作用，桿上需鉆三個直徑d=17mm的通孔，材料的許用應力[

]

=170MPa。試確定所需槽鋼的型號。

解:(1)求工作內力FN=330kN(2)判斷危險截面:在開兩孔處截面，該處由于受到的削弱最多，其上任一點是危險點。(3)根據強度條件計算所需截面面積:查得槽鋼[14b的毛面積Am=2.131×10-3m2，腰厚d=8mm，得凈面積：

Aj=（2.131×10-3

—2×0.008×0.017）m2=1.859×10-3m2實際工作應力實際工程中，為了不致于改用高一號的型鋼造成浪費，允許工作應力大于許用應力，但不超過5%，所以這里選用槽鋼[14b，是符合工程要求的。8.5軸向拉壓時的強度條件與強度計算從以上討論看出，安全系數（許用應力）的選定，涉及正確處理安全與經濟之間的關系。因為從安全的角度考慮，應加大安全系數，降低許用應力，這就難免要增加材料的消耗，出現浪費；相反，如從經濟的角度考慮，勢必要減小安全系數，使許用應力值變高，這樣可少用材料，但有損于安全。所以應合理地權衡安全與經濟兩個方面的要求，而不應片面地強調某一方面的需要。確定安全系數，一般考慮以下因素：1）材料的材質，包括材料組成的均勻程度，質地好壞，是塑性材料還是脆性材料等。2）荷載情況，包括對荷載的估計是否準確，是靜載荷還是動載荷等。3）實際構件簡化過程和計算方法的精確程度。4）構件在工程中的重要性，工作條件，損壞后造成后果的嚴重程度，維修的難易程度等。5）對減輕結構自重和提高結構機動性要求。上述這些因素都影響安全系數的確定。例如材料的均勻程度較差，分析方法的精度不高，荷載估計粗糙等都有是偏于不安全的因素，這時就要適當地增加安全系數的數值，以補償這些不利因素的影響。又如某些工程結構對減輕自重的要求高，材料質地好，而且不要求長期使用。這時就不妨適當地提高許用應力的數值?？梢娫诖_定安全系數時，要綜合考慮到多方面的因素，對具體情況作具體分析。隨著原材料質量的日益提高，制造工藝和設計方法的不斷改進，對客觀世界認識的不斷深化，安全系數的確定必將日益趨向于合理。許用應力和安全系數的具體數據，有關業務部門有一些規范可供參考。在靜載的情況下，對塑性材料可取nS=1.2～2.5。由于脆性材料均勻性較差，且破壞是突然發生，有更大的危險性，所以取nb=2～3.5

，甚至取到3～9。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力8.2軸向拉壓時橫截面上的應力8.2軸向拉壓時橫截面上的應力【引言】上節已經詳細討論了軸向拉壓時的內力及內力圖，本節來討論構件的應力。根據內力計算構件橫截面上各點處的應力，是為對構件作強度計算作準備。上節討論的內力，是構件橫截面上的內力，并未涉及到橫截面的形狀和尺寸。而只根據軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強度。例如用同一材料制成粗細不同的兩根桿，在相同的拉力下，兩桿的軸力自然是相同的。但當拉力逐漸增大時，細桿必定先被拉斷。這說明拉桿的強度不僅與軸力的大小有關，而且與橫截面面積有關。所以要引入橫截面上的應力的概念，來度量拉壓桿件的受力程度。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力一、截面上一點處的應力的概念如圖所示受力物體，其橫截面mm，截開后取隔離體，在截面上某點處取微小面積△A，△A上微內力的合力為△FR。內力△FR在面積△A上的平均集度(即比值)為8.2軸向拉壓時橫截面上的應力當內力△FR在面積△A上均勻分布時，平均應力即稱為該截面上該點處的應力；而當內力△FR在面積△A上非均勻分布時，則取△A趨于0時的(△FR

/△A)極限值，即

f稱為該截面上該點處的應力?！咀ⅰ窟^構件上的某一點可以切出橫截面和許多不同方向的斜截面,對這些不同方向的截面來說,該點處的應力值是不同的。因此,說到一點處的應力,應該指明是對哪個方向的截面而言。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力上述的應力f，也稱為該截面上該點處的總應力。為了便于計算，總是把它分解為兩個分量，如圖所示。垂直于截面的分量

，稱為正應力，可分為拉應力和壓應力，其正負規定與軸力FN相同，即規定拉應力為正，壓應力為負；平行于截面的分量

，稱為剪應力（或稱切應力），其正負規定以剪應力相對于隔離體順時針轉為正，反之為負。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力應力是矢量。應力的量綱是，其基本單位是N/m2或Pa（帕斯卡），工程上常用MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其換算關系為8.2軸向拉壓時橫截面上的應力二、軸向拉壓桿時橫截面上的正應力在拉（壓）桿的橫截面上，與軸力FN對應的應力是正應力

。我們研究的材料是連續的，由于橫截面上到處都存在著內力，若以A表示橫截面的面積，則各微面積dA上的內力元素

dA組成一個垂直于橫面的平行力系，其合力就是軸力FN。根據靜力平衡關系，可得由于還不知道

在橫截面上的分布規律，所以單一由上式并不能確立FN與

之間的關系。這就必須從觀察、分析桿件的變形入手，從幾何、靜力平衡等方面進行研究，以確定應力的分布規律。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力如圖所示的軸向受拉桿，需要研究橫截面上的應力分布規律，先進行實驗觀察。為了便于通過實驗觀察軸向受拉桿所發生的變形現象，受力前在桿件表面均勻地畫上若干與桿軸線平行的縱線及與軸線垂直的橫線，使桿表面形成許多大小相同的方格，其中的縱線代表縱向纖維，橫線代表橫截面。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力在桿的兩端施加一對軸向拉力F，可以觀察到，受拉力作用以后，所有的縱線都伸長了，但是仍保持為直線并且仍互相平行；所有的橫線仍保持為直線，且仍垂直于桿軸，只是相對距離增大了，小方格變成長方格。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力根據上面觀察得到的現象，提出如下的假設：（1）縱向纖維假設：假設桿件內部，是由無窮根縱向纖維組成，每一根纖維都只受到軸向拉伸或壓縮，在纖維之間互相沒有擠壓即無橫向受力。模擬想象生活中見到過的物品：光纜，包裝成包的龍須面。8.2軸向拉壓時橫截面上的應力（2）平截面假設：因為每一根橫線,都代表橫截面,這些橫線在變形后仍保持為直線,仍垂直于桿軸,只是相對距離增大了。所,以我們假設變形前原來為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。這就是著名的平截面假設（或稱為平面假設）。由這一假設可以推斷,軸向受拉桿所有縱向纖維的伸長相等。由于我們研究的材料是均勻的,各縱向纖維的性質相同,因而其受力也就一樣。所以桿件橫截面上的