“空間向量”雙基過關(guān)檢測

一、選擇題

1.在空間直角坐標系中，點尸(見0,0)到點A(4,1,2)的距離為弧，則勿的值為()

A.-9或1B.9或一1

C.5或一5D.2或3

解析：選B由題意/弭=4而，

即'm—42+_]2+_2三的,

，(加一41=25,解得朋=9或加=—1.

2.已知a=(H+l,0,2),b=(6,2〃一1,24)，若8〃1),則4與〃的值可以是()

111

-B--

A.2,22

3f

C.-3,2D.2,2

解析：選AVa/7b,.'.b=Aa,

即(6,2〃-1,24)=A(A+1,0,2),

6=k4+1,(4=2,A=—3,

???<2〃-1=0,解得41或11

3.(2018?揭陽期末)已知a=⑵3,-4),b=(-4,-3,-2),6=J-2a,則x=()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

解析：選B由b=gx—2a,得x=4a+2b=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,

—20).

4.已知a=(2,1,-3),b=(-l,2,3),c=(7,6,A),若a,b,c三向量共面，則

4=()

A.9B.-9

C.-3D.3

解析：選B由題意知?=B+"，

即(7,6,X)=x(2,L-3)+y(-l,2,3),

2x—y=7,

.?.<x+2y=6,解得4=-9.

、一3x+3y=4，

5.在空間四邊形ABCD中,?CD+AC?DB+AD?~BC=)

A.-1B.0

C.1D.不確定

解析：選B如圖，令A(yù)B=a,AC=b,AD=c,

則AB?CD+AC*DB+AD?BC

=a?(c-b)+b?(a—c)+c?(b-a)

=a?c—a?b+bb?c+c*b—c?a

=0.

6.已知空間四邊形如8C,其對角線為仍，也N分別是如，回的中點，點G在線

段腑上，且MG=2GN,現(xiàn)用基底｛OA,OB,%｝表示向量OG,有OG=xOA+yOB

+zOC,則x,y,z的值分別為()

111111

八.6，3，33'3'6

111111

手

---一-

3,2D.2M6

---A---A---?J---?2---?

解析：選AVOG=OM+MG=~OA+-MN

乙J

1—?2―?—?

=-OA+-(ON-掰)

乙o

1—?21—*,—>■1—*■

=50A+耳5OB+OC-z0A

乙o_乙乙

1—*,1—?1—?

=-OA+-OB+-0C,

633

._1_1_1

..x一4y—Z--

7.如圖所示，在大小為45°的二面角小距。中，四邊形｛朋5；

防都是邊長為1的正方形，則6,〃兩點間的距離是()

A.小B.y/2

C.1D、3f

解析：選D,:BD=BF+FE+ED,

----n-c---門--c=------------------------w

：.|BD「=1BF|2+|FE1+1ED|2+2BF-FE+2FE-ED+2BF-ED

—l+l+l-^2—3—\/2,故|BD—yji—yl2..

8.(2018?東營質(zhì)檢)已知/(I,0,0),6(0,—1,1),如+4仍與OB的夾角為120°,

則才的值為()

B吊

D.土乖

解析：選C因為。1+4OB=(1,一4，4),

XX1、歷

所以3⑵。=q…得

經(jīng)檢驗力=變不合題意，舍去，所以"邛.

66

二、填空題

9.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,—2,-2),a?c=4,b|=12,則以b,c為

方向向量的兩直線的夾角為.

解析：由題意得，(2a+b)?c=0+10—20=-10.

即2a?c+b?c=-10,又?c=4,.'.b?c=-18,

b9c—181

.?.cos(b,c>=7^=12x11+4+4=%

<b,c)=120°,.?.兩直線的夾角為60°.

答案：60。

10.在正方體兒花》45C〃中，材，N分別是棱44,郎的中點，則sin(~CM,萬T〉

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2,

則以0,2,0),材(2,0,1),"(0,0,2),M2,2,1).

可知CM—(2)—2,1),

前=(2,2,-1),

~CM?萬T=2X2+(-2)X2+lX(-1)=-1,

IO|=3,|〃W|=3,

，A一、~CM?~ON1

〈CM,

/.coszw)=------>-■-----------?--IJ

CM||4/V|

—4\/5

AsinCai,D\N)—§.

答案?矩

口?Q

11.已知點0為空間直角坐標系的原點，向量的=(1,2,3),必=(2,1,2),0P=

(1,1,2),且點0在直線華上運動，當(dāng)下?下取得最小值時，血'的坐標是.

解析：?.?點0在直線”上，，設(shè)點。(/，/，24),

則3=(1—4，2—乂，3—2兒)，QB=(,2—4,1—A,2—2兒)，

QA-Q6=(l一4)(2—兒)+(2—4)(1-1)+(3—2兒)(2—2兒)=6犬-164+10

，、

=60—4'g2,當(dāng)4時，―QA??—Q??取得最小值一2勺，此時—OQ?=<^4.4g,8-J.

(11

答案:(3，313)

n

12.在直三棱柱4?34旦。中，ZBAC=—,46=40=44=1,已知G和E分別為AB

和CG的中點，。與尸分別為線段芯和四上的動點(不包括端點)，若GDLEF,則線段DF

的長度的取值范圍為

解析：設(shè)［F=a,4〃=b,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,0,0),40,1,1i,

p0,1LNa,0,0),次0,b,0),

—1,-g),DF=(a,—b,0).

Fb，-I

?AAA

因為切_1_防，所以必_L跖，GD?EF=0,

所以一%—b+g=O,即a+2b—1=0,

所以|如|=?#+戌=yj5討一4b+l

由題意得，a=l-2b>0,所以（Kbg,

所以

□

答案:停1）

三、解答題

13.如圖所示，已知空間四邊形4靦的各邊和對角線的長都等于a,

點MN分別是4?,切的中點.屐［

⑴求證：

⑵求淑的長；

(3)求異面直線4V與GV所成角的余弦值.

解：(1)證明：設(shè)［6=p,AC=q,AD—r.

由題意可知，|p［=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量兩兩夾角均為60°.

-?-?-?］-?-?1-?

MN=AN-AM=-(AC+AD)--AB=-(q+r-p),

-*―*11

MN?AB=-(q+r—p)?p=~(q?p+r?p-p")

=^(a2cos600+a2cos60°—a2)=0.

：.HN1,~AB,即助歸_力A

_—?1

(2)由(1)可知MN=-^q+r—p),

/.I腑.一夕)'

=；［/+/+p2+2(Q?r—p?q—r*p)}

4a2+/+)+2(?9]

123~

=4X2a-=T

―?、歷、歷

A|MN|=Va,，北平的長為3-a.

(3)設(shè)向量下與赤的夾角為e.

---*■1---?---?1

AN=5(AC+AD)=/(q+r),

—?—?—?1

MC=AC—AM=g—5,，

?*.AN?比=/(g+r)?(q—罰

-1<7?p+r'q--r?'

^^a2—^cos60°+a2cos60°-*cos60°)

S2,a2a、3

—Wa+萬一口=萬.

又?.1方|=|正|=*a,

__-(3A(3a

/.AN?MC=|AN||MC|cos，=拳&乂學(xué)aXcos9=不

2—>―?9

coso=可，.,?向量AN與MC的夾角的余弦值為鼻.

OO

2

因此異面直線的與CV所成角的余弦值為市

14.(2017?全國卷HI)如圖，四面體力靦中，a'是正三角D

形，是直角三角形，ZA5D=ZCBD,AB=BD./\^\E

(1)證明：平面ACD1.平面ABC；

⑵過然的平面交加于點￡若平面4FC把四面體4?切分成4

體積相等的兩部分，求二面角'/AC的余弦值.

解：(1)證明：由題設(shè)可得，叢ABI運叢CBD,

從而AD=DC.

又是直角三角形，所以/力":=90°.

取〃的中點。，連接〃。，B0,

則。0J_4GDO=AO.

又因為是正三角形，所以

所以為二面角的平面角.

在RtZ\4如中，BO+AG=Alh

又AB=BD,所以BG+DG=B"AG=AE=B廿,

故/次的=90°.所以平面4微L平面力必

(2)由題設(shè)及(1)知，OA,0B,切兩兩垂直.以。為坐標原點,

以的方向為x軸正方向，IOAI為單位長度，建立如