第8練函數模型及其應用

學校姓名班級

一、單選題

1.下列函數中，隨著X（X>1）的增大，函數值的增長速度最快的是（）

A.y=81gxB.y=fC.）,=近D,y=9x8'

8

【答案】D

【詳解】

當x>l時，指數函數增長最快，幕函數其次，對數函數最慢，故函數>=9x8,的增長速度

最快.

故選：D.

2.聲強級厶（單位：dB）與聲強/的函數關系式為：厶=101g（尚），若女高音的聲強級

是75dB,普通女性的聲強級為45dB,則女高音聲強是普通女性聲強的（）

A.10倍B.100倍C.1000倍D.10000倍

【答案】C

【詳解】

設女高音聲強為普通女性聲強為厶，貝！HOlg（鳥）=75,所以鳥=10人①,

1。電（磊）=45,所以鳥=1產②,則①.②得：^=1000,故女高音聲強是普通女性

聲強的1000倍.

故選：C

3.新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某醫院在成為新冠肺

炎核酸檢測定點醫院并開展檢測工作的第"天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成

-y=,n<N

7n0

平均耗時t（77）（單位：小時）大致服從的關系為“〃）=.?,即為常

—r=,n>N。

眄

數）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時,第64天（加和第81天檢測過程平均耗

時均為8小時;那么可得到第36天檢測過程平均耗時大致為（）

A.12小時B.11小時C.10小時D.9小時

【答案】B

【詳解】

由第64天和第81天檢測過程平均耗時均為8小時知，16<N°,

所以2=16,得=64,

Vlo

640,

又由71=8得No=64,

6464

所以當〃=36時，，(36)=7茄=7211,

故選:B.

4.藥物在體內的轉運及轉化形成了藥物的體內過程，從而產生了藥物在不同器官、組織、

體液間的濃度隨時間變化的動態過程，根據這種動態變化過程建立兩者之間的函數關系，

可以定量反映藥物在體內的動態變化，為臨床制定和調整給藥方案提供理論依據.經研究

表明，大部分注射藥物的血藥濃度CQ)(單位：〃g/ml)隨時間t(單位：h)的變化規律

可近似表示為C(r)=G,-eY',其中C0表示第一次靜脈注射后人體內的初始血藥濃度，發表示

該藥物在人體內的消除速率常數.已知某麻醉藥的消除速率常數4=0.5(單位：h-'),某

患者第一次靜脈注射該麻醉藥后即進人麻醉狀態，測得其血藥濃度為4.5〃g/ml,當患者清

醒時測得其血藥濃度為0.9〃g/ml,則該患者的麻醉時間約為(ln5?1.609)

()

A.3.5hB.3.2hC.2.2hD.0.8h

【答案】B

【詳解】

由題意得，0.9=4.5產，即

則0.5r=ln5,解得f=21n5=3.2.

故選：B

5.2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的中國空間站，安全

返回地球中國征服太空的關鍵是火箭技術，在理想情況下，火箭在發動機工作期間獲得速

度增量的公式△丫;匕也為，其中△「為火箭的速度增量，匕為噴流相對于火箭的速度，

人和叫分別代表發動機開啟和關閉時火箭的質量，在未來，假設人類設計的某火箭匕達

到5公里/秒也，從100提高到600,則速度增量厶丫增加的百分比約為()

叫

(參考數據：In2ao.7,ln3?l.l,ln5?1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【詳解】

由題意,當馬=100時,速度的增量為N=5111100；

班

當&二200時，速度的增量為02=51n600=51nl00+51n6,

,v2-v,_51nl00+51n6-51nl00_In6_In2+ln3

HJT===u/o

Av,5In100In1002(ln2+ln5)

故選：D.

6.2021年11月24日，貴陽市修文縣發生了4.6級地震，所幸的是沒有人員傷亡和較大

財產損失，在抗震分析中，某結構工程師提出：由于實測地震記錄的缺乏，且考慮到強震

記錄數量的有限性和地震動的不可重復性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統

0<Z?。

計特征的非平穩地震波時程，其中地震動時程強度包絡函數/⑺=<

%<t?t2,

)，2<厶，'d

44(單位：秒)分別為控制強震平穩段的首末時刻；。(單位：秒)表示地震動總持時;

c是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次抗震分析中，地震動總持時是20秒，控制

強震平穩段的首末時刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,則當f=15秒時，地震動時

程強度包絡函數值是()

A.e'1B.1C.9D.e-2

【答案】A

【詳解】

由題可知4=5,厶=10,1=20,c=0.2,

...當10<Y20時，

...當f=15秒時，地震動時程強度包絡函數值是/(15)=忌==

ee

故選:A.

7.中國是全球最大的光伏制造和應用國，平準化度電成本(LCOE)也稱度電成本，是一項

用于分析各種發電技術成本的主要指標，其中光伏發電系統與儲能設備的等年值系數，CRF

對計算度電成本具有重要影響.等年值系數/CRF和設備壽命周期N具有如下函數關系

0.05(1+

，CRF=/'、N，r為折現率，壽命周期為10年的設備的等年值系數約為0.13,則對于

(1+r)-1

壽命周期約為20年的光伏-儲能微電網系統，其等年值系數約為()

A.0.03B.0.05C.0.07D.0.08

【答案】D

【詳解】

0.05(l+r)'..io13

由己知可得/=0/3,解得(1+)°=?,

(1+r)-16

2

0.05(1+r)°169

當N=20時,則,CRF-*0.08.

2100

故選：D.

8.醫學上用基于W流行病傳播模型測算基本傳染數凡（也叫基本再生數）來衡量傳染

2

性的強弱，基本傳染數可表示為4=1+ATK+p（l-p）（/l7；,）.計算基本傳染數Ro需要確定

的參數有：（1）參數4：r（陽）,即需要知道第一例病例發生的時間（確定起點以

t

便計算力，以及之后某一時刻的累計病例數丫（/）,時間力的單位為天數；（2）參數兀和

P-.只要確定了潛伏期獴和傳染期77,乙和型傳染性病例，到2022年3月28日累

計/1=10,。=。6,根據上面的公式計算這41天/型傳染性基本傳染數凡約為（注：

參考數據：ln425?41x0.15）（）

【答案】D

【詳解】

lnr41

由￥（41）=425,/L=（（））=ln425g（）15;

4141

代入至的計算公式可以得至1+0.15*10+0.6x（1-0.6）x（0.15x10）2=3.04.

故選：D.

9.盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家經過研究，已經對地震有所了解，例如,

地震時釋放的能量￡（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為1g項/,則下列說法正

確的是（）

A.地震釋放的能量為10焦耳時，地震里氏震級約為七級

C.八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍

D.記地震里氏震級為"（爐1,2,???,9,10）,地震釋放的能量為a〃，則數列｛a〃｝是

等比數列

【答案】ACD

【詳解】

對于A：當E=10”3時,由題意得lgl(y53=48+i.5M,

解得M=7,即地震里氏震級約為七級，故A正確；

對于B：八級地震即M=8時，1g￡,=4.8+1.5x8=16.8,解得互=10儂，

F1016-8

所以

E10心

所以八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的1。2倍，故B錯誤；

對于C：六級地震即M=6時，lg4=4.8+1.5x6=13.8,解得七二母相，

p1016.8

所以苴=詁産=1。』皿，

即八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1OOO倍，故c正確；

對于D：由題意得lgq,=4.8+1.5〃(/7=1,2,???,9,10),

所以=1()48+15",所以％M=1048+PE=103.5"

n1r\6.3+1.5n

所以贅'=嬴'=1°”，即數列①〃｝是等比數列，故D正確；

故選：ACD

10.某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，

注射后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間的關系近似滿足如圖所示的

曲線.據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

c.注射該藥物:

O

31

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5三時

【答案】AD

【詳解】

4?(0?r<l)

由函數圖象可知y=舊(E八，

當，=1時，y=4,即(g)~=4,解得a=3,

4(0,,t<1)

，y=、，故A正確，

H"訓

藥物剛好起效的時間，當4r=0.125,即七盤，

藥物剛好失效的時間(^r3=0.125,解得f=6,

131

故藥物有效時長為6-==5.小時，

藥物的有效時間不到6個小時，故8錯誤，。正確：

注射該藥物1小時后每毫升血液含藥量為4x：=0.5微克，故C錯誤，

OO

故選：AD.

11.某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付

費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分

按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結論正確的是

()

A.出租車行駛2km,乘客需付費8元

B.出租車行駛4km

C.出租車行駛10km

D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費用之和超過他乘出租車行駛10km一次的費用

【答案】CD

【詳解】

對于A：出租車行駛2km,乘客需付起步價8元和燃油附加費1元，共9元，故A錯誤;

對于B：出租車行駛4km,乘客需付費8+2.15+1=11.15元，故B錯誤：

對于C出租車行駛10km,乘客需付費8+2.15x5+2.85x2+1=25.45元，故C正確;

對于D：某人兩次乘出租車均行駛5km的費用之和為2x(8+2.15x2+1)=266元，

一次行駛10km的費用為25.45元，26.6>25.45,故D正確.

故選：CD

12.如圖，某池塘里浮萍的面積N(單位：m2)與時間r(單位：月)的關系為》=“'，

關于下列說法正確的是(

A.浮萍每月的增長率為2

B.浮萍每月增加的面積都相等

C.第4個月時，浮萍面積超過80n?

D.若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所經過的時間分別是小小厶，則況=廿4

【答案】ACD

【詳解】

由圖可知，過。,3）,所以a=3,y=3'，

對A,由y=3'為指數函數，為爆炸式增長，

每月增長率為二h=2,

3'

故每月增長率為2,故A正確；

對B,第一個月為3m2,第二個月為9m2,第三個月為27m）

浮萍每月增加的面積不相等，

4

對C,r=4,j=3=81m\故C正確；

對D,=log32,t2=log,4,Z3=log,8,

所以2f2=2k>g34,=log,2+log,8=log,16=2log,4,

所以2r2=6+匕，故D正確，

故選：ACD

13.某地在20年間經濟高質量增長，削的值P（單位，億元）與時間/（單位：年）之

間的關系為P（r）=4（l+10%）',其中庶為r=0時的p4=2,那么在r=io時，物增長的

速度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：11°=2.59,當X

取很小的正數時，ln（l+x）?x

【詳解】

由題可知尸（/）=2（1+10%）'=2x1.1',

所以產（t）=2xl.門nl.l,

所以〃（10）=2x11°In1.1?2x2.59x0.1=0.518~0.52,

即以y增長的速度大約是0.52.

故答案為:0.52.

14.交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成，紅燈表示禁止通行，綠燈表示準許通行，黃燈

表示警示，黃燈設置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關.經過安全數據統計，

駕駛員反應距離，（單位：m）關于車速「（單位：m/s）的函數模型為岳=0.7584上剎車

距離邑（單位：m）關于車速y（單位：nVs）的函數模型為邑=0-。72聲，反應距離與剎車

距離之和稱為停車距離，在某個十字路口標示小汽車最大限速v=50km/h（約14m/s）,路

口寬度為30m,如果只考慮小車通行安全，黃燈亮的時間是允許最大限速的車輛離停車線

距離小于停車距離的汽車通過十字路口，那么信號燈的黃燈至少要亮s（保留

兩位有效數字）.

【答案】3.9

【詳解】

解：依題意當小汽車最大限速v=50km/h（約14nVs）時，

反應距離*=0.7584x14=10.6176m,剎車距離邑=0.072x142=14.112m,

所以停車距離為10.6176+14.112=24.7296m,

又路口寬度為30m,所以s=24.7296+30=54.7296m,

所以時間f=±c=迎547竺296=3.9s；

v14

故答案為：3.9

15.如圖，某荷塘里浮萍的面積y（單位：n?）與時間t（單位：月）滿足關系式：

y=a'ln?（a為常數），記y=/（r）（/NO）.給出下列四個結論：

①設an=/6)(〃eN"),貝囈歹I」｛q｝是等比數列；

②存在唯一的實數2?1,2),使得/(2)-/(1)=/'&)成立，其中廣⑺是/⑺的導函數；

③常數aw(l,2)；

④記浮萍蔓延到2m2,3m2,6m?所經過的時間分別為％,%3貝此+厶>厶.

其中所有正確結論的序號是______.

【答案】①②④

【詳解】

解：依題意/?)="lna,因為/(O)=a°lna<l,所以0<。<已且。工1,

又〃3)=/lna=6,所以lna>0,所以leave,即aw(l,e),

令/?(a)=/[na,aw(l,e),貝”/2'(a)=3a21na+a2>0,

則/7(a)="ina在a?l,e)上單調遞增，又力(2)=23出2<6,所以a?2,e),故③錯誤；

由已知可得4,=/(〃)=a"Ina,則a,用=/(〃+l)=a"+’Ina,0t=f(l)=alna,

所以網1:噌等=a,所以｛4｝是以Mna為首項，”為公比的等比數列，故①正確；

anaIna

2

令/(1)="lna,則:⑺=d(lna『，/(2)=tz\naff[\)=a\na,

令g(%)=。"(Ina)?-/]na+aln。,則g｛))=a"(lna)\tQ￡(1,2),

因為ac(2,e),所以《(幻="。?/>o,即g&)=d。(Ina)?-/lna+〃lna,在^￡(1,2)

上單調遞增，

因為。?2,e),所以lna-a<0,ln?-l<0,a\na>0f

令夕(a)=lna-a+l,?G(2,e),則“(〃)=丄-1=^―-<0,所以0(a)=lna-a+l,在

〃￡(2,e)上單調遞減，

PI.^(2)=In2-2+1=In2-1<0,即夕(〃)=1。。一。+1<0,

令"(a)=alna-a+l,tze(2,e),則/T(a)=In4>0,所以//(a)=aln〃一a+l在aw(2,e)

上單調遞增，

X//(2)=21n2-2+l=21n2-l>0,所以“(Q)=aInQ—Q+1>0,

所以g⑴=a(ln。)--a2\na+a\na=a\n