第8章廣義線性模型1精品ppt·實用借鑒第一頁，共六十六頁。回歸分析中假定隨機擾動服從這樣的一些正態分布：其方差取常值，而均值則為附屬數據的線性函數．很多精算問題可以利用特殊的廣義線性模型來處理，如方差分析，泊松回歸以及Logistic對數（logit）與概率（Probit）模型等的幾類。

2精品ppt·實用借鑒第二頁，共六十六頁。精算數據與模型實踐中采集的數據往往顯示方差要大于均值．用于描述索賠額的分布通常具有厚重的右尾．有待建模的現象極少關于附屬數據是可加的,一般往往可用乘法模型．3精品ppt·實用借鑒第三頁，共六十六頁。廣義線性模型它允許偏離均值的隨機誤差服從不是正態分布。如，隨機誤差可服從指數散布族中的任一種分布，包含了泊松分布、（負）二項分布、伽瑪分布與逆高斯分布等.并不要求隨機變量的均值是解釋變量的線性函數。但進行某些變換后它仍是是線性的．譬如，當對數時，我們可以用乘法模型替代了加法模型．

4精品ppt·實用借鑒第四頁，共六十六頁。廣義線性模型具有以下三個特征：5精品ppt·實用借鑒第五頁，共六十六頁。伽瑪隨機變量逆高斯隨機變量

上面所列的分布的均值。6精品ppt·實用借鑒第六頁，共六十六頁。

7精品ppt·實用借鑒第七頁，共六十六頁。注8.2.1（典則聯結）注8.2.2（方差函數）以下依方差函數中的冪次的升冪序，分別表述之：8精品ppt·實用借鑒第八頁，共六十六頁。9精品ppt·實用借鑒第九頁，共六十六頁。§8.3若干傳統的估計方法與廣義線性模型10精品ppt·實用借鑒第十頁，共六十六頁。不妨先假定11精品ppt·實用借鑒第十一頁，共六十六頁。12精品ppt·實用借鑒第十二頁，共六十六頁。13精品ppt·實用借鑒第十三頁，共六十六頁。逐項置換法14精品ppt·實用借鑒第十四頁，共六十六頁。15精品ppt·實用借鑒第十五頁，共六十六頁。首先可將（8.4）中的第一組方程改寫為16精品ppt·實用借鑒第十六頁，共六十六頁。因此17精品ppt·實用借鑒第十七頁，共六十六頁。方法8.3.8（邊緣總和法）在一個“良好”的收費系統內，對于一個擁有眾多被保險人的組合來說，保費總額相等于觀測到的損失總額.18精品ppt·實用借鑒第十八頁，共六十六頁。19精品ppt·實用借鑒第十九頁，共六十六頁。20精品ppt·實用借鑒第二十頁，共六十六頁。若將下述關系式代入上式：21精品ppt·實用借鑒第二十一頁，共六十六頁。方法8.3.10（最小二乘法＝關于正態的極大似然法）22精品ppt·實用借鑒第二十二頁，共六十六頁。23精品ppt·實用借鑒第二十三頁，共六十六頁。24精品ppt·實用借鑒第二十四頁，共六十六頁。25精品ppt·實用借鑒第二十五頁，共六十六頁。§8.4偏差與比例偏差26精品ppt·實用借鑒第二十六頁，共六十六頁。27精品ppt·實用借鑒第二十七頁，共六十六頁。顯然，對全模型而言，借助逐項最大化（8.20）即知，對每一皆有如以表示偏差便得這表明，對正態分布而言，最小化偏差（或等價地最大化似然函數）是和確定參數的最小二乘法等效的．28精品ppt·實用借鑒第二十八頁，共六十六頁。29精品ppt·實用借鑒第二十九頁，共六十六頁。此時，對全模型仍可得這是因為30精品ppt·實用借鑒第三十頁，共六十六頁。不難驗證，此例中的偏差由下式給出：自然，上式中必須取正值31精品ppt·實用借鑒第三十一頁，共六十六頁。32精品ppt·實用借鑒第三十二頁，共六十六頁。指數散布族定義8.6.1（指數散布族）指數散布族密度具有以下形式§8.6廣義線性模型33精品ppt·實用借鑒第三十三頁，共六十六頁。34精品ppt·實用借鑒第三十四頁，共六十六頁。35精品ppt·實用借鑒第三十五頁，共六十六頁。例8.6.2（指數散布族的若干成員）下述參數族是指數散布族中最重要的一些成員：36精品ppt·實用借鑒第三十六頁，共六十六頁。37精品ppt·實用借鑒第三十七頁，共六十六頁。最后一種參數化稱為是自然或典則參數化

.38精品ppt·實用借鑒第三十八頁，共六十六頁。39精品ppt·實用借鑒第三十九頁，共六十六頁。40精品ppt·實用借鑒第四十頁，共六十六頁。41精品ppt·實用借鑒第四十一頁，共六十六頁。42精品ppt·實用借鑒第四十二頁，共六十六頁。43精品ppt·實用借鑒第四十三頁，共六十六頁。44精品ppt·實用借鑒第四十四頁，共六十六頁。45精品ppt·實用借鑒第四十五頁，共六十六頁。46精品ppt·實用借鑒第四十六頁，共六十六頁。證明:由(8.33),我們有47精品ppt·實用借鑒第四十七頁，共六十六頁。48精品ppt·實用借鑒第四十八頁，共六十六頁。其中：這恰和通常的泊松分布的密度表達式是一致的。49精品ppt·實用借鑒第四十九頁，共六十六頁。50精品ppt·實用借鑒第五十頁，共六十六頁。51精品ppt·實用借鑒第五十一頁，共六十六頁。52精品ppt·實用借鑒第五十二頁，共六十六頁。53精品ppt·實用借鑒第五十三頁，共六十六頁。推論8.6.9（指數散布族與Esscher變換）一個連續密度的以h

為參數的Esscher變換是下述密度54精品ppt·實用借鑒第五十四頁，共六十六頁。顯然，它仍是一個具有參數和相同的指數散布族成員的累積量數．55精品ppt·實用借鑒第五十五頁，共六十六頁。

注8.6.10（指數散布族中特定子類的生成）不難驗證，以h

任況為參數的Esscher變換完成下述分布間的轉換：56精品ppt·實用借鑒第五十六頁，共六十六頁。PPT內容概述第8章廣義線性模型。第8章廣義線性模型。精品ppt·實用借鑒。回歸分析中假定隨機擾動服從這樣的一些正態分布：其方差取常值，而均值則為附屬數據的線性函數．。很多精算問題可以利用特殊的廣義線性模型來處理，如方差分析，泊松回歸以及Logistic對數（logit）與概率（Probit）模型等的幾類。用于描述索賠額的分布通常具有厚重的右尾．。有待建模的現象極少關于附屬數據是可加的,一般往往可用乘法模型．。如，隨機誤差可服從指數散布族中的任一種分布，包含了泊松分布、（負）二項分布、伽瑪分布與逆高斯分布等.。并不要求隨機變量的均值是解釋變量的線性函數。但進行某些變換后它仍是是線性的．譬如，當對數時，我們可以用乘法模型替代了加法模型．。上面所列的分布的均值。以下依方差函數中的冪次的升冪序，分別表述之：。在一個“良好”的收費系統內，對于一個擁有眾多被保險人的組合來說，保費總額相等于觀測到的損失總額.第五十七頁，共六十六頁。58精品ppt·實用借鑒第五十八頁，共六十六頁。59精品ppt·實用借鑒第五十九頁，共六十六頁。60精品ppt·實用借鑒第六十頁，共六十六