第18講泰勒展開解密放縮法和高考命題方法為何高考中總是考和這些超越函數呢?因為高考命題專家很多是大學老師,他們俯視高中數學,一覽無遺.超越函數本質上就是高等數學中的泰勒公式,即從某個點處,我們可以構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值.如果這個點是0,就是形式比較簡單的麥克勞林公式.簡而言之,它的功能就是把超越式近似表示為冪函數.這也是放縮法的理論依據,也是出題老師的出題角度,后面將在泰勒展開中專門講解如何命題,大家可先理解放縮法.泰勒展開公式及其應用一、泰勒展開公式設函數在點處的某鄰域內具有階導數,則對該鄰域內異于的任意點,在與之間至少存在一點,使得 余項,上式稱為階泰勒公式.若,則泰勒公式稱為麥克勞林公式,其中為階無窮小,相當于余項,即.二、常用的初等函數的麥克勞林公式(1)(2)(3)(4)(5)【例1】按的三展開多項式.思路:直接展開法,求按的?展開的階泰勒公式,則依次求直到階的導數在處的值,然后代入公式即可.【解析】【例2】求函數的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林展開式.【解析】解法一:,,將以上結果代入麥克勞林公式得 法二:中含有時,通常利用已知結論. 【例3】求函數按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式.【解析】解法一:直接展開. 將以上結果代入泰勒公式得.法二:為對數函數時利用已知的結論.,然后變形可得利用泰勒公式證明無參不等式泰勒展開證明無參不等式的一般步?驟:第一步:構造函數,并按泰勒公式展開函數,即如果函數在定義域上有定義,且有階導數存在,,則,其中介于和間第二步:判定余項的正負號,并去掉余項,得不等式.在上述泰勒公式中,若余項,則去掉余項可得若,則去掉余項可得【例1】當時,.【解析】解法一:令,則當時,單調遞增,從而,即,結論成立.法二:由泰勒公式得從而得,結論成立.【例2】設,證明:.【解析】證明法一:設1),,則在上單調遞減,∴,即有1).法二:由泰勒展開可得則,結論成立.【例3】證明:【解析】證明：設,則在處有帶有拉格朗日余項。三階泰勒公式【例4】證明不等式:.【解析】證明：設,則,代入的二階泰勒公式,有泰勒探究放縮法本質經過對泰勒證明不等式的學習,應該體會到了泰勒公式的強大.我們在放縮法那一節的所有不等式都是在泰勒展開的基礎上變形而來的,所以泰勒公式才是放縮法的核心，為什么這么說呢?泰勒展開式的本質上是將一個復雜的函數近似表示為一個多項式函數,是一種函數逼近的思想,也就是我們所說的放縮,下面我將用一個例子來探討這一近似逼近的思想,以及相關不等式的變形.【例】比較和的大小.【解析】令,按泰勒展開有.去掉余項可以得到不等式:.下面利用一般方法證明該不等式.證明:(1)設,,則在上單調遞減.當時取等號.(2)設,則在上單調遞減,∴,即有,當時取等號.綜上所述,有不等式:,當時取等號.上述常用對數不等式描述的函數位置關系如下圖所示.同理,我們可以從指數函數的麥克勞林展開人手,通過去余項變形的方式得到我們常用的不等式:對于函數在處的展開式如下:.(1)從此式出發,可以變形演繹出一些十分重要的不等式.(1)式等號右邊取兩項,則有.(2)(2)式兩邊取自然對數得.(3)(2)式中用替換得(4)式兩邊取自然對數得(5)式中用替換得.結合(3)式和(6)式得.(7)對(1)式等號右邊分別取三項、四項,則有上述不等式(2)到(9)式,當且僅當時取等號.讀者可以翻到前面關于“放縮法”的章節,試試看利用泰勒展開得到其他常用的不等式.利用泰勒放縮證明含參不等式在不等式恒成立中,我們通過泰勒展開放縮來大大簡化計算,但前面也說過,泰勒展開放縮是一種近似計算,所求的范圍只能是必要性范圍,一般來說,會比直接求解的范圍要大,所以需要進一步用常規方法驗證,但這里也可以簡化了討論的范圍,方便計算,一般也可以得到最終的范圍.【例1】已知函數,證明:當時,.【解析】解法一:去參放縮法當時,.構造函數,則，當時,.當時,是的最小值點.故當時,.因此,當時,.法二:泰勒展開法由法一知,證明即可.由泰勒公式的變形可得.用代替可得.(1)對兩邊取自然對數,可得,用代替,可得,即由(1)(2)可得,故因此,當時,.【例2】設函數,若當時,求的取值范圍.【解析】,由指數不等式,當且僅當時,等號成立.得,從從而當,即時,,而,于是當時,.由可得從而當時,1),故當時,,而,當時,0,不合題意.綜合得的取值范圍為.【例3】設函數.其中是的導函數,若恒成立,求實數的取值范圍.【解析】第一步:泰勒展開放縮得必要性范圍.恒成立,應用不等式,有,對上式進行放縮,利用求的取值范圍.當時,上式化簡為,此時.(2)當時,上式化簡為,即,則有.第二步:常規討論驗證略.綜上所述,有的取值范圍是.【例4】已知函數,若時,求的最小值.【解析】第一步:泰勒展開