方程思想在解三角形中的應用方程思想是高中數學重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構造方程來分析數學變量問的等量關系，通過解方程（組），或運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數學問題是高中階段重要的數學能力之一，也是歷年高考的重點。在解三角形的學習中,尤其注重對方程思想的考查,例如方程思想在已知周長、面積等幾何信息解三角形，在已知周長、面積等幾何信息求長度、周長、面積等最值，在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中都有廣泛的重要應用，而本文會重點就方程思想思想在解三角形中的幾類應用展開詳細講解。【應用一】方程思想在已知周長、面積等幾何信息解三角形中的應用我們在學習解三角形時，會遇到已知邊角關系、周長面積關系來解三角形，求出其他對應元素或對應值，此時我們常常借助正余弦定理來綜合解題，在使用正余弦定理解題時，我們經常說：“由正弦定理可得”，得到一個方程，“由余弦定理可得”，再得到一個方程，或者說：“由周長或面積關系”，得到一個方程，而此時我們需要把一個方程或多個方程聯立求解，這就是數學中常見的方程思想，也是解三角形中常見的重要數學思想，接下來我們會分類學習方程思想在解三角形中的應用，首先學習方程思想在已知周長、面積等幾何信息解三角形中的應用，例如下面這道例題：【例1】（2023·遼寧·校聯考模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為、、，已知（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求，.本題是模考或高考中解三角形較常規的題型，解題關鍵突破口在于運用已知條件列式求解，第一問由正弦定理的邊角互化可求得；第二問已知三角形面積為，此時我們利用面積公式來把面積關系表示出來，面積公式有關于三邊高及三個角的，我們該如何選擇求解公式呢？其實題目中已知或求解出哪個角，我們便可以選擇使用關于這個角的面積公式，即，可解到，我們記為方程①；通過觀察發現第二問題干還已知了，結合，這類已知對邊對角且要求解另外兩邊的問題，我們選擇余弦定理求解，即，解得，我們記為方程②，此時聯立方程組便可求解【思維提升】通過本題我們不難發現，對于已知周長、面積等幾何信息解三角形時，我們都可以使用方程思想，列式聯立方程求解即可，通過學習本題達到學習一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究解三角形中其他形式的求值問題【變式1.1】（2023·廣東·高三聯考）在中，，，分別為內角，，的對邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．5【變式1.2】（2023·黑龍江·高三統考）在中，內角、、所對的邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，，求、的值．【變式1.3】（2023·湖北武漢高三模擬預測）設的內角、、的對邊長分別為、、，，.(1)求；(2)若，求的周長.【應用二】方程思想在已知周長、面積等幾何信息求長度、周長、面積等最值中的應用我們在學習解三角形時，經常會遇到關于角度、三角函數值、邊長、周長和面積的最值求解，若能轉換成三角函數，我們可以求出值域從而得到最值范圍，但有些題不能轉換成三角函數或轉換后不易求解，那么此時我們又該怎樣求解最值及范圍呢？其實我們可以借助基本不等式來求解最值，首先補充下基本不等式的相關公式及應用，，當且僅當時取等號，或寫成，當且僅當時取等號；有時我們也會使用到重要不等式，，當且僅當時取等號。其實在使用基本（重要）不等式求解最值時，就是方程思想在數學中的應用，例如下面這道例題：【例2】（2023·全國·高三模擬預測改編）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值為．周長的最大值為．本題是模考或高考中解三角形較常規的題型，解題關鍵突破口在于運用已知條件列式求解得到關于“、或”的表達式，由結合三角形內角和關系及倍角公式可解得，利用余弦定理于是我們得到，即，再結合重要不等式，即解得，進而可求得面積最大值。那么周長的最大值又該如何求解呢？其實要求周長最大值，等價于求解的最大值，我們需要去建立關于“”的式子，由，即，即，，故，進而可求得周長最值【思維提升】通過本題我們不難發現，對于周長及面積類最值，我們都可以使用方程思想，列式得到關于“、或”的表達式，進而通過基本不等式及重要不等式可求解，通過學習本題達到學習一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究解三角形中其他形式的最值問題【變式2.1】（2023·陜西·統考二模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為．【變式2.2】（2023·全國·高三模擬）記的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面積的最大值.【變式2.3】（2023·湖南·高三模擬）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且，．(1)若，求的面積；(2)求周長的最大值．【應用三】方程思想在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中的應用我們在學習解三角形時，經常會遇到有公共邊或互補角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們經常在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過兩個三角形的邊角關系可聯立方程求解，其實這類思想就是數學中的方程思想，例如下面這兩道例題：【例3.1】（2023·江蘇·高三模擬）已知四邊形是由和拼接而成的，且在中，.（1）求角的大小；（2）若，，，，求的長.本題第一問由題干條件和余弦定理解得；第二問中由四邊形ABCD內角和可求得，可設，則，所以，在中和在中分別由正弦定理列方程得①，②，聯立方程即可求解【例3.2】（2023·重慶·高三重慶一中校考）如圖，在中，若，D為邊上一點，，，，則．

本題第由題干條件和正弦定理解得，可設，則，在中和在中分別由余弦定理列方程得①，②，再結合，即（），解方程即可求解【思維提升】通過本題我們不難發現，對于有公共邊或互補角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們可以在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過兩個三角形的邊角關系可聯立方程求解，通過學習本題達到學習一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究解三角形中其他較復雜的雙正余弦問題【變式3.1】（2023·上海·高三模擬預測）如圖，在中，角的對邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長線上一點，且，求.【變式3.2】（2023·全國·模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，點D是邊BC上的一點，且．(1)求證：；(2)若，求．【變式3.3】（2023春·高三模擬）已知的內角的對邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點，若，求的面積.【變式3.4】（2023·湖北武漢·統考一模）在中，，D為中點，.(1)若，求的長；(2)若，求的長.鞏固練習1．（2022·內蒙古·赤峰二中校考一模）中，分別是角的對邊，成等差數列，，的面積為，那么=．2．（2023·廣東·高三校考）已知中，，若，則周長的最大值為.3．（2023遼寧大連·高二校考開學考試）已知的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）記線段上靠近點的三等分點為，若，，求.4．（2023·云南昭通·校聯考模擬預測）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.5．（2023·山東棗莊·統考三模）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中校考階段練習）在中，角的對邊分別是，點是邊上的一點，且.(1)求證：；(2)若求面積.7．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學校聯考階段練習）在中，角的對邊分別為，且滿足.(1)求角的大小；(2)若為邊的中點，且，求的面積.8．（2023春·全國·高