第頁一元二次方程單元知識復習及總結一,引例瑞士的列昂納德．歐拉（1707～1783），既是一位宏大的數學家，也是一位教子有方的父親，他曾親自編過很多數學趣題用以啟發孩子們思索。如下題：“父親臨終時立下遺囑，要按下列方式安排遺產：老大分得100克朗及剩下的；老二分得200克朗及剩下的；老三分得300克朗及剩下的；……；以此類推分給其他的孩子，最終發覺，遺產全部分完后全部孩子分得的遺產相等；遺產總數,孩子人數及每個孩子分得的遺產各是多少？”毛這道題須要列方程求解。解析設孩子數為x人，則最終一個孩子分得遺產為100x克朗,老大分得遺產[100+(100x2-100)]克朗，得方程100+(100x2-100)=100x.同學們，你會解此方程嗎？整理方程得x2-109=0.(9)(1)=0,∴x1=92=1(舍去).遺產總數是8100克朗；有９個孩子，每個孩子分得的遺產是900克朗。點評：二,一元二次方程的解法運用因式分解法時，首先應將右邊各項移到方程的左邊，使方程右邊為０；然后再將方程左邊的式子分解因式，使原方程化為兩個一元一次方程，常借助于提公因式法,公式法,十字相乘法等來分解因式。例１：用適當的方法解下列一元二次方程:(1)(21)2-9=0;(2)x21=0;(3)x2-41;(4)3x2-165=0;(5)(32)2=4(3)2;(6)(1)2=2y(1);(7)3a2x22b2=0(a≠0)(8)x2+2()().解析(1)兩邊開平方，得21=3或213,∴x1=221;(2)已知：111.∴x12=;(3)整理原方程，得x2-41=0,∴(2)2=5.∴x1=2+,x2=2-.(4)原方程可化為(31)(5)=0,∴x12=5;(5)兩邊開平方,得32=2(3)或322(3),∴x18,x2=.(6)原方程可化為(1)(31)=0,∴y1=1,y2=.(7)原方程可化為()()=0,∴x12=.(8)原方程可化為()()=0,∴x1,x2.點評此題主要考慮怎樣選擇一元二次方程的解法，使運算達到最簡便。(1)由原方程得(21)2=9,明顯適合用直接開平方法，當然也可用因式分解法；(2)由△＝５不是完全平方數，不適合用因式分解法，因一次項系數不是偶數，也不適用配方法，本題適用公式法；(3)因二次項系數為１，一次項系數為偶數故本題適用配方法；(4)本題適用因式分解法（記住符號的選擇）；(5)本題可用因式分解法，也可用直接開平方法；(6)把(1)看作一個整體，用因式分解法比較合適；(7)留意到3=()2,即可用因式分解法；(8)因二次項系數為１，一次項系數為２的倍數，故適用配方法；因字母系數較簡單，也可用因式分解法。例２：解方程x4+(4)4=626.解析設即2,則原方程可化為(2)4+(2)4=626,化簡,得y4+24y2-297=0,則(y2-9)(y2+33)=0,∴y2-9=0.則y1=323,∴x1=521.點評:此方程是一個高次方程,若綻開(4)4不但解決不了問題,還使方程變得更無規律可循了,故此處可用“平均值換元法”.例3：解方程2x4+3x3-16x2+32=0.解析視察原方程可知x≠0,所以方程兩邊可同除以x2,得2x2+3160,∴2(x2+)+3()-16=0配方,得2()2+3()-20=0設,則2y2+320=0,∴(25)(4)=0.∴y124.由EMBEDEquation.DSMT4解得x1=22=;由4,解得x3242-.∴原方程的解為x1=22=,x3242-.點評:若對于一個方程(未知數為x),以代替x方程不變,則稱為倒數方程,本題即是倒數方程,其系數特點是:及首末兩項等距離的兩項系數相等且x≠0,由此,可在方程兩邊同除以x2,然后配方成關于()的一元二次方程,再利用換元法來解.例4：九年義務教化三年制初級中學教科書《代數》第三冊第52頁的例2是:解方程x4-6x2+5=0.這是一個一元四次方程,依據該方程的特點,它的通常解法是:設x2,那么x42,于是原方程可變為y2-65=0.①解這個方程,得y1=12=5.當1時2=1±1;當5時2=5±.故原方程有四個根.x1=12134。(1)填空:在由原方程得到方程①的過程中,利用法達到降次的目的,體現了的數學思想;(2)解方程(x2)2-4(x2)-12=0.解析(1)換元,轉化;(2)設x2,原方程變為y2-412=0,∴y1=622.當6時26=0,解得x1=322;當2時22=0,∵△<0,∴此方程無實根.∴原方程的根為x1=322.點評：高次方程一般可通過換元的方法轉化為低次方程,較困難的一元二次方程可通過整體代換的方法轉化為較簡單的一元二次方程(如本例2),這是一種重要的數學思想.例5：當m為何值時,關于x的方程無實根解析原方程可化為,去分母,整理,得x220,①(1)把增根0代入①,得2,把增根1代入①,得2;(2)令△=(-1)2=4(2)<0,得m<,綜上所述,當m<或2時,原方程無實根.點評:分式方程轉變成一元二次方程時,根的范圍擴大了,所以解分式方程時必需驗根.若使分式方程無解,則有兩種狀況:①一元二次方程的解使分母為0;②一元二次方程無解,即△<0.例6：若關于x的方程只有一個解,試求k的值及方程的解.解析原方程化簡,得2-321=0.當0時,原方程有唯一解;當k≠0時,方程①的判別式△=(32)2+45k2+4(1)2>0.∴方程①總有2個不同的實數根,按題設原方程只有1個解,因此必有一根是原方程的增根,從原方程知道,增根只可能是使x20即0或1.明顯,0不是①的根,故1是方程①的根,代入①得,由根及系數的關系得原方程的根為2,∴當0時,方程的解為2;當時,方程的解為2.點評:本題首先想到化為整式方程,這個整式方程是含參系數的二次方程形式,應探討,將分式方程化為整式方程時,常會出現增根,本題考點就在于此.例7：設關于x的二次方程(k2-68)x2+(2k2-64)2=4的兩根都是整數,求滿意條件的全部實數k的值.解析原方程可化為(4)(2)x2+(2k2-64)(2)(2)=0,[(4)(2)][(2)(2)]=0.∵(4)(2)≠0∴x11-,x2=.∴42=,消去k,得x1·x2+3x1+2=0.∴x1(x2+3)2.由于x12都是整數.即;;.∴6,3,.經檢驗6,3,滿意題意.點評本題方程整理成關于x的一元二次方程的一般形式后,二次項系數不為0是隱含的條件,應考慮.將參數k用方程兩根表示并最終消去參數k是解題的關鍵.練習卷1.解方程169x2-392=0.2.解關于x的方程3x2-2(2b)22=0.3.解方程(2)4+(4)4=272.4.解方程2x4+3x32+32=0.6.解方程.7.當方程(m2+1)x2-(1)3=0的一個根為1,則m的值為多少8.當時,求的值.9.已知a是方程x20的根,求的根.10.已知方程(19)(97)有實根r1及r2,試求方程(1)(2)的最小實根.11.已知兩個二次方程x2020有一個公共根1,求證:二次方程x20也有一個根為1.12.[x]表示不超過實數x的最大整數,令{x}[x].(1)找出一個實數x,使{x}1;(2)證明:滿意上述等式的x都不是有理數.13.已知方程組求.A卷答案:112=.212.提示:原方程可變形為3x2-42=22,(2)2=()2∴2±(),即有x12.34.提示:去分母整理得a22=0,求得當時,;當時,.5.5由已知a2,則6.19∵r1,r2是一元二次方程(19)(97)的兩個根,∴(19)(97)(1)(2)=0,則(1)(2)(19)(97)可見,19,97為方程(1)(2)0的兩根,19為所求.B卷答案:1.略2.0,2提示:令1,原方程變為(3)4+(3)4=272,即得±1.故x1=02=2.3.方程兩邊除以x2得2(x2+)+3()-1=0令,則有2y2+35=0,∴y12=1.求得x122=.4.(1)設為整數,0≤a<1為整數,0≤b<1,則1,從而=()+()1,即滿意(1)的x必使為整數;反之,若為整數,則1,即(1)成立.令,(k為整數)則x21=0,故,②當│k│=2時±1,不合題意.當│k│≥3時是滿意題設條件的全體實數,如取3,則.(2)下面證明形如②的數不是有理數,這只需證k2-4不是完全平方數,設k2-42