一元函數的導數及其應用一、選擇題1．已知函數的圖象在點處的切線過點，則()A.-1 B.-2 C.1 D.2答案：C解析：由題意得，，則函數的圖象在點處的切線方程為.因為函數的圖象在點處的切線過點，所以，解得，故選C.2．函數在區間上有最大值，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：D解析：3．函數的圖象在處的切線方程是，則()A.B.1C.2D.0答案：C解析：由題意可知，將代入切線方程，得，所以.4．已知是函數的導函數,且對于任意實數x都有,,則不等式的解集為()A. B.C. D.答案：C解析：令,①則,,,即,,②由①②知,,,又,,即,,不等式,即不等式的解集為,故選：C.5．設函數，a，b均為正整數，若的極小值點為2，則的極大值點為().A.1 B.3 C.1或3 D.不確定答案：B解析：對求導得，令，得，則該方程必有一根為2，代入，有，解得，則.因為2是的極小值點，且，所以為方程的較小根，從而，故.又a為正整數，所以.故的極大值點為3.6．已知函數，在區間上任取三個數，均存在以為邊長的三角形，則k的取值范圍是()A.B.C.D.答案：D解析：7．已知偶函數的定義域為，其導函數為，當時，有成立，則關于x的不等式的解集為()A. B.C. D.答案：B解析：8．已知函數，若函數有三個不同的零點，且的取值范圍為()A． B． C． D．答案：C解析：二、多項選擇題9．函數的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確的有()A.的最小正周期T為B.向右平移個單位后得到的新函數是偶函數C.若方程在上共有4個根,則這4個根的和為D.圖象上的動點M到直線的距離最小時,M的橫坐標為.答案：ACD解析：因為經過點,所以,又在的單調遞減區間內,所以,①,又因為經過點,所以,,又是在時最小的解,所以,②.聯立①②,可得,解得,代入①,可得,又,所以,則.故的最小正周期,則A正確;向右平移個單位后得到的新函數是,則為奇函數,故B錯誤;設在上的4個根從大到小依次為,,,令,則,根據的對稱性,可得,則由的周期性可得,所以,故C正確;作與直線平行的直線,使其與有公共點,則在運動的過程中,只有當直線與,相切時,直線與直線l存在最小距離,也是點M到直線的最小距離,令,則,解得,或,又,所以或或（舍去）,又,令,,,則由,可得到直線l的距離大于到直線l的距離,所以M到直線的距離最小時,M的橫坐標為,故D正確.故選：ACD.10．已知函數在R上可導且，其導函數滿足，對于函數，下列結論正確的是()A.函數在上為單調遞增函數B.是函數的極小值點C.函數至多有兩個零點D.時，不等式恒成立答案：ABC解析：因為，所以當時，；當時，.因為，所以，則當時，；當時，.所以函數在上為單調遞增函數，在上為單調遞減函數，則是函數的極小值點，則選項A，B均正確.當時，函數至多有兩個零點，當時，函數有一個零點，當時，函數無零點，所以選項C正確.，又在區間上單調遞減，所以當時，，又，所以，故選項D錯誤.故選ABC.11．已知函數,則()A.在區間上單調遞增 B.是偶函數C.的最小值為1 D.方程無解答案：BC解析：因為,所以,所以為偶函數,B正確;令,當時,函數與均為減函數,所以在區間上單調遞減,A錯誤;由偶函數對稱性可知,在區間上單調遞增,所以,C正確;令,所以,由零點存在定理可知方程有解,D錯誤.三、填空題12．曲線在處的切線與直線平行，則_______.答案：解析：，，故，，則.13．若函數在上存在單調遞減區間，則m的取值范圍是________.答案：解析：，則，函數在區間上存在減區間，只需在區間上有解，即在區間上有解，又，則，所以在區間上有解，所以，，令，，則，令，則在區間恒成立，所以在上單調遞減，所以，即，所以.14．若定義在R上的函數滿足，，則不等式的解集為__________________.答案：解析：構造函數，則，函數滿足，，故在R上單調遞增.又，，不等式，即，由在R上單調遞增，可知.四、解答題15．已知函數,.（1）討論的單調性;（2）若,證明：答案：（1）,在單調遞增;,在單調遞減,在單調遞增（2）解析：（1）的定義域若,,在單調遞增;若,,,單調遞減,,,單調遞增綜上：,在單調遞增;,在單調遞減,在單調遞增（2）,,設,在單調遞減,,16．設函數(1)討論的單調性；(2)求在區間的最大值和最小值.答案：（1）函數在上單調遞增；在上單調遞減（2）在區間上的最大值為，最小值為解析：（1）函數的定義域為，又.令，解得或；令，解得.所以函數在上單調遞增；在上單調遞減；（2）由（1）可得：函數在區間內單調遞減，在內單調遞增.所以當時，函數取得最小值，又，，而，所以當時，函數取得最大值為：.即在區間上的最大值為，最小值為.17．已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若恒成立，求實數m的取值范圍.答案：（1）（2）解析：（1）因為，所以，當時，，，故，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由（1）得，因為，所以由，得，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，因為恒成立，所以，解得，所以實數m的取值范圍為.18．已知函數.（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，，則.答案：（1）；（2）證明見解析解析：（1）由題意知函數的定義域為.

由，

可得函數在上單調遞減，在上單調遞增.

所以.

又，所以，解得，

所以a的取值范圍為.（2）解法一：不妨設，則由（1）知，.

令，

則.

令，

則，

所以當時，，

所以當時，，所以當時，，

所以在上單調遞增，所以，

即在上.

又，所以，即.

由（1）可知，函數在上單調遞增，

所以，即.解法二（同構構造函數化解等式）不妨設，則由（1）知，.

由，得，

即.

因為函數在R上單調遞增，所以成立.

構造函數，，

則，

所以函數在上單調遞增，

所以當時，，即當時，，

所以，

又，

所以在上單調遞減，

所以，即.19．已知函數(其中e為自然對數的底數,).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)若,方程有兩個不同的實數根,求證：.答案：(1)(2)見解析解析：(1)當時,,則,因此,故曲線在點處的切線方程為.(2)由題意知方程有兩個不同的實數根.對于函數,令,解得,令,解得,則函數在區間上單