不等式及其基本性質（知識講解）【學習目標】1．了解不等式的意義，認識不等式和等式都可以用來刻畫現實世界中的數量關系.2.知道不等式解集的概念并會在數軸上表示解集.3.理解不等式的三條基本性質，并會簡單應用.【要點梳理】要點一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．特別說明：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數，如2x＞5中，x表示未知數，對于含有未知數的不等式，當未知數取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．要點二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．特別說明：不等式的解是具體的未知數的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數值都能使不等式成立②能夠使不等式成立的所有數值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數軸表示:不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解．如圖所示：特別說明：借助數軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應用數軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確定方向．(1)確定“邊界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對邊界點a而言，x＞a或x≥a向右畫；對邊界點a而言，x＜a或x≤a向左畫．注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點．要點三、不等式的基本性質不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特別說明：不等式的基本性質的掌握注意以下幾點：(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯系，又有區別，注意總結、比較、體會．(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區別，在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號的方向要改變．【典型例題】類型一、不等式的定義??識別??列不等式 1．老師在黑板上寫了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你認為其中是不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據不等式的定義，依次分析即可．解：∵用不等號表示大小關系的式子叫做不等式，其中常用不等號有：“”，∴屬于不等式的為：，共有4個．故選：C【點撥】本題主要考查不等式的定義，用“”或“”或“”或“”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關系的式子也是不等式．舉一反三：【變式】下面給出6個式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝5；④a－b；⑤x＋3≤8；⑥3x≠0，其中不等式有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】依據不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷．解：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+3≤8；⑥3x≠0，這些都是不等式，共有4個，故選：C．【點撥】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：＞，＜，≤，≥，≠．2．有兩種商品其單價總和超過100元，且甲商品的單價是乙商品單價的2倍少10元，設未知數，并用不等式表示出上述關系；【答案】設乙商品的價格為x元，x+2x-10＞100【分析】設乙商品的價格為x元，表示出甲商品的價格，然后根據兩商品的單價總和超過100元，列不等式即可．解：設乙商品的價格為x元，則甲商品的價格為（2x-10）元，由題意得，x+2x-10＞100．即不等式為：x+2x-10＞100．【點撥】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．舉一反三：【變式】通過測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以計算出它的樹齡；通常規定以樹干離地面1.5米的地方作為測量的部位，某棵樹栽種時的樹圍為5cm，以后樹圍每年增加約3cm，這棵樹至少生長多少年，其樹圍才能超過2.4m？根據題意，完成下面填空：（1）題目涉及的兩個有關系的量，分別是：_____________________________；（2）設生長年份為x，則樹圍用x表示為：__________________；（3）用文字敘述生長年份與樹圍滿足的不等關系是：______________________________；（4）用適當的不等號表示（3）中的不等關系：___________________________；【答案】（1）生長年份，樹圍；（2）5+3x；（3）這棵樹生長x年，其樹圍才能超過2.4m；（4）5+3x>240【分析】（1）由題可知兩個有關系的量分別是生長年份和樹圍；（2）栽種時的樹圍為5cm，以后樹圍每年增加約3cm，可知x年后，樹圍為(5+3x)m；（3）這棵樹生長x年，其樹圍才能超過2.4m；（4）由題意可得5+3x>2.4×100.解：（1）由題可知兩個有關系的量分別是生長年份和樹圍；故答案為生長年份，樹圍；（2）栽種時的樹圍為5cm，以后樹圍每年增加約3cm，可知x年后，樹圍為(5+3x)cm；故答案為5+3x；（3）用文字敘述生長年份與樹圍滿足的不等關系是：這棵樹生長x年，其樹圍才能超過2.4m；故答案為這棵樹生長x年，其樹圍才能超過2.4m；（4）用適當的不等號表示（3）中的不等關系為：5+3x>2.4×100，故答案為5+3x>240【點撥】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．類型二、不等式的解集??理解與認識??數軸上表示解集3．下列各數中，哪些是不等式x＋2＜4的解？哪些不是？－3，－1，0，1，，2，，3，4.【分析】將題中所給的數據代入不等式進行判斷即可.解：把題中各數分別代入不等式x＋2＜4，得－3，－1，0，1，是不等式x＋2＜4的解，2，，3，4不是不等式x＋2＜4的解．【點撥】不等式的解是指在含有未知數的不等式中，能夠使不等式成立的未知數的值；舉一反三：【變式】由于小于6的每一個數都是不等式x－1<6的解，所以這個不等式的解集是x＜6.這種說法對不對？【答案】這種說法是錯的．試題分析：由10是不等式的解，但10大于6結合“不等式的解集是不等式所有解的集合”即可說明題中說法是錯誤的.解：∵當時，，∴10是不等式的一個解，∵10不在的范圍內，∴不等式的解集是的說法是錯誤的.4．把下列不等式的解集在數軸上表示出來．x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.【答案】(1) (2) (4)試題分析：將上述不等式的解集規范的表示在數軸上即可.解：（1）將表示在數軸上為：（2）將表示在數軸上為：（3）將表示在數軸上為：（4）將表示在數軸上為：【點撥】將不等式的解集表示在數軸上時，需注意兩點：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）時”，數軸上表示數“”的點用“空心圓圈”，“（或）時”，數軸上表示數“”的點用“實心圓點”.舉一反三：【變式】不等式的解集x<3與x≤3有什么不同？在數軸上表示它們時怎樣區別？分別在數軸上把這兩個解集表示出來．【答案】見分析試題分析：不等式和的解集的不同之處：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；在數軸上表示這兩個解集時，前者表示數3的點用“空心圓圈”，后者表示數3的點用“實心圓點”.解：（1）不等式和的解集的不同之處：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；（2）在數軸上表示不等式和的解集時，前者表示數3的點用“空心圓圈”，后者表示數3的點用“實心圓點”；（3）①將表示在數軸上為：②將表示在數軸上為：.類型三、不等式的基本性質??用不等式性質解不等式??比較大小5．按照下列條件，根據不等式的基本性質，寫出成立的不等式．，兩邊同加上y．，兩邊同乘．，兩邊同除以．，兩邊同加上，再同除以7．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)．【分析】（1）根據不等式的基本性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變，即可得到答案；（2）根據不等式的基本性質：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即可得到答案；（3）根據不等式的基本性質：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即可得到答案；（4）根據不等式的基本性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變，不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即可得到答案．（1）解：根據不等式的基本性質，不等式兩邊同時加上，可得：；（2）解：根據不等式的基本性質，不等式兩邊同時乘，可得；（3）解：根據不等式的基本性質，不等式兩邊同時除以，可得：；（4）解：根據不等式的基本性質，不等式兩邊同時加上，可得，再同時除以7，可得：．【點撥】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題關鍵．舉一反三：【變式】已知x－y＝4．（1）當時，則y的取值范圍是______．（2）當，，S＝x＋y，則S的取值范圍______．【答案】

【分析】（1）根據得到，再由解關于的不等式即可；（2）根據，將變形為，結合得到；將變形為，結合得到，即可得出結論．解：（1），，，，即，故答案為：；（2），，，，，，，綜上所述：S的取值范圍是，故答案為：．【點撥】本題考查利用不等式的性質求代數式的范圍，結合題中條件，采取恰當的變形是解決問題的關鍵．6．已知，求的最小值．【答案】【分析】由，得到，再由，得到，即可得到答案．解：∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，即，∴的最小值為．【點撥】此題考查了整式的加減，不等式的基本性質等知識，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】先閱讀下面的解題過程，再解題．已知，試比較與的大小．解：因為，①所以，②故．③上述解題過程中，從步驟________開始出現錯誤；請寫出正確的解題過程．【答案】(1)② (2)-2022a＋1＜-2022b＋1【分析】（1）由題意a＞b，不等式兩邊乘以負數，不等式號改變，故②錯誤；（2）根據不等式的性質，不等式兩邊同乘以一個負號，不等號方向要發生改變，來求解．解：（1）由題意得②錯誤，根據不等式兩邊乘以負數，不等式號改變即可判斷；故答案為：②；（2）因為，所以-2022a＜-2022b，故-2022a＋1＜-2022b＋1．【點撥】此題主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性質是解題的關鍵．【變式2】王老師在小結時總結了這樣一句話“對于任意兩個正數a，b，如果，那么”，然后講解了一道例題：比較和的大小．解：，．∵，∴．參考上面例題的解法，解答下列問題：比較與的大小；比較與的大小．【答案】(1) (2)【分析】（1）根據題中所給方法，對兩個根式進行平方，比較平方后的兩數的大小即可得出結論．（2）根據題中所給方法，對兩個根式進行平方，比較平方后的兩數的大小即可得出結論．（1），，，，．，，，，．【點撥】本題考查二次根式的性質與化簡、不等式的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質．類型三、不等式及其基本性質??綜合應用7．下列變形是怎樣得到的？

（1）由，得；（2）由，得；（3）由，得．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）見分析．【分析】（1）兩邊除以再減去得到結果；（2）兩邊減去再除以得到結果；（3）兩邊除以加上再乘以得到結果.解：（1），兩邊除以得：，兩邊減去得：；（2），兩邊減去得：，兩邊除以得：；（3），兩邊除以得：，兩邊加上得：，兩邊乘以得：.【點撥】此題考查不等式的性質：不等式的兩邊加（或減去）同一個數或式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.舉一反三：【變式】根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩數大小的方法：若a－b＞0，則ab；若a－b＝0，則ab；若a－b＜0，則ab.這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”．請運用這種方法嘗試解決下面的問題：比較4＋3a2－2b＋b2與3a2－2b＋1的大小．【答案】（1）＞；（2）=；（3）＜；（4）4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1【分析】（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時加上b即可；（2）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，結果仍是等式，等式的兩邊同時加上b即可；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時加上b即可；（4）求出4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的差的正負，即可比較4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的大小．解：（1）因為a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；（2）因為a﹣b=0，所以a﹣b+b=0+b，即a=b；（3）因為a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b．（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1=b2+3因為b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．故答案為＞、=、＜、4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．【點撥】（1）本題考查了不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變；（3）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．（2）此題還考查了“求差法比較大小”