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文檔簡介
2024屆江蘇省揚州市大豐區(qū)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊的長是方程x2﹣6x+8=0的一個根,則這個三角形的周長是()A.9 B.11 C.13 D.11或132.在剛剛結(jié)束的中考英語聽力、口語測試中,某班口語成績情況如圖所示,則下列說法正確的是()A.中位數(shù)是9 B.眾數(shù)為16 C.平均分為7.78 D.方差為23.關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則A.m≤94B.m<944.二次函數(shù)(a、b、c是常數(shù),且a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論錯誤的是()A.4ac<b2 B.a(chǎn)bc<0 C.b+c>3a D.a(chǎn)<b5.如圖,已知AB∥CD,∠1=115°,∠2=65°,則∠C等于()A.40° B.45° C.50° D.60°6.如圖,∠AOB=45°,OC是∠AOB的角平分線,PM⊥OB,垂足為點M,PN∥OB,PN與OA相交于點N,那么的值等于()A. B. C. D.7.如圖,點E是矩形ABCD的邊AD的中點,且BE⊥AC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AF=CF B.∠DCF=∠DFCC.圖中與△AEF相似的三角形共有5個 D.tan∠CAD=8.下列計算正確的是()A.﹣2x﹣2y3?2x3y=﹣4x﹣6y3 B.(﹣2a2)3=﹣6a6C.(2a+1)(2a﹣1)=2a2﹣1 D.35x3y2÷5x2y=7xy9.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為()A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5 C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+310.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的形狀可能是()A.B.C.D.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如圖,是由一些小立方塊所搭幾何體的三種視圖,若在所搭幾何體的基礎(chǔ)上(不改變原幾何體中小立方塊的位置),繼續(xù)添加相同的小立方塊,以搭成一個大正方體,至少還需要________個小立方塊.12.如圖,正方形ABCD中,AB=2,將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF,連接BF,則圖中陰影部分的面積是_____.13.每一層三角形的個數(shù)與層數(shù)的關(guān)系如圖所示,則第2019層的三角形個數(shù)為_____.14.如圖,將直線y=x向下平移b個單位長度后得到直線l,l與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象相交于點A,與x軸相交于點B,則OA2﹣OB2的值為_____.15.不等式組的解集是_____________.16.已知點P是線段AB的黃金分割點,PA>PB,AB=4cm,則PA=____cm.17.用一條長60cm的繩子圍成一個面積為216的矩形.設(shè)矩形的一邊長為xcm,則可列方程為______.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)已知點P,Q為平面直角坐標(biāo)系xOy中不重合的兩點,以點P為圓心且經(jīng)過點Q作⊙P,則稱點Q為⊙P的“關(guān)聯(lián)點”,⊙P為點Q的“關(guān)聯(lián)圓”.(1)已知⊙O的半徑為1,在點E(1,1),F(xiàn)(﹣,),M(0,-1)中,⊙O的“關(guān)聯(lián)點”為______;(2)若點P(2,0),點Q(3,n),⊙Q為點P的“關(guān)聯(lián)圓”,且⊙Q的半徑為,求n的值;(3)已知點D(0,2),點H(m,2),⊙D是點H的“關(guān)聯(lián)圓”,直線y=﹣x+4與x軸,y軸分別交于點A,B.若線段AB上存在⊙D的“關(guān)聯(lián)點”,求m的取值范圍.19.(5分)如圖,AB是⊙O的直徑,點C是AB延長線上的點,CD與⊙O相切于點D,連結(jié)BD、AD.(1)求證;∠BDC=∠A.(2)若∠C=45°,⊙O的半徑為1,直接寫出AC的長.20.(8分)某商品的進價為每件50元.當(dāng)售價為每件70元時,每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價處理,且經(jīng)市場調(diào)查:每降價1元,每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下,解答下列問題:(1)若設(shè)每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)降價多少元時,每星期的利潤最大?最大利潤是多少?21.(10分)已知關(guān)于的一元二次方程(為實數(shù)且).求證:此方程總有兩個實數(shù)根;如果此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求正整數(shù)的值.22.(10分)P是⊙O內(nèi)一點,過點P作⊙O的任意一條弦AB,我們把PA?PB的值稱為點P關(guān)于⊙O的“冪值”(1)⊙O的半徑為6,OP=1.①如圖1,若點P恰為弦AB的中點,則點P關(guān)于⊙O的“冪值”為_____;②判斷當(dāng)弦AB的位置改變時,點P關(guān)于⊙O的“冪值”是否為定值,若是定值,證明你的結(jié)論;若不是定值,求點P關(guān)于⊙0的“冪值”的取值范圍;(2)若⊙O的半徑為r,OP=d,請參考(1)的思路,用含r、d的式子表示點P關(guān)于⊙O的“冪值”或“冪值”的取值范圍_____;(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C(1,0),⊙C的半徑為3,若在直線y=x+b上存在點P,使得點P關(guān)于⊙C的“冪值”為6,請直接寫出b的取值范圍_____.23.(12分)計算:sin30°﹣+(π﹣4)0+|﹣|.24.(14分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點E,作ED⊥EB交AB于點D,⊙O是△BED的外接圓.求證:AC是⊙O的切線;已知⊙O的半徑為2.5,BE=4,求BC,AD的長.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】試題分析:先求出方程x2-6x+8=0的解,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可.解方程x2-6x+8=0得x=2或x=4當(dāng)x=2時,三邊長為2、3、6,而2+3<6,此時無法構(gòu)成三角形當(dāng)x=4時,三邊長為4、3、6,此時可以構(gòu)成三角形,周長=4+3+6=13故選C.考點:解一元二次方程,三角形的三邊關(guān)系點評:解題的關(guān)鍵是熟記三角形的三邊關(guān)系:任兩邊之和大于第三邊,任兩邊之差小于第三邊.2、A【解析】
根據(jù)中位數(shù),眾數(shù),平均數(shù),方差等知識即可判斷;【詳解】觀察圖象可知,共有50個學(xué)生,從低到高排列后,中位數(shù)是25位與26位的平均數(shù),即為1.故選A.【點睛】本題考查中位數(shù),眾數(shù),平均數(shù),方差的定義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考常考題型.3、B【解析】試題分析:根據(jù)題意得△=32﹣4m>0,解得m<94故選B.考點:根的判別式.點睛:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式△=b2-4ac.當(dāng)△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實數(shù)根.4、D【解析】
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可求出答案.【詳解】由圖象可知:△>0,∴b2﹣4ac>0,∴b2>4ac,故A正確;∵拋物線開口向上,∴a<0,∵拋物線與y軸的負(fù)半軸,∴c<0,∵拋物線對稱軸為x=<0,∴b<0,∴abc<0,故B正確;∵當(dāng)x=1時,y=a+b+c>0,∵4a<0,∴a+b+c>4a,∴b+c>3a,故C正確;∵當(dāng)x=﹣1時,y=a﹣b+c>0,∴a﹣b+c>c,∴a﹣b>0,∴a>b,故D錯誤;故選D.考點:本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系,以及二次函數(shù)與方程、不等式之間的轉(zhuǎn)換,根的判別式的熟練運用.5、C【解析】分析:根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠C的度數(shù).詳解:∵AB∥CD,∴∵∴故選C.點睛:考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì),三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.6、B【解析】
過點P作PE⊥OA于點E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PE=PM,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠POM=∠OPN,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠PNE=∠AOB,再根據(jù)直角三角形解答.【詳解】如圖,過點P作PE⊥OA于點E,∵OP是∠AOB的平分線,∴PE=PM,∵PN∥OB,∴∠POM=∠OPN,∴∠PNE=∠PON+∠OPN=∠PON+∠POM=∠AOB=45°,∴=.故選:B.【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】
由又AD∥BC,所以故A正確,不符合題意;過D作DM∥BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論,故B正確,不符合題意;
根據(jù)相似三角形的判定即可求解,故C正確,不符合題意;
由△BAE∽△ADC,得到CD與AD的大小關(guān)系,根據(jù)正切函數(shù)可求tan∠CAD的值,故D錯誤,符合題意.【詳解】A.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴∵∴,故A正確,不符合題意;B.過D作DM∥BE交AC于N,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四邊形BMDE是平行四邊形,∴∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于點F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,∴∠DCF=∠DFC,故B正確,不符合題意;C.圖中與△AEF相似的三角形有△ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5個,故C正確,不符合題意;D.設(shè)AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,有∵tan∠CAD故D錯誤,符合題意.故選:D.【點睛】考查相似三角形的判定,矩形的性質(zhì),解直角三角形,掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】
A.根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則判斷;B.根據(jù)積的乘方法則判斷即可;C.根據(jù)平方差公式計算并判斷;D.根據(jù)同底數(shù)冪除法法則判斷.【詳解】A.-2x-2y32x3y=-4xy4,故本選項錯誤;B.
(?2a2)3=?8a6,故本項錯誤;C.
(2a+1)(2a?1)=4a2?1,故本項錯誤;D.35x3y2÷5x2y=7xy,故本選項正確.故答案選D.【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法法則、積的乘方法則與平方差公式,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握同底數(shù)冪的乘除法法則、積的乘方法則與平方差公式.9、D【解析】
直接利用配方法將原式變形,進而利用平移規(guī)律得出答案.【詳解】y=x2﹣6x+21=(x2﹣12x)+21=[(x﹣6)2﹣16]+21=(x﹣6)2+1,故y=(x﹣6)2+1,向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為:y=(x﹣4)2+1.故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,熟記函數(shù)圖象平移的規(guī)律并正確配方將原式變形是解題關(guān)鍵.10、D【解析】試題分析:由主視圖和左視圖可得此幾何體上面為臺,下面為柱體,由俯視圖為圓環(huán)可得幾何體為.故選D.考點:由三視圖判斷幾何體.視頻二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、54【解析】試題解析:由主視圖可知,搭成的幾何體有三層,且有4列;由左視圖可知,搭成的幾何體共有3行;第一層有7個正方體,第二層有2個正方體,第三層有1個正方體,共有10個正方體,∵搭在這個幾何體的基礎(chǔ)上添加相同大小的小正方體,以搭成一個大正方體,∴搭成的大正方體的共有4×4×4=64個小正方體,∴至少還需要64-10=54個小正方體.【點睛】先由主視圖、左視圖、俯視圖求出原來的幾何體共有10個正方體,再根據(jù)搭成的大正方體的共有4×4×4=64個小正方體,即可得出答案.本題考查了學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力,同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查,關(guān)鍵是求出搭成的大正方體共有多少個小正方體.12、6﹣π【解析】過F作FM⊥BE于M,則∠FME=∠FMB=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,AB=2,
∴∠DCB=90°,DC=BC=AB=2,∠DCB=45°,
由勾股定理得:BD=2,
∵將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF,
∴∠DCE=90°,BF=BD=2,∠FBE=90°-45°=45°,
∴BM=FM=2,ME=2,
∴陰影部分的面積=×2×2+×4×2+-=6-π.
故答案為:6-π.點睛:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解直角三角形,正方形的性質(zhì),扇形的面積計算等知識點,能求出各個部分的面積是解此題的關(guān)鍵.13、2.【解析】
設(shè)第n層有an個三角形(n為正整數(shù)),根據(jù)前幾層三角形個數(shù)的變化,即可得出變化規(guī)律“an=2n﹣2”,再代入n=2029即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)第n層有an個三角形(n為正整數(shù)),∵a2=2,a2=2+2=3,a3=2×2+2=5,a4=2×3+2=7,…,∴an=2(n﹣2)+2=2n﹣2.∴當(dāng)n=2029時,a2029=2×2029﹣2=2.故答案為2.【點睛】本題考查了規(guī)律型:圖形的變化類,根據(jù)圖形中三角形個數(shù)的變化找出變化規(guī)律“an=2n﹣2”是解題的關(guān)鍵.14、1.【解析】解:∵平移后解析式是y=x﹣b,代入y=得:x﹣b=,即x2﹣bx=5,y=x﹣b與x軸交點B的坐標(biāo)是(b,0),設(shè)A的坐標(biāo)是(x,y),∴OA2﹣OB2=x2+y2﹣b2=x2+(x﹣b)2﹣b2=2x2﹣2xb=2(x2﹣xb)=2×5=1,故答案為1.點睛:本題是反比例函數(shù)綜合題,用到的知識點有:一次函數(shù)的平移規(guī)律,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo),利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想,其中利用平移的規(guī)律表示出y=x平移后的解析式是解答本題的關(guān)鍵.15、x<-1【解析】解不等式①得:x<5,解不等式②得:x<-1所以不等式組的解集是x<-1.故答案是:x<-1.16、2-2【解析】
根據(jù)黃金分割點的定義,知AP是較長線段;則AP=AB,代入運算即可.【詳解】解:由于P為線段AB=4的黃金分割點,且AP是較長線段;則AP=4×=cm,故答案為:(2-2)cm.【點睛】此題考查了黃金分割的定義,應(yīng)該識記黃金分割的公式:較短的線段=原線段的,難度一般.17、【解析】
根據(jù)周長表達出矩形的另一邊,再根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程.【詳解】解:由題意可知,矩形的周長為60cm,∴矩形的另一邊為:,∵面積為216,∴故答案為:.【點睛】本題考查了一元二次方程與實際問題,解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)F,M;(1)n=1或﹣1;(3)≤m≤或≤m≤.【解析】
(1)根據(jù)定義,認(rèn)真審題即可解題,(1)在直角三角形PHQ中勾股定理解題即可,(3)當(dāng)⊙D與線段AB相切于點T時,由sin∠OBA=,得DT=DH1=,進而求出m1=即可,②當(dāng)⊙D過點A時,連接AD.由勾股定理得DA==DH1=即可解題.【詳解】解:(1)∵OF=OM=1,∴點F、點M在⊙上,∴F、M是⊙O的“關(guān)聯(lián)點”,故答案為F,M.(1)如圖1,過點Q作QH⊥x軸于H.∵PH=1,QH=n,PQ=.∴由勾股定理得,PH1+QH1=PQ1,即11+n1=()1,解得,n=1或﹣1.(3)由y=﹣x+4,知A(3,0),B(0,4)∴可得AB=5①如圖1(1),當(dāng)⊙D與線段AB相切于點T時,連接DT.則DT⊥AB,∠DTB=90°∵sin∠OBA=,∴可得DT=DH1=,∴m1=,②如圖1(1),當(dāng)⊙D過點A時,連接AD.由勾股定理得DA==DH1=.綜合①②可得:≤m≤或≤m≤.【點睛】本題考查圓的新定義問題,三角函數(shù)和勾股定理的應(yīng)用,難度較大,分類討論,遷移知識理解新定義是解題關(guān)鍵.19、(1)詳見解析;(2)1+【解析】
(1)連接OD,結(jié)合切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角性質(zhì),利用等量代換求解(2)根據(jù)勾股定理先求OC,再求AC.【詳解】(1)證明:連結(jié).如圖,與相切于點D,是的直徑,即(2)解:在中,.【點睛】此題重點考查學(xué)生對圓的認(rèn)識,熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20、(1)0≤x<20;(2)降價2.5元時,最大利潤是6125元【解析】
(1)根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式,由“確保盈利”可得x的取值范圍.
(2)將所得函數(shù)解析式配方成頂點式可得最大值.【詳解】(1)根據(jù)題意得y=(70?x?50)(300+20x)=?20x2+100x+6000,∵70?x?50>0,且x≥0,∴0≤x<20.(2)∵y=?20x2+100x+6000=?20(x?)2+6125,∴當(dāng)x=時,y取得最大值,最大值為6125,答:當(dāng)降價2.5元時,每星期的利潤最大,最大利潤是6125元.【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的應(yīng)用.21、(1)證明見解析;(2)或.【解析】
(1)求出△的值,再判斷出其符號即可;(2)先求出x的值,再由方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),且m是正整數(shù)求出m的值即可.【詳解】(1)依題意,得,,.∵,∴方程總有兩個實數(shù)根.(2)∵,∴,.∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),且是正整數(shù),∴或.∴或.【點睛】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.22、(1)①20;②當(dāng)弦AB的位置改變時,點P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值,證明見解析;(2)點P關(guān)于⊙O的“冪值”為r2﹣d2;(3)﹣3≤b≤.【解析】【詳解】(1)①如圖1所示:連接OA、OB、OP.由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到△PBO為直角三角形,然后依據(jù)勾股定理可求得PB的長,然后依據(jù)冪值的定義求解即可;②過點P作⊙O的弦A′B′⊥OP,連接AA′、BB′.先證明△APA′∽△B′PB,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PA?PB=PA′?PB′從而得出結(jié)論;(2)連接OP、過點P作AB⊥OP,交圓O與A、B兩點.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AP=PB,然后在Rt△APO中,依據(jù)勾股定理可知AP2=OA2-OP2,然后將d、r代入可得到問題的答案;(3)過點C作CP⊥AB,先求得OP的解析式,然后由直線AB和OP的解析式,得到點P的坐標(biāo),然后由題意圓的冪值為6,半徑為1可求得d的值,再結(jié)合兩點間的距離公式可得到關(guān)于b的方程,從而可求得b的極值,據(jù)此即可確定出b的取值范圍.【詳解】(1)①如圖1所示:連接OA、OB、OP,∵OA=OB,P為AB的中點,∴OP⊥AB,∵在△PBO中,由勾股定理得:PB==2,∴PA=PB=2,∴⊙O的“冪值”=2×2=20,故答案為:20;②當(dāng)弦AB的位置改變時,點P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值,證明如下:如圖,AB為⊙O中過點P的任意一條弦,且不與OP垂直,過點P作⊙O的弦A′B′⊥OP,連接AA′、BB′,∵在⊙O中,∠AA′P=∠B′BP,∠APA′=∠BPB′,∴△APA′∽△B′PB,∴,∴PA?PB=PA′?PB′=20,∴當(dāng)弦AB的位置改變時,點P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值;(2)如圖3所示;連接OP、過點P作AB⊥OP,交圓O與A、B兩點,∵AO=OB,PO⊥AB,∴AP=PB,∴
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