《數學建模——從自然走向理性之路》教案課題6.2數學建模——從自然走向理性之路單元第六單元學科數學年級高一教學目標與核心素養1.數學抽象：利用具體事件理解數學建模的過程；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養學生的邏輯思維能力.3.數學建模：掌握數學建模的相關知識，為數學建模的學習打好基礎的同時，也能學習利用數學建模解決實際問題。4.直觀想象：了解數學建模案例的過程；5.數學運算:能夠正確計算數學建模；6.數據分析:通過經歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。重點難點重點：問題描述；模型假設；模型建立；模型求解；模型分析與檢驗；推廣應用。難點：問題描述；模型假設；模型建立；模型求解；模型分析與檢驗；推廣應用。教學過程教學環節教師活動新課導入情境導入：16世紀，意大利物理學家伽利略通過對自由落體運動的研究，得出自由落體云動的路程模型。自由落體運動方程是自然科學史上一項偉大的成果，該運動方程的得到是數學建模方法的經典之作。下面我們以自由落體運動方程為例，說明數學建模的過程。新知探究新知探究（一）：問題描述位于高處的物體，如果失去了支撐就會下落，這是每個人都知道的自然現象。戰國時期的景子以及古希臘哲人亞里士多德就對該現象產生的原因進行過論述，不過古代的人們并不清楚這種現象是力作用的結果，因而普遍認為，導致物體下落的原因是物體的質量。新知探究（二）：模型假設伽利略通過反復觀察發現：物體下落的速度隨下落的時間而均勻增加，且速度與時間成正比例關系，即v∝t。他注意到，在有介質的空間，物體下落速度必然與物體的形狀以及物體的質量有關。因此只能在理想條件下構建物體下落的模型，為此，必須假定在物體下落的過程中空氣阻力可以忽略不計。在此假設的前提下，物體下落的速度與物體的形狀以及物體的質量無關。新知探究（三）：模型建立基于上述假設，如果物體自由下落的時間相同，物體自由下落的高度h只與運動時間t以及加速度g有關，此時，h是關于t與g的函數h=f(t,g)新知探究（四）：模型求解根據伽利略關于速度與時間成正比例關系，即v∝t的假設，若物體下落1s時的速度為gm/s,則下落2s時的速度為2gm/s,..下落ts時的速度為tgm/s。伽利略當年利用物體下落ts路程的平均速度v=gt2乘以時間(根據路程=速度×時間)?=vt=上述模型的結果是正確的，但是，它是在取起點與終點的平均速度的情況下得到的，方法欠直觀，同時結論也僅對勻加速運動成立(恰好自由落體運動為勾加速運動)。下面我們對上述路程模型給出一個直觀的近似證明。我們從v∝t的假設出發，簡要說明上述模型的正確性。由假設v∝t,即自由落體運動為勻加速運動，v-t圖象為圖中傾斜的直線。將圖所示的自由落體運動經歷的時間t等分，得到一系列相同的時間間隔△t。由于△t很小時，物體速度變化很小，該時間間隔內運動可以看成勻速。因此，根據伽利略的假設，物體每經過一個時間間隔△t后，在接下來的時間間隔△t內，物體下降速度會增加，增加的值近似等于g△t,它對應于圖中小矩形的面積，物體在時間t內總的下落高度近似等于所有矩形面積之和。當時間間隔△t趨于0時，圖中階梯形矩形面積就等于傾斜直線、t軸以及時間t對應直線所圍成的三角形面積，即12新知探究（五）：模型分析與檢驗伽利略做了一系列的實驗來檢驗模型的正確性，他的實驗是在斜面上進行的。伽利略通過大量的實驗驗證了這樣一個事實：同樣的高度、同樣的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的時間之比等于垂直長度和斜面長度之比。這個事實說明：可以利用斜面進行自由落體的實驗。于是伽利略用一塊足夠長的木板，在中間鑿出一條光滑溝槽，讓光滑的黃銅球沿著溝槽滾下，如圖所示。他實驗了不同的傾斜角度，又實驗了不同長度的木板，先后一百多次的實驗結果均顯示，黃銅球下落的距離與下落時間的平方之比近似為一個正常數，進而驗證了模型的正確性。新知探究（六）：應用推廣伽利略用斜面實驗驗證了模型的正確性后，將斜面實驗的結果推廣到與水平面垂直的情況：隨著斜面傾斜角度逐漸增加到90°，小球的加速度不斷變大，小球逐步過渡到自由落體運動，如圖。至此，他成功地驗證了原先的猜想，得到了自由落體運動的規律。根據自由落體運動方程建立過程，我們可以用下圖所示的框圖來表示數學建模的基本過程。數學建模作為連接數學與實際問題的橋梁，建立既符合實際，又能夠利用觀有方法求解的合理數學模型就成為解決實際問題的關鍵步驟之一。需要說明的是，數學模型與我們通常所說的數學問題是不同的，一般的數學問題要