挑戰2023年中考數學解答題壓軸真題匯編專題02銳角三角函數壓軸真題訓練一．解直角三角形的應用-方向角問題1．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點C在點A的正東方向，AC＝200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．（1）求步道DE的長度（精確到個位）；（2）點D處有直飲水，小紅從A出發沿人行步道去取水，可以經過點B到達點D，也可以經過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）過D作DF⊥AE于F，如圖：由已知可得四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵點D在點E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵點B在點A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴經過點B到達點D路程為AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴經過點E到達點D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴經過點B到達點D較近．2．（2022?資陽）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進100米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D在同一平面內）（1）求點D與點A的距離；（2）求隧道AB的長度．（結果保留根號）【解答】解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：點D與點A的距離為300米．（2）過點D作DE⊥AB于點E，∵AB是東西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的長為米．3．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調整航向，沿著北偏東30°方向繼續航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結果精確到0.1海里．參考數據：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【解答】解：過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．二．解直角三角形的應用-仰角俯角問題4．（2022?遂寧）數學興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角∠GAE＝50.2°，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i＝5：12，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂到地面的高度EF約為多少米．（參考數據：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）【解答】解：如圖，延長EF交AG于點H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點P，則四邊形BFHP是矩形，∴FB＝PH，FH＝PB，由i＝5：12，可以假設BP＝5x，AP＝12x，∵PB2+PA2＝AB2，∴（5x）2+（12x）2＝262，∴x＝2或﹣2（舍去），∴PB＝FH＝10，AP＝24，設EF＝a米，BF＝b米，∵tan∠EBF＝，∴≈2，∴a≈2b①，∵tan∠EAH＝＝＝，∴≈1.2②，由①②得a≈47，b≈23.5，答：塔頂到地面的高度EF約為47米．5．（2022?內蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．（結果精確到0.1m，參考數據：≈1.732）【解答】解：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經檢驗：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．6．（2022?阜新）如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα＝．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為60°，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A，B，C，D在同一平面內）．（1）求C，D兩點的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結果精確到1m，參考數據：≈1.7）【解答】解：（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D兩點的高度差為9m．（2）過點D作DF⊥AB于F，由題意可得BF＝DE，DF＝BE，設AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，經檢驗，是原方程的解且符合題意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民樓的高度AB約為24m．7．（2022?襄陽）位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內革命戰爭時期為襄陽的解放事業獻身的革命烈士而興建的，某校數學興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度．無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結果保留整數．參考數據：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）【解答】解：由題意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度約為28m．8．（2022?鞍山）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚航天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即GF＝8m）．小亮同學想知道條幅的底端F到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學樓條幅方向前行12m到達點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），請你幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度．（結果精確到0.1m．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：設AC與GE相交于點H，由題意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，設CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH?tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，經檢驗：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題9．（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數據：≈1.41，≈1.73．結果精確到0.1m）【解答】解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度為i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度為i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6米．10．（2022?徐州）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【解答】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，則DF＝CD＝90（cm），CF＝CD?cos∠DCF＝180×＝90（cm），由題意得：＝，即＝，解得：EF＝135，∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，則＝，解得：AB＝170+60，答：立柱AB的高度為（170+60）cm．四．解直角三角形的應用（共2小題）11．（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結果保留整數，參考數據：≈1.41，≈1.73）【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高約為78m．12．（2022?六盤水）“五一”節期間，許多露營愛好者在我市郊區露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點E處，使得A，D，E在一條直線上，通過調節點E的高度可控制“天幕”的開合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴時打開“天幕”，若∠α＝65°，求遮陽寬度CD（結果精確到0.1m）；（2）下雨時收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點E下降的高度（結果精確到0.1m）．（參考數據：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【解答】解：（1）由對稱知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD