絕密★啟用前

2022年普通高等學校招生全國統一考試(新高考1卷)

數學

副標題

學校：——姓名：一班級：——考號：一

題號一二三四總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在

答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題

目的一項)

1.若集合M={x|?<4},N={x|3x21},則MnN=()

A.{x|0<x<2]B.{x||<x<2}

C.{x|3<x<16]D.{x||<x<16}

2.若i(l-z)=1,則z+2=

A.-2B.-1C.1D.2

3.在△ABC中，點。在邊AB上，BD=2ZM.記刀=萬，而=元,則而=()

A.3m-2nB,-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水

庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0卜山2；水位為海拔

157.5m時;相應水面的面積為180.0卜62將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一

個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為(6”

2.65)()

A.1.0x109/B.1.2x109nl3C.L4xl09nl3D.1.6x109nl3

5.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為()

第1頁，共22頁

A.\B.TC.2D.,

6.記函數f(%)=sin(cox+?)+b@>0)的最小正周期為T.若稱vT<兀，且

y=/(x)的圖像關于點

潦,2)中心對稱,則/《)=()

A.1B.|C.|D.3

7.設b=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB,c<b<aC.c<a<bD,a<c<b

8.已知正四棱錐的側棱長為I,其各頂點都在同一個球面上，若該球的體積為36TT,

且3W，S3g，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18號]B.噂為C.4,金D.[18,27]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知正方體4BCD-4iBiQDi，則()

A.直線BQ與所成的角為90°

B,直線BCi與CAi所成的角為90°

C.直線BCi與平面BBiDi。所成的角為45°

D.直線BCi與平面4BCD所成的角為45°

10.已知函數/'(x)=爐一%+1,則()

A.f(%)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

11,已知0為坐標原點，點4(1,1)在拋物線C-.x2=2py(p>0)±,過點8(0,—1)

的直線交C于P，Q兩點，則()

A.C的準線為y=-lB.直線ZB與C相切

C.\0P\■\0Q\>|。川2D.\BP\?\BQ\>\BA\2

12.已知函數/Q)及其導函數的定義域為R,記g(x)=f'(x).若/"(I-2X),

9(2+工)均為偶函數，則()

A./(0)=0B.g(-；)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

第H卷(非選擇題)

第2頁，共22頁

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(1-2)Q+y"的展開式中的系數為(用數字作答).

14.寫出與圓芯2+y2=1和(X_3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方

程.

15.若曲線y=Q+a)/有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是.

16.已知橢圓C5+3=l(a>b>0)，C的上頂點為4兩個焦點為F1，F2>

離心率為看過％且垂直于上的直線與。交于。，E兩點，|陽=6,則△力DE

的周長是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演

算步驟)

17.(本小題10.0分)

記S”為數列｛6｝的前n項和，已知即=1,｛￡｝是公差為3的等差數列.

(1)求｛即｝的通項公式；

(2)證明：/+*+…+*<2.

18.(本小題12.0分)

記△力BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知皆”叱

l+sin/4l+cos2B

(1)若。=季求8;

(2)求邛的最小值.

*

19.(本小題12.0分)

如圖，直三棱柱4BC—AiBiCi的體積為4,ZkaiBC的面積為2vL

(1)求A到平面&BC的距離；

(2)設D為&C的中點,44i=4B,平面4BC1平面求二面角A-BD-C

第3頁，共22頁

的正弦值.??

OO

..

..

..

..

..

鄭

鄭

..

..

..

..

..

..

..

..

..

OO

.※.

.※.

..

.I※I.

.※.

體小題分).如.

20.12.0※

I※I

一支醫療團隊研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良-I-

.-※￡.

好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例.※.

.鄭.

組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，得到如下數據:.※.

.※.

不夠良好良好氐

O※O

※

病例組

4060.摒.

.※.

對照組1090.※.

.祖.

※

能否有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？..

(1)99%※

媒

堞

從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，表示鄲

(2)4B.※.

.※.

..

事件“選到的人患有該疾病”，撰罌與黑"的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾長

..

.※.

.※.

..

病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.姻.

..

.派.

OO

⑴證明?R一°里⑼P(7E).※

..

..

3)利用該調查數據，給出PQ4|B),ppE)的估計值，并利用(i)的結果給出R的估..

..

計值...

..

附.K2=n(ad-bc)2

代

一(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)'氐

.

..

2.

P(K>k)0.0500.0100.001..

..

..

k.3.8416.63510.828..

..

..

..

OO

21.(本小題12.0分)..

..

..

第4頁，共22頁

.

.

.

.

.

O己知點4(2,1)在雙曲線礙一番=l(a>D上，直線，交C于P，Q兩點，直線

.

.AP.AQ的斜率之和為0.

.

.(1)求I的斜率；

.

.(2)若tantPAQ=2近，求APAQ的面積.

鄭

.

.

.22.(本小題12.0分)

.

.

.已知函數/(x)=ex-ax和gQ)=ax-Inx有相同的最小值.

.

.

O(1)求a;

.(2)證明：存在y=b直線，其與兩條曲線y=/(%)和y=g(x)共有三個不同的交

.

.點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

.

.

.

“

af中

-*

.

.

.

.

.s

O

.

.

.

.

.S

堞

.

.

.

.=

.輅

.料

.

O

.

.

.

.

.

.

氐

.

.

.

.

.

.

.

O

.

.

.

.

.第5頁，共22頁

.

答案和解析

O

1.【答案】D

【解析】

【分析】

郢

本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.

先求出集合M,N,再由交集的運算可得.

【解答】

解：因為M={x[O16},/V={x|x>|),O

故MnN=16}.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了復數代數形式的四則運算及共輒復數，屬基礎題.

OO

【解答】

解：z=1+i,z+2=1+i+1-i=2.

3.【答案】B堞

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的加減及數乘運算，屬于基礎題.

【解答】OO

解：CD=^CA+^CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

4.【答案】C

■E氐

【解析】

【分析】

本題考查了棱臺的體積公式的應用，屬于基礎題.

談懂題意，結合棱臺的體積公式即可求解.OO

【解答】

第6頁，共22頁

解：依據棱臺的體積公式

]

K=--(S++yfsS^-h

1.-----------------------------------

=可?(140000000+180000000+V140000000x180000000)x9

*1.4X1()97n3.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型及其計算，涉及組合數公式、對立事件的概率公式，屬基礎題.

【解答】

解：由題可知，總的取法有

(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(6,8)(7,8)

，共6+5+4+3+2+1=21種，互質的數對情況有

(2,3)(2,5)(2,7)(3,4)(3,5)(3,7)(3,8)(4,5)(4,7)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(7,8)共14個，所以兩

個數互質的概率為P=”=|.

6.【答案】4

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數的周期性和對稱性，屬于中檔題.

【解答】

解：由題可知：T=G,所以6(2,3).

又因為y=/(x)的圖像關于點寫,2)中心對稱,所以6=2,且〃^XsinQx與+

"b=2.

所以3=|(/c—/)，keZ,所以3=|.所以f(x)=sin(?x+今)+2.所以/(])=1.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

第7頁，共22頁

本題考查了利用導數比較大小，關鍵是構造合適的函數，考查了運算能力，屬于較難題.

先構造函數f(x)=x+ln(l-x),x€(0,0.1],利用導數研究單調性比較a,b,再構造

函數g(%)=+ln(l-6(0,0.1],利用導數研究單調性比較a,c即可.

【解答】

解：a=O.le01,b=,c=-ln(l—0.1),

i—u.i

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

則八x)=l-±=言<°，

故f(x)在(0,0.1]上單調遞減，

可得/'(0.1)</'(())=0,即lna-lnb<0,所以a<b；

(2)a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令9(x)=xex4-ln(l—x),xE(0,0.1],

則g'(x)=xex+ex--^-=(1+*-秘—,

u、'l—xl—x

令fc(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以令(%)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(乃在(0。1]上單調遞增,可得/%)>々(0)=0,即g'(%)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調遞增，可得g(0,l)>g(0)=0,即Q-C>0,所以Q>C.

故c<aVb.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了球的切接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、導數等知識，屬較難題.

有正四棱錐的外接球的性質，可得U=ga2八=|(6九一層加，利用求導求最值，即可解

答.

【解答】

解：方法(1):設正四棱錐P-4BC0的高為POi=h,底面邊長為a,球心為。，由已知

易得球半徑為R=3,

2I

V2+-

所

以n6h=I2

V22+22

/I2-a-2(6h—h)

因為3W143gn946/1W27=|W/i嚀,

第8頁，共22頁

故所以v=la2h=1(6h-九2)九，求導片=2(4-h)h,

所以V=家6-h)層在&4］上單調遞增，在［4或］上單調遞減，

所以%ax=Y)=y1=min{嗚),*)}=V(|)=條

故該正四棱錐體積的取值范圍是俘，算

方法(2):

由方法(1)中知V=：(6-/I)/I2,1</i<|,求導片=2(4—九)九，所以V20

在［|,4］上單調遞增，在［4弓］上單調遞減，所以匕皿=〃(4)=箏%m=

min{y(|)y(|)}=Y)=?>故該正四棱錐體積的取值范圍是件探］.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查直線與直線所成角及直線與平面所成角，屬于中檔題.

根據正方體的結構特征對各個選項逐一判斷分析，即可得解.

【解答】

解：如圖，因為BCilBiC,B［C〃DA］，所以BGJ.ZM1，故N正確;

對于選項8:因為&Bi，平面BB&C,BQu平面BB￡C,

所以BCI141%,

又BC［.LB［C,且nB［C=B］,力1Bi，B道u'F面CDA^B,

所以BQ1平面CDAB1，且CAAu平面CDAXBX,

所以直線BC】J.C4,故8正確；

第9頁，共22頁

.

.

.

.

.

對于選項C:連接為C1與％D1交于點。1，O

因為1平面&B1QD1，41clu平面&B1C1D1，O.

.

所以8iB_L&Ci，.

.

又41C].LB]Z)i，且Bi。[nB]B=Bi,B1D-y?Bu平面BBiD〔D,.

.

所以A。1平面BBiDiD,鄭

鄭.

則NOiBg即為直線BQ與平面BBiDiD所成的角，.

.

.

sin4BG=黑所以乙。鳳1=30。，故C錯誤；.

.

.

.

對于選項。:直線BCi與平面ABCD所成的角即為ZC1BC=45",所以。正確.O

O※.

※.

10.【答案】AC.

I※I.

※

【解析】.

如.

※

【分析】※

I

本題考查利用導數研究函數的極值與零點以及曲線上一點的切線問題，函數的對稱性,-※￡.

※.

考查了運算能力以及數形結合思想，屬于中檔題.鄭.

※.

【解答】※.

氐

32※O

解：/(x)=X—x+1f'(x)=3x—1?令/''(x)=0得：x=土冬※

摒.

※.

f'(x)>0=X<-導或X>y：f'(x)<0=_y<X<※.

祖.

※

所以人%)在(-8,-苧)上單調遞增，在(—苧馬上單調遞減，在(冬+8)上單調遞.

※

媒

鄲

增，※.

※.

.

長.

所以f(x)有兩個極值點(％=-苧為極大值點，久=/為極小值點)，故/正確；※.

※.

.

姻.

vV3,V3.,.[上26百V3V3,.12V3.

乂/'(一7)=一丁'一(一彳)+1=1+-5->0，/(y)=y-y+1=1-->0>派.

※O

所以f(x)僅有1個零點(如圖所示)，故B錯;O.

.

.

.

.

.

氐

*E.

.

.

.

.

.

.

O

.

Xf(-x)=—%3+x+1=?/(-x)+f(x)=2,所以/(%)關于(0,1)對稱，故C正確;.

.

第10頁，共22頁

對于D選項，設切點P3),yo),在p處的切線為y-(/一々+1)=(3說1)("Xo),

即y=(3%Q-l)x-2x^4-1,

3%2-1=2

,八，方程組無解，所以。錯.

{-2%+1=0

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查了拋物線的方程，性質，直線與拋物線的位置關系，屬較難題.

先求出拋物線的方程，然后再對選項ABCD一一進行分析判斷即可得.

【解答】

解：點4(1,1)在拋物線CW=2py(p>0)上,

即l=2pnC:/=y,所以準線為所以4錯；

直線AB:y=2x-1代入/=y,

得：/-2%+1=0=(%—1)2=o=%=1,A=0,

所以AB與C相切，故8正確.

由題知直線PQ的斜率一定存在，

則可設直線PQ：y=kx-1,P(xi，yi)，。(電段),

?,fy=fcx—13

則|2=>x2o-kx+1=0,A=Ho-4>o=kv-2或々>2,

ly=xL

此時停

01+丫2=￥+%=01+X2)2-2%1%2=k2-2

[y32=%鴻=1

第11頁，共22頁

..

..

..

..

\0P\■\0Q\=+2)(22)=J(+y2)(y+y2)

yix+yyi2OO

..

=J(y/2)2+Si%)?1+%)+y/2..

..

=y/2+(/c2-2)=VF>