高二人教A版《數學》必修5系列教案：1.1.2余弦定理

1.2余弦定理（教學設計）

教學目標

1.知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法,并會運用余弦

定理解決兩類基本的解三角形問題.

2.過程與方法：利用向量的數量積推出余弦定理及其推論,并通過實踐演算掌握運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題，

3.情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力;通過三角函數、

余弦定理、向量的數量積等知識間的關系,來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一.

教學重、難點

重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用；

難點：勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用.

學法

學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化,也就是研究如何從己

知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題,利用向量的數量積比較容易

地證明了余弦定理.從而利用余弦定理的第二種形式由己知三角形的三邊確定三角形的角

教學過程：

一、創設情景

如圖1.1-4,在AABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求邊c

（圖1.1-4）

二、新課講解:

聯系已經學過的知識和方法,可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求,發現因A、B均未知，所以較難求邊c.

由于涉及邊長問題,從而可以考慮用向量來研究這個問題.A

如圖1.1-5,設09=a,01=3,M=c,那么c=a-瓦則be

用=二=上通⑹上二/

=aa+bb-2abCaB

=a+邛_介%

從而c2=a2+ZT2-2abcosC（圖1.1-5）

同理可證a2=Z72+c2-2bccosA

if=+c2-2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾

角的余弦的積的兩倍.即a2=/724-c2-26ccoS/4

d2=a2+c2-2accos^

d=廿+&一2abcosC

思考：這個式子中有幾個量?從方程的角度看已知其中三個量,可以求出第四個量,能否由三

邊求出一角？

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（由學生推出）從余弦定理,又可得到以下推論:

b2+c2-a2

cosA=

2bc

。2+。2一/

cosB=

2ac

b2+a2-c2

cosC=

2ba

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系,余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若△ABC中，C=90°,則cosC=0,這時c2=a2+b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

例題選講：

例1.在AABC中，已知°=2Q，c=^+VL8=60°,求b及A

⑴解：b2=a2+c2-2accosB

=（2百），（&+偽2_2,20.（述+偽cos45°

=12+（遙+&）2-46（G+l）

=8

:.b=2叵.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

h2+c2-a［_（2應）2+（迷+應）2一（2百）［_1

⑵解法一：VcosA=

2hc2x2V2x（V6+V2）2'

：.A=60°.

解?去二：Vsin/l=￡sinB=^^,sin45°,

又?:V6+V2>2.4+1.4=3.8,

2道<2x1.8=3.6,

二aV。，即0°<NV90°,

J=60°.

評述：解法二應注意確定A的取值范圍.

變式訓練1：（tb4800601）在AABC中，若b=4,c=6,A=60°,求a的值.

（答：2A/7）

2

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例2（課本P7例4）在AABC中,已知a=134.&ra,6=87&m,c=161.7c"z,解三角形

解：由余弦定理的推論得：

222

A=b+c-a

cos2bc

222

=87.8+161.7-134.6

2x87.8x161.7

合0.5543,

4才56°20';

。2+。2一/

cos5=2ca

222

=134.6+161.7-87.8

=~2x134.6x161.7

=0.8398,

8~32°53';

C=180°-(4+80°一(56°20'+32°53')

=90°47.

變式訓練2：在AABC中，若孑="+/+比，求角A

（答案：A=120°）

例3：在△力6。中，Aos/I=acos6試判斷三角形的形狀

解法一：利用余弦定理將角化為邊.

b2+c2-a2a2+c2-b2

*/bcosA=acosB,b?----------=a-----------

2bclac

.?.^+/—/=/+/一^,.?./=〃，，a=8,故此三角形是等腰三角形

解法二：利用正弦定理將邊轉化為角.???Aos/=acos8

又6=2RsinB,<3=27?sin4,；.2Asin及os4=2Hsin4cos6

sin/cos8—cos/sin8=0sin(/一而=0

'：Q<A,B<n,,：.A~B=Q即4=6

故此三角形是等腰三角形.

變式訓練3：在△ABC中，已知a=7,。=5,C=3,判斷AABC的類型.

解：.">52+32,即片,+/—上卡<。，角A為鈍角.

所以MBC是鈍角三角形.

3

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三、課堂小結

（D余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應用范圍：①.已知三邊求三角;②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

四、課時必記：

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾

角的余弦的積的兩倍.即孑="+c2-2dccos/=孑+c2-2accos6

c2=a2+/j2-2adcosC

Z>2+c2_q2b2+a2-c2

cosJ=cosB=cosC=

2bc2ac-國―

五、分層作業:

A組：

1、.在△46。中，若岸＞％d,則a'為;若4=加+/,則△/8C為

；若且"V/+M且c2V/+優則△/回為.

（答：鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形）

2、（為4800603）在4人8。中，已知：（a+b+c）（a+b-c）=3ab,則角C=

（答:60°）

3、(tb0146901)在AABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.

(答：最大角為：A=1200,sinC=')

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4、（tbO146902）在AABC中，B=30。,AB=2面積S=7J,求AC的長.

（答：先求得BC=2,再求得AC=2）

B組：

A

1、在中，已知sin8?sinC=cos2—，試判斷此三角形的類型.

2

解：:sinmsin^cos2—,；?sin8?sint"=+C0S

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/.2sin5*sint>=l+cos[180°—(8+0]

將cos(8+0=cos&os。一sin夕sin。代入上式得

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cos氏osC+sin咫in￡1,cos(8—0=1

又Q<B,C<￡,：.一五<B—C<費：.B-C=0：.B=C

故此三角形是等腰三角形.

2、(坨0146903)在八八8(：中，_^上1=/,試判斷這個三角形的形狀.