數列

1.｛斯｝是首項的=1,公差為d=3的等差數列，如果斯=2005,則序號〃等于（）.

A.667B.668C.669D.670

2.在各項都為正數的等比數列｛詼｝中，首項的=3,前三項和為21,則的+如+。5=（）.

A.33B.72C.84D.189

3.如果/，。2,…，48為各項都大于零的等差數列，公差1片0,則（）.

A.。1。8＞。4。5B.。148＜（14。5C.。1+。8＜。4+。5D.。1。8=。445

4.已知方程（f—2%+根）年—2x+〃）=0的四個根組成一個首項為工的等差數列，則

4

m-nI等于（）.

3-13

A.1B.-C.-D.-

428

5.等比數列｛斯｝中，〃2=9,〃5二=243,則｛斯｝的前4項和為（）.

A.81B.120C.168D.192

6.若數列｛斯｝是等差數列，首項。1＞0,。2003+。2004＞。，。2003?。2004＜0，則使前〃項和S〃＞0成立的最大自然數W

是（）.

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.已知等差數列｛斯｝的公差為2,若41，的，。4成等比數列，則。2=:（）.

A.-4B.-6C.-8D.-10

若幺=9,則顯=（）.

8.設與是等差數列｛an｝的前n項和，

〃39S5

A.1B.-1C.2D.-

2

9.已知數列一1,ai，〃2，—4成等差數列，一1,bi，岳，加，一4成等比數列，則，七幺的值是（

瓦

1-1-1

A.1R-C.——或一D.-

22224

10.在等差數列｛詼｝中，斯#等an-r-a：+斯+i=0（九22）,若S2n-i=38,貝!!n-=（）.

A.38B.20C.10D.9

二、填空題

11.設/⑺=—」，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得/(—5)+/(—4)+-+/(0)+-+/(5)

2,+6

+/(6)的值為.

12.已知等比數列｛詼｝中，

(1)若的?〃4?。5=8,貝U〃2?〃3?。4?〃5?〃6=?

(2)若〃1+〃2=324,〃3+〃4=36,則。5+。6=-

(3)若8=2,S8=6,貝1］。17+〃18+〃19+。20=.

13.在號和2之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為一.

32

14.在等差數列等"｝中,3(的+痣)+2(。7+。1。+。13)=24,則此數列前13項之和為.

15.在等差數列｛斯｝中，的=3,“6=—2,則w+a5H---Faio=.

16.設平面內有w條直線(〃23),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點.若用/(〃)表示這〃

條直線交點的個數，則-4)=；當〃>4時，/(〃)=.

三、解答題

17.(1)已知數列｛”“｝的前〃項和S〃=3〃2—2〃，求證數列｛礪｝成等差數列.

(2)已知_L,1,’成等差數列，求證幺上，*,巴電也成等差數列.

abcabc

18.設｛斯｝是公比為q的等比數列，且0,俏，的成等差數列.

(1)求q的值；

⑵設｛兒｝是以2為首項，q為公差的等差數列，其前〃項和為％,當時，比較S”與b的大小，并說明理由.

F7—I—2

19.數列數〃｝的前〃項和記為已知防=1,an+i=--S〃(〃=L2,3…).

n

求證：數列｛之｝是等比數列.

n

20.已知數列｛.“｝是首項為。且公比不等于1的等比數列，S"為其前〃項和，0，2a7,3a4成等差數列，求證：12$3,

S6,S12-S6成等比數列.

第二章數列

參考答案

一、選擇題

1.C

解析：由題設，代入通項公式即2005=1+3(〃-1),.,?〃=699.

2.C

解析：本題考查等比數列的相關概念，及其有關計算能力.

設等比數列｛an｝的公比為q(q>0),由題意得ai+a2+a3=21,

即(l+q+/)=21,又〃i=3,「?1+夕+/=7.

解得4=2或q=-3(不合題意，舍去)，

.??43+〃4+〃5=〃i/(l+q+/)=3X2?X7=84.

3.B.

解析：由〃1+。8=。4+。5，，排除C.

又?。8=〃1(〃i+7d)=aj+7aid,

.,.4?4,。5=(ai+3d)(oi+4d)=a1I2-]-7a\d+12/>的?as>

4.C

解析：

===22

解法1：設的=工，a2~~\~dja3~~\~2d9a4—+3J,而方程x—2x+機=0中兩根之和為2,x—2x+〃=0中

4444

兩根之和也為2,

.??。1+〃2+〃3+。4=l+6d=4,

11735

：.d=-fai=-f〃4=,是一個方程的兩個根，防=3，俏是另一個方程的兩個根.

24444

,—分別為機或〃，

1616

Im~n\=—,故選C.

2

解法2:設方程的四個根為Xl，%2，x3，X4，且％1+X2=%3+%4=2,為?尬=加，冗3。%4=〃.

由等差數列的性質：若葉s=p+q,則的+出=他+%，若設為為第一項，X2必為第四項，則X2=Z，于是可得等差

Im-fiI=—.

2

5.B

解析：?.?〃2=9,。5=243,&=q3=3^=27,

a29

??q=3,〃iq=9,〃i=3,

6.B

解析：

解法1：由。2003+。2004>0，。2003?〃2004<。，知〃2003和“2004兩項中有一正數一負數，又。1>0,則公差為負數，否

則各項總為正數，故〃2003>〃2004，即"2003>0，〃2004<。.

4。06(%+n006)_4006(4003+4004)、八

22

?C-4007,.X4007.-

??04007----------------,\Cl\十。40077-------------------,004<U，

22

故4006為5?>0的最大自然數.選B.

解法2:由41>0,。2003+。2004>。，。2003。。2004<。，同解法1的分析得42003>0,

。2004<0，

???S2003為S,中的最大值.

是關于n的二次函數，如草圖所示，

：.2003到對稱軸的距離比2004到對稱軸的距離小，xm:2<MMY°

II

.?.土92Z在對稱軸的右側.

（第6題）

2

根據已知條件及圖象的對稱性可得4006在圖象中右側零點3的左側，4007,4008

都在其右側，5“>0的最大自然數是4006.

7.B

解析：丁｛斯｝是等差數列，???。3=。1+4,〃4=〃1+6,

又由。1，的，〃4成等比數列,

，(的+4)2=勾(的+6),解得。1=—8,

,。2=-8+2=-6.

8.A

9(6+佝)

?：S,_2_99_9

解析:—=1,???選A.

S55(4+%)5?%59

2

9.A

解析：設d和夕分別為公差和公比，則一4=—1+3"且一4=(—1)小

d——1,才=2,

.%-4_d_1

2

b2-q2

10.C

解析：??,｛〃〃｝為等差數列，斯-1+斯+i，???。；=2斯,

又斯W0,???斯=2,｛斯｝為常數數列,

而an='“-I,gp2n~1=-=19

2n-\

?"=10.

二、填空題

11.3c.

1

解析：?.V*(x)

2X+V2

]￥

21-X+V22+V2-2xV2+2%

.V(x)+/(1-x)=-7J—+半—=-fi--

J2+2”V2+2X41+lxV2+2X2

設S=/(—5)+/(—4)+…+/(0)+…+/(5)+/(6),

則S=/(6)+/(5)+-+/(0)+…+/(—4)+/(-5),

25=[/(6)+/(—5)[+土5)+/(—4)]+…+#—5)+/(6)]=6后,

:.S=f(—5)+/(-4)+-+/(0)H——F/(5)+/(6)=3叵.

12.(1)32；(2)4；(3)32.

解析：(1)由的“5=。：，得04=2,

??。2°。3°〃4°〃5?。6==32.

4+%=3241

(2)20q=—

(〃i+〃2)q=369

??05+。6=(。1+〃2)/=4.

84=。1+。2+。3+〃4=24

(3)4q=2，

58=。1+。2+…+48=84+84g

???〃i7+ai8+〃i9+〃20=S4gi6=32.

13.216.

解析：本題考查等比數列的性質及計算，由插入三個數后成等比數列，因而中間數必與且同號，由等比中項的

32

中間數為、戶?2=6,?.?插入的三個數之積為§X2X6=216.

V3232

14.26.

解析：:〃3+。5=2〃4，。7+〃13=2。10，

.??6(44+010)=24,。4+。10=4,

,_13(。1+%3)_13(。4+。10)_13X4

..D13-----------------------------------------------------20

222

15.-49.

解析：d=詼一〃5=—5,

，〃4+〃5+…+〃10

_7(〃4+。10)

2

7(%—d+%+5d)

2

=7(%+24)

=-49.

16.5,-(n+1)(n~2).

2

解析：同一平面內兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直線都相交，..?/&)=/(%

-D+U-1).

由/(3)=2,

/(4)=/(3)+3=2+3=5,

/⑸=/(4)+4=2+3+4=9,

f(n)+(n—1),

相加得了(九)=2+3+4H-----F(〃-1)=g(n+1)(H—2).

三、解答題

17.分析：判定給定數列是否為等差數列關鍵看是否滿足從第2項開始每項與其前一項差為常數.

證明：(1)〃=1時，tn=Si=3—2=1,

=2———

當時，anSn—S〃-1=3〃2—2〃一[3(n—1)2(n1)]=6?5,

九=1時，亦滿足，.??。〃=6〃一5(〃CN*).

首項3=1,an—an-\=6n—5—[6(〃-1)—5]=6(常數)(〃€^^*),

?,?數列｛詼｝成等差數列且的=1,公差為6.

(2)工成等差數列，

abc

711

—=—+—化簡得2〃C=Z?(Q+C).

bac

b~\~c+a~\~bbc~\~c2a2abb(a~\~c)~\~a2~\~c2(tz+c)2(^z+c)2_?.a~\~c

acacacac伙a+c)b

2

山，3也成等差數列.

abc

18.解：(1)由題設2。3=的+〃2，即2〃1/=防+〃國，

V:?2/—q-1=0,

C.q=\或-g.

n(n-1)/+3〃

(2)若q=l,貝IJS〃=2AH

22