專題04首屆新高考-概率統(tǒng)計(jì)大題綜合（首屆新高考江西、

廣西、貴州、甘肅專用）

一、解答題

1.（2023?山東日照?三模）某學(xué)校有48兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)的選擇一

家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳,那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐

廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8.

（1）計(jì)算王同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率；

（2）王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，，?（〃*2,〃€N+）種中式點(diǎn)心，

王同學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇3種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為X,求尸（X=l）的最大

值，并求此時(shí)〃的值.

2.（2023?云南保山?統(tǒng)考二模）中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)

藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論技術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長期呵護(hù)著我們的健

康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻(xiàn).某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某味中藥的藥用量x（單

位：克）與藥物功效$（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系j=10x-x2.

（1）估計(jì)該味中藥的最佳用量與功效；

（2）對一批含有這昧中藥的合成藥物進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)

準(zhǔn)差為2,估計(jì)這批合成藥的藥物功效3的平均值.

3.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)報(bào)告顯示，2018-2022年期間，某公司旗下一款軟

件產(chǎn)品的年度活躍用戶數(shù)每年都保持著較為穩(wěn)定的增長態(tài)勢，具體數(shù)據(jù)如下表.

年份代碼X12345

活躍用戶數(shù)了（單位：億）11.5112.2512.5813.6718.01

（1）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，可用函數(shù)模型，=晟+￡擬合＞與x的關(guān)系，請建立＞關(guān)于x的回歸

方程（計(jì)算方的值時(shí)精確到0.01）,并預(yù)測2025年的活躍用戶數(shù)；

（2）公司規(guī)定，活躍用戶數(shù)大于12.00（單位：億）的年份為“企業(yè)騰飛年”.在企業(yè)騰飛年

中，將活躍用戶數(shù)低于13.00的視為良好，賦1分；將活躍用戶數(shù)不低于13.00的視為

優(yōu)秀，賦2分.現(xiàn)從企業(yè)騰飛年中任取兩年，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

_5孫

（參考數(shù)據(jù)：7?13.60.2＞戊=218.48,h=^---------）

?5m

i=l

4.（2023?黑龍江大慶?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）某學(xué)校為了解學(xué)生對航天知識(shí)的知

曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識(shí)測試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的

測試成績，按照［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］分組，得到如下所示的樣本

頻率分布直方圖：

［頻率

O60708090100成績（分）

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測試成績的平均數(shù)；

（2）從測試成績在［90,100］的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨

機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測試，至少答對3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選

拔,在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨(dú)立.記

甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為求J的分布列及期望.

5.（2023?重慶?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服

務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域.截至2022年底，我國移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球

主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家.下圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)■與年

份代碼,的散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的，分別為1-5.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并推斷

它們的相關(guān)程度；

（2）求卬關(guān)于/的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).

（叱-動(dòng).￡&-7）（嗎-功

附：樣本相關(guān)系數(shù)2=/“—仁—,b=------------，a=vv-ft-F，

J1740分41.7

6.(2023?江蘇?金陵中學(xué)校聯(lián)考三模)一只不透朋的袋中裝有10個(gè)相同的小球，分別

標(biāo)有數(shù)字0~9,先后從袋中隨機(jī)取兩只小球.用事件A表示“第二次取出小球的標(biāo)號是2”,

事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號之和是加”.

⑴若用不放回的方式取球，求P(N)；

(2)若用有放回的方式取球，求證：事件Z與事件8相互獨(dú)立的充要條件是m=9.

7.(2023?廣東珠海?珠海市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測)某大學(xué)平面設(shè)計(jì)專業(yè)的報(bào)考人數(shù)連

創(chuàng)新高，今年報(bào)名己經(jīng)結(jié)束.考生的考號按0001,0002,……的順序從小到大依次排

列.某位考生隨機(jī)地了解了50個(gè)考生的考號，具體如下：

0400090407470090063607140017043204030276

0986080406970419073502780358043409460123

0647034901050186007904340960054304950974

0219038003970283050401400518096605590910

0558044206940065075707020498015602250327

(1)據(jù)了解，這50名考生中有30名男生，20名女生.在某次模擬測試中，30名男生平

均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10,20名女生平均分?jǐn)?shù)是80分，樣本方差是15,請求出

此50人該次模擬考試成績的平均分和方差；(考生個(gè)人具體分?jǐn)?shù)不知曉)

(2)請根據(jù)這50個(gè)隨機(jī)抽取的考號，幫助這位考生估計(jì)考生總數(shù)N,并說明理由.

8.(2023?湖南邵陽二中學(xué)校考模擬預(yù)測)為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽

毛球社團(tuán)舉行羽毛球個(gè)人賽，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加，甲與其他三人各進(jìn)行一

場比賽，共進(jìn)行三場比賽，而且三場比賽相互獨(dú)立.根據(jù)甲最近分別與乙、丙、丁比賽

的情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

乙丙T

比賽的次數(shù)606050

甲獲勝的次數(shù)203040

以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.

(1)如果甲按照第一場與乙比賽、第二場與丙比賽、第三場與丁比賽的順序進(jìn)行比賽.

(i)求甲至少勝一場的概率：

(ii)如果甲勝一場得2分，負(fù)一場得0分，設(shè)甲的得分為X,求X的分布列與期望；

(2)記“甲與乙、丙、丁進(jìn)行三場比賽中甲連勝二場”的概率為P,那么以什么樣的出場順

序才能使概率P最大，并求出〃的最大值.

9.（2023?山東威海?統(tǒng)考二模）乒乓球被稱為中國的“國球”.20世紀(jì)60年代以來，中

國乒乓球選手取得世界乒乓球比賽的大部分冠軍，甚至多次包攬整個(gè)賽事的所有冠軍.乒

乓球比賽每局采用11分制，每贏一球得1分，一局比賽開始后，先由一方發(fā)2球，再

由另一方發(fā)2球，依次每2球交換發(fā)球權(quán)，若其中一方先得11分且至少領(lǐng)先2分即為

勝方，該局比賽結(jié)束；若雙方比分打成10:10平后，發(fā)球權(quán)的次序仍然不變，但實(shí)行每

球交換發(fā)球權(quán)，先連續(xù)多得2分的一方為勝方，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行乒

乓球單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為:，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為上，各球的

結(jié)果相互獨(dú)立，已知某局比賽甲先發(fā)球.

（1）求該局比賽中，打完前4個(gè)球時(shí)甲得3分的概率；

（2）求該局比賽結(jié)束時(shí)，雙方比分打成11:1且甲獲勝的概率；

（3）若在該局雙方比分打成10:10平后，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束，求事件“X44”

的概率.

10.（2023?重慶沙坪壩?重慶八中校考二模）某市為了更好的了解全體中小學(xué)生感染新

冠感冒后的情況，以便及時(shí)補(bǔ)充醫(yī)療資源.從全市中小學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名抗原檢

測為陽性的中小學(xué)生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學(xué)生感染奧密克戎后的疼痛指數(shù)為X,

并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：

疼痛指數(shù)XX<1010<<90X290

人數(shù)（人）10819

名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者

其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.

（1）統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用心=雋2表示在事件4發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本

P{B\A）

中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，記事件A:該名學(xué)生為有癥狀感染者，事件B:該名學(xué)生為重癥

感染者，求似然比工的值；

（2）若該市所有抗原檢測為陽性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)X近似的服從正態(tài)分布

N（50Q2）,且尸（丫290）=、.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學(xué)生中隨機(jī)抽取3

名，設(shè)這3名學(xué)生中輕癥感染者人數(shù)為丫，求丫的分布列及數(shù)學(xué)期望.

11.（2023?遼寧大連?大連二十四中校考模擬預(yù)測）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，

加深青少年對黨的歷史、黨的知識(shí)、黨的理論和路線方針的認(rèn)識(shí)，激發(fā)愛黨愛國熱情，

堅(jiān)定走新時(shí)代中國特色社會(huì)主義道路的信心，我校舉辦了黨史知識(shí)競賽.競賽規(guī)則是：

兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對題目不少于5道題，則獲得

一個(gè)積分.已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對每道題答對的概率分別是P1和科，

且每道題答對與否互不影響.

|3

(1)若Pl=夕22=:,求甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個(gè)積分的概率；

4

(2)若0|+夕2=：，且每輪比賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得7個(gè)積分，那么

理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？

12.(2023?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預(yù)測)杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)(The

19thAsianGamesHangzhou2022)將于2023年9月23日至10月8日舉辦.本屆亞運(yùn)

會(huì)共設(shè)40個(gè)競賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.同時(shí)，在保持40個(gè)大

項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競技項(xiàng)目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個(gè)新型的賽

制“雙敗賽制'’贏得了許多賽事的青睞.

傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍

只有失敗了兩場才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率.假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，

淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即

為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者

組兩個(gè)隊(duì)伍對決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組.之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)

隊(duì)伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最

后總決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只

要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來

從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對強(qiáng)者不公平，是否真

的如此呢？

這里我們簡單研究一下兩個(gè)賽制.假設(shè)四支隊(duì)伍分別為48,C,。，其中A對陣其他三

個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為P,另外三支隊(duì)伍彼此之間對陣時(shí)獲勝概率均為g.最初分組時(shí)48

同組，同組.

2

(1)若p=§,在淘汰賽賽制下，4C獲得冠軍的概率分別為多少？

(2)分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率(用P表示)，并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制

下對隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強(qiáng)者不公平”？

13.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強(qiáng)禁毒教育，某校

組織了全體學(xué)生參加禁毒知識(shí)競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(滿分100分)進(jìn)行

分析，把他們的成績分成以下6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100].整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中a的值并估計(jì)全校學(xué)生的平均成績".(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表)

(2)在(1)的條件下，若此次知識(shí)競賽得分X?N(〃,122),為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識(shí)

的興趣，對參賽學(xué)生制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過57分的不予獎(jiǎng)勵(lì)，得分超過57分

但不超過81分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得

學(xué)校食堂消費(fèi)券10元，超過93分可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券15元.試估計(jì)全校1000名學(xué)

生參加知識(shí)競賽共可獲得食堂消費(fèi)券多少元.(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：尸(〃-b<XW〃+b)”0.6827,尸(〃-2a<XW〃+2o■卜0.9545,

P(/j-3a<X<〃+3cr)=0.9973.

14.(2023?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)研究表明，如果溫差太大，人們不注意保暖，可

能會(huì)導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于兒童以及年老體弱的人群,

要多加防范.某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人

數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新

增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X(℃)47891412

新增感冒就診人數(shù)y(位)凹為為

%y4

66

參考數(shù)據(jù)：24=3463,2（必-N）=289.

?=1

(1)已知第一天新增感冒就診的學(xué)生中有4位男生，從第一天新增的感冒就診的學(xué)生中隨

機(jī)抽取2位，其中男生人數(shù)記為X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率為之，求隨

機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=稱，請用最小二乘法求出V關(guān)于x的經(jīng)

驗(yàn)回歸方程3=八+&,據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù).

.￡（占-可（%-歹）

參考公式：Z=弋^;—，r=r?'';r

畢「可庶㈤心"）

15.（2023?江蘇常州?江蘇省前黃高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）中日圍棋擂臺(tái)賽是由中國圍

棋隊(duì)與日本圍棋隊(duì)各派若干名棋手，以擂臺(tái)制形式舉行的圍棋團(tuán)體賽.這是中國和國外

開設(shè)的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協(xié)會(huì)、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯(lián)合舉

辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺(tái)賽.該賽事從1984年

開始至1996年停辦，共進(jìn)行了II屆，結(jié)果中國隊(duì)以7比4的總比分獲勝.該賽事對中

國圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認(rèn)為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日

圍棋擂臺(tái)賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊(duì)伍，兩隊(duì)各設(shè)一名主帥，采用

打擂臺(tái)的形式，決出最后的勝負(fù).比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場），按順

序?qū)郑瑒僬咦蓿?fù)方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設(shè)中、日兩國

圍棋隊(duì)各有〃名隊(duì)員，按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，中國隊(duì)的"名隊(duì)員按出場的先后

順序記為4,%,La?,日本隊(duì)的〃名隊(duì)員按出場的先后順序記為乙也，…〃.假設(shè)”,勝

勺&）=1,2,3,…"）的概率為p為常數(shù)）.

（1）當(dāng)"=5時(shí)，若每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，求中國隊(duì)有四名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊(duì)的

概率；

（2）記中國隊(duì)被淘汰=2,3…“）人且中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率為匕，求月的

表達(dá)式；

（3）寫出中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率PQ）的表達(dá)式（不用說明理由）.

16.（2023?江蘇鹽城學(xué)校考三模）2021年奧運(yùn)會(huì)我國射擊項(xiàng)目收獲豐盛，在我

國射擊也是一項(xiàng)歷史悠久的運(yùn)動(dòng).某射擊運(yùn)動(dòng)愛好者甲來到靶場練習(xí).

（1）已知用于射擊打靶的某型號槍支彈夾中一共有發(fā)子彈，甲每次打靶的命中

率均為g,一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光便立即停止射擊.記標(biāo)靶上的子彈數(shù)量為隨

機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若某種型號的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有加⑺21）發(fā)為實(shí)彈,

其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假

設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī)，在進(jìn)行eN）次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為X,,,

①當(dāng)keN”時(shí)，請直接寫出數(shù)學(xué)期望￡（匕）與E（X,i）的關(guān)系;

②求出E（X“）關(guān)于”的表達(dá)式.

17.（2023?福建福州?福州三中校考模擬預(yù)測）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，

組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競賽.為了解學(xué)生對相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽

取100名學(xué)生的競賽成績（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

O3040506070H0901U0競賽成績/分

（1）求該100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）從競賽成績在（40,50］,（50,60］的兩組的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，

現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記競賽成績在（40,50］的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，從［30,50］隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用尸（女）表示這20名學(xué)生中

恰有女名學(xué)生競賽成績在［30,40］內(nèi)的概率，其中％=0,1,2,…,20.當(dāng)尸⑻最大時(shí)，求有

18.（2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣

傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)

平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門可叫為了了解全民對于“學(xué)

習(xí)強(qiáng)國”使用的情況，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N

名員工，其中2:是男性，（3是女性.

（1）當(dāng)N=20時(shí)，求抽出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個(gè)體足夠小時(shí);超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)

在全市范圍內(nèi)考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男

性員工恰有2人的概率記作耳；在二項(xiàng)分布中（即男性員工的人數(shù)X~8（3,|））男性

員工恰有2人的概率記作￡.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001（即

<0.001）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.（參考數(shù)據(jù)：7578=24.04）

19.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中校考模擬預(yù)測）生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為P

(O<P<1),優(yōu)等品的概率為0.4,若20個(gè)此特殊零件中恰有4件廢品的概率為/(p),

設(shè)/(P)的最大值點(diǎn)為丹.

⑴求％;

(2)若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為2.

⑴從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取”個(gè)零件，設(shè)其中優(yōu)等品的個(gè)數(shù)為X,記4=P(X=左)，

%=0,1,，已知X=5時(shí)優(yōu)等品概率《最大，求”的最小值；

(ii)已知合格率為80%,每個(gè)零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價(jià)150元，同時(shí)

對不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)為合格品后正常售賣，若仍不合格則以每件10元的價(jià)格

出售，若每個(gè)不合格零件修復(fù)為合格零件的概率為0.5,工廠希望一個(gè)零件至少獲利50

元，試求一個(gè)零件的修復(fù)費(fèi)用最高為多少元.

20.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測)有3臺(tái)車床加工同一型號的零件,

第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在

一起，已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床所加工的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)：

(3)參照第(2)問給出判斷，求第1,2,3臺(tái)車床操作員對加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.

21.(2023?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測)在上海舉辦的第五屆中國國際進(jìn)

口博覽會(huì)中，一款無導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會(huì)者的關(guān)注，成為了進(jìn)博會(huì)的“明星展

品”.體積僅有維生素膠囊大小，體積比傳統(tǒng)心臟起搏器減小93%,重量僅約2克，擁

有強(qiáng)大的電池續(xù)航能力，配合兼容L5T/3.0T全身核磁共振掃描檢查等創(chuàng)新功能.在起

搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動(dòng)無線充電器主控芯片生產(chǎn)，試產(chǎn)期每天都需同步進(jìn)行產(chǎn)

品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測，選擇哪種檢測方式的規(guī)則如下：第一天選擇智

能檢測，隨后每天由計(jì)算機(jī)隨機(jī)等可能生成數(shù)字“0”和“1”，連續(xù)生成4次，把4次的數(shù)

字相加，若和小于3,則該天的檢測方式和前一天相同，否則選擇另一種檢測方式.

(1)求該企業(yè)前三天的產(chǎn)品檢測選擇智能檢測的天數(shù)X的分布列；

(2)當(dāng)?shù)卣疄榱藱z查該企業(yè)是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：設(shè)

p.(〃eN”)表示事件“第n天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測”的概率，若H恒成

立，認(rèn)為該企業(yè)具有一定的智能化管理水平，將給予該企業(yè)一定的獎(jiǎng)勵(lì)資金，否則將沒

有該項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)資金.請問該企業(yè)能拿到獎(jiǎng)勵(lì)資金嗎？請說明理由.

22.(2023?安徽亳州?安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測)某中學(xué)對學(xué)生鉆研理工課

程的情況進(jìn)行調(diào)查，將每周獨(dú)立鉆研理工課程超過6小時(shí)的學(xué)生稱為“理工迷”，否則稱

為“非理工迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：

理工迷非理工迷總計(jì)

男243660

女122840

總計(jì)3664100

（1）根據(jù)a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“理工迷''與性別有關(guān)聯(lián)？

（2）在人工智能中常用“8|/）=緇4表示在事件A發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的優(yōu)勢,

在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，A表示“選到的學(xué)生是非理工迷”，B表

示“選到的學(xué)生是男生“請利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)“8|力）的值.

（3）現(xiàn)從“理工迷”的樣本中，按分層抽樣的方法選出6人組成一個(gè)小組，從抽取的6人里

再隨機(jī)抽取3人參加理工科知識(shí)競賽，求這3人中，男生人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期

望.

參考數(shù)據(jù)與公式：

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

K=(a+b)(c+d)(a+c)0+d)'其中〃=。+6+。+"

23.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）現(xiàn)有4個(gè)除顏色外完全一樣的小

球和3個(gè)分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個(gè)球全部隨機(jī)放入三個(gè)盒子中（允許有空盒）.

（1）記盒子乙中的小球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）對于兩個(gè)不互相獨(dú)立的事件M,N,若P（M）＞0,P（N）＞0,稱

）P（N）為事件M,N的相關(guān)系數(shù).

①若p（MN）＞0,求證:P（M|N）＞P（M）；

②若事件M:盒子乙不空，事件N:至少有兩個(gè)盒子不空，求p（M,N）.

24.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”

的中國男足U23代表隊(duì)打出了中國男足在世界舞臺(tái)上的最好表現(xiàn).球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)核心，

來自沈陽的陳濤入選了奏事最佳陣容.世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個(gè)階段.小

組賽中，參賽的32支代表隊(duì)被分為8各小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，按照單循環(huán)賽制選

出兩支球隊(duì)進(jìn)入淘汰賽.淘汰賽中16支球隊(duì)捉對廝殺，敗者淘汰勝者晉級，通過4輪

比賽決出最后的冠軍.

(1)已知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記0分.小組賽階段中

國隊(duì)與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊(duì)分在同一組.首戰(zhàn)中中國隊(duì)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝了歐洲亞

軍土耳其隊(duì)，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢.面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊(duì)和巴拿馬對，根據(jù)

賽前球探報(bào)告分析，中國隊(duì)都有實(shí)力優(yōu)勢，可以近似認(rèn)為后兩場比賽中國的獲勝的概率

都為0.5,打平的概率都為0.2,輸球的概率都為0.3.設(shè)中國隊(duì)三場小組賽之后的總積

分為隨機(jī)變量X,求出其分布列和期望.

(2)10號隊(duì)員陳濤作為中國隊(duì)的進(jìn)攻核心，他的表現(xiàn)對中國隊(duì)而言舉足輕重.過往數(shù)據(jù)

表示，在所有陳濤出場并且有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國隊(duì)贏得了其中80%的場次，

陳濤在其代表中國隊(duì)出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進(jìn)球或者助攻.在本屆比

賽中，中國隊(duì)在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)德國隊(duì).已

知在淘汰賽對陣德國隊(duì)的比賽中，陳濤代表中國隊(duì)出場比賽，雖然經(jīng)過全隊(duì)不懈努力，

仍然不敵強(qiáng)大的德國隊(duì)，遺憾告別世界杯.那么，若以過往的數(shù)據(jù)估計(jì)概率，請估計(jì)陳

濤在本場比賽貢獻(xiàn)進(jìn)球或者助攻的概率.

25.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于學(xué)生近視問題的指示精神

和《教育等八部門關(guān)于印發(fā)〈綜合防控兒童青少年近視實(shí)施方案〉的通知》以及《中國防

治慢性病中長期規(guī)劃(2017-2025年)》等文件要求，切實(shí)提升我省兒童青少年視力健康

整體水平，實(shí)施了，"明眸'’工程.各中小學(xué)為推進(jìn)近視綜合防控，落實(shí)“明眸”工程，開展

了近視原因的調(diào)查.其校為研究本校的近視情況與本校學(xué)生是否有長時(shí)間使用電子產(chǎn)品

習(xí)慣的關(guān)系，在己近視的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，同時(shí)在未近視的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了

100人,得到如下數(shù)據(jù)：

長時(shí)間使用電子產(chǎn)品非長時(shí)間使用電子產(chǎn)品

近視4555

未近視2080

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患近視與長時(shí)間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)？

(2)據(jù)調(diào)查，某校患近視學(xué)生約為46%,而該校長時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生約為30%,

這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天非長時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,

求他患近視的概率.

2

n/12n(ad-bc)...,,

HJJX—7i\/?x/\/?j\，中〃=o+b+c+d

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

第一輪甲VS乙丙VS丁

第二輪甲VS丙乙VS丁

第三輪甲VS丁乙VS丙

規(guī)定：每場比賽獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記。分，平局兩隊(duì)各記1分，三輪比賽結(jié)

束后以總分排名.總分相同的球隊(duì)以抽簽的方式確定排名，排名前兩位的球隊(duì)出線.假設(shè)

甲、乙、丙三支球隊(duì)水平相當(dāng)，彼此間勝、負(fù)、平的概率均為(，丁的水平較弱，面對

其他任意一支球隊(duì)勝、負(fù)、平的概率都分別為k5.每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

623

(1)求丁的總分為7分的概率；判斷此時(shí)丁能否出線，并說明理由；

(2)若第一輪比賽結(jié)束，甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)積分分別為3,0,3,0,求丁以6分

的成績出線的概率.

27.(2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測)現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞X,每個(gè)時(shí)間周期7內(nèi)

分裂一次，一個(gè)X細(xì)胞每次分裂能生成一個(gè)或兩個(gè)新的X細(xì)胞，每次分裂后原X細(xì)胞

消失，設(shè)每次分裂成一個(gè)新X細(xì)胞的概率為P,分裂成兩個(gè)新X細(xì)胞的概率為1-P；

新細(xì)胞在下一個(gè)周期T內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個(gè)細(xì)胞間相互獨(dú)立.設(shè)有一個(gè)初始的X細(xì)胞,

在第一個(gè)周期T中開始分裂，其中

(1)設(shè)27■結(jié)束后，X細(xì)胞的數(shù)量為久求4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵設(shè)結(jié)束后，X細(xì)胞數(shù)量為機(jī)的概率為匕(〃).

(i)求6(〃)；

8

(ii)證明：^(?)<yp-.

28.(2023?湖北黃岡?淹水縣第一中學(xué)校考三模)甲、乙兩人組團(tuán)參加答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)

定：每一輪甲、乙各答一道題，若兩人都答對，該團(tuán)隊(duì)得1分；只有一人答對，該團(tuán)隊(duì)

得0分：兩人都答錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)得一1分.假設(shè)甲、乙兩人答對任何一道題的概率分別為

32

4,3-

(D記X表示該團(tuán)隊(duì)一輪答題的得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)假設(shè)該團(tuán)隊(duì)連續(xù)答題〃輪，各輪答題相互獨(dú)立.記門表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得

1分''的概率，？,=徒"+64_2+。匕一3(〃24),求a,h,c；并證明：答題輪數(shù)越多(輪

數(shù)不少于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.

29.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)為了解中學(xué)生的閱讀情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了某重點(diǎn)中

學(xué)100人，調(diào)查他們是否喜愛閱讀，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：

喜愛閱讀不喜愛閱讀共計(jì)

女生4550

男生15

共計(jì)

(1)根據(jù)2x2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為“喜愛閱讀與性別有關(guān)”？

(2)現(xiàn)進(jìn)行一項(xiàng)閱讀答題測試，測試規(guī)則：若該同學(xué)連續(xù)三次答對，則測試通過，答題結(jié)

束；若出現(xiàn)連續(xù)兩次答錯(cuò)，則未通過測試，答題結(jié)束.其余情況下可以一直答題，直至

出現(xiàn)前面兩種情況.已知該同學(xué)每次答對的概率為]，求該同學(xué)通過測試的概率.

參考附表：

P[K2>k)0.0500.0250.010

k3.8415.0246.635

2

”2n(ad-be)4,

參考公式：Z-=7幣—----VAJ\'其中〃=4+b+c+d

[a+b)\c+a)[a+c)\b+a)

30.(2023?安徽合肥中學(xué)校考模擬預(yù)測)在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，

由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘枺ㄟ^信道傳送

到接收端.有干擾無記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳

輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值王,々，…，毛的隨機(jī)變

量，分別記作X和y.條件概率尸(y=x,lX==，描述了輸入信號和輸出

信號之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量X的平均信息量定義為:

"(X)=p(X=占)1鳴p(x=X,).當(dāng)〃=2時(shí)，信道疑義度定義為

1=1

22

〃(y|x)=-ZZp(x=_y,y=w)log.y=號|x=@

J=1/=】

=-[p(x=%,y=xJiog2P(y=Mx=xj+尸(x=x”y=x2)bg2P(丫=乙1x=xj

+P(X=x2,Y=x[)\og2p(<Y=xl\X=x2)+P(X=x2,Y=x2)\og2p(Y=x2\X=xJ]

(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰

子向上的面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X的平均信息量(1暇3"59」鳴5x2.32,logj?2.81)；

(2)設(shè)某信道的輸入變量X與輸出變量丫均取值0,1.滿足：

P(X=O)=<y,0(y=l|￥=0)=p(y=0|X=1)=MO<0<1,O<P<D.試回答以下問題：

①求P(Y=0)的值；

②求該信道的信道疑義度”(KX)的最大值.

專題04首屆新高考-概率統(tǒng)計(jì)大題綜合（首屆新高考江西、廣

西、貴州、甘肅專用）

一、解答題

1.（2023?山東日照?三模）某學(xué)校有48兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)的選擇一家餐

廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6;如果第一天去8餐廳，那

么第二天去A餐廳的概率為0.8.

（1）計(jì)算王同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率；

（2）王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，〃（〃22,〃eN+）種中式點(diǎn)心，王同

學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇3種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為X,求P（X=1）的最大值，并求

此時(shí)〃的值.

【答案】⑴0.7

（2）”=9或10時(shí)，P（X=1）有最大值為普

【分析】（1）根據(jù)條件概率公式和全概率公式求解即可；

（2）利用超幾何分布表示出P（X=1）,列出不等式即可求最大值.

【詳解】（1）設(shè)4="第一天去A餐廳用餐”，及="第一天去8餐廳用餐”,

4="第二天去/餐廳用餐”，

根據(jù)題意得P（4）=尸（4）=05P（414）=06P（41片）=0.8,

由全概率公式，得：尸（4）=尸（4）尸（4|4）+尸（修）尸（4|，）=0.5X0.6+0.5X0.8=0.7,

所以，王同學(xué)第二天去/餐廳用餐的概率為07

（2）由題意，X的可能取值有：0,1,2,3,

C[c：_

由超幾何分布可知P（X=1）

C：*s("+5)(〃+4)("+3)'

15〃(〃一1)

打〃(〃+5a)(〃—+--4--)-(--〃---+---3-)--‘----若-----最-----大，則

15〃(〃-1)>15(〃+1?

(〃+5)(〃+4)(〃+3)(〃+6)々+5)[+4)

,解得9W〃W10,

\5n^n-1)15(n-1-2)

(〃+5)(〃+4乂〃+3)-(〃+4)R+3)[+2)

又..?〃￡N,所以〃=9,10,

易知當(dāng)〃=9和〃=10時(shí)、P（X=1）的值相等,

所以當(dāng)"=9或10時(shí)，P（X=1）有最大值為非，

即當(dāng)”的值為9或10時(shí)，使得P（X=1）最大.

2.（2023?云南保山?統(tǒng)考二模）中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的

統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論技術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長期呵護(hù)著我們的健康，為中

華文明的延續(xù)作出了突出貢獻(xiàn).某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某味中藥的藥用量x（單位：克）與藥

物功效j（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系$=10x-x2.

（1）估計(jì)該味中藥的最佳用量與功效；

（2）對--批含有這味中藥的合成藥物進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)

差為2,估計(jì)這批合成藥的藥物功效$的平均值.

【答案】（1）該藥物使用量為5克時(shí)可達(dá)最大功效25.

（2）20

【分析】（1）根據(jù)用量x與功效j之間具有關(guān)系$=10x-x2,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求

解；

（2）根據(jù)題意求得斗=6,結(jié)合則亍=]_￡必=]_￡00匕一七2）,即可

n?=i九f=i〃/=in；=i

求解.

【詳解】（1）解：由題意，某味中藥的藥用量X與藥物功效3之間具有關(guān)系$=10x-x2,

可得3=10萬一/=一。-5）2+25，所以當(dāng)X=5時(shí)，3nm=50-25=25,

即該藥物使用量為5克時(shí)可達(dá)最大功效25.

2

（2）解：由題意，得1=1￡占=6,?=l^.r；-x=4,所以」，＞,2=40,

則y=_￡乂=_￡（1。茗一X：）=10——=60-40=20,

〃/=|〃/=I〃/=1〃z=l

這批合成藥的藥物功效平均值為20.

3.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)報(bào)告顯示，2018-2022年期間，某公司旗下一款軟件產(chǎn)

品的年度活躍用戶數(shù)每年都保持著較為穩(wěn)定的增長態(tài)勢，具體數(shù)據(jù)如下表.

年份代碼X12345

活躍用戶數(shù)V（單位：億）11.5112.2512.5813.6718.01

（I）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，可用函數(shù)模型￡=以+￡擬合夕與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程

（計(jì)算Z的值時(shí)精確到0.01）,并預(yù)測2025年的活躍用戶數(shù)；

（2）公司規(guī)定，活躍用戶數(shù)大于12.00（單位：億）的年份為“企業(yè)騰飛年在企業(yè)騰飛年中，

將活躍用戶數(shù)低于13.00的視為良好，賦1分；將活躍用戶數(shù)不低于13.00的視為優(yōu)秀，賦

2分.現(xiàn)從企業(yè)騰飛年中任取兩年，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

5___

5-2孫,-5孫

（參考數(shù)據(jù)：1*13.60,=218.48,3=卡------—）

T1＞；一5（耳

1=1

【答案】⑴3=1.45%+9.25，2025年的活躍用戶數(shù)約為20.85億；

（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為3.

【分析】（1）根據(jù)最小二乘法計(jì)算可得回歸方程，代入年份代碼即可預(yù)測2025年用戶數(shù)；

（2）根據(jù)條件得出得分的分布列，由期望公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由表格計(jì)算可得：X=-2-^-4-5=3,

5

＞；_5卜）2=0+4+9+16+25）-5x9=10,

/=i

5

因?yàn)閥413.60,￡答?=218.48,5xy?204,

X=1

5-

crN?石再以一5盯218.48-204

所以b=---------=---------=1.448M.45.

2片-5@10

/=1

因?yàn)椴稭滿足，=&+￡，即klBSO-MSxBug.ZS，

所以y關(guān)于X的回歸方程是$=1.45x+9.25.

令x=8,得3=1.45x8+9.25=20.85,所以2025年的活躍用戶數(shù)約為20.85億.

（2）由表格可知：企業(yè)騰飛年有4個(gè)，其中計(jì)分為1分的年份有2個(gè)，計(jì)分為2分的年份

有2個(gè)，所以X的可能取值有2,3,4,

則尸（X=2）=m=5P（P=3）=若■=）P（P=4）系=*,

所以X的分布列為：

I7I

所以數(shù)學(xué)期望為￡（X）=2X-+3X；+4X-=3.

636

4.（2023?黑龍江大慶?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）某學(xué)校為了解學(xué)生對航天知識(shí)的知曉情

況，在全校學(xué)生中開展了航天知識(shí)測試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測試成績,

按照［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖:

O60708090100成績(分)

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測試成績的平均數(shù)；

(2)從測試成績在［90,100］的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑

選出4道題進(jìn)行測試，至少答對3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這

6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨(dú)立.記甲、乙兩

人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為J，求J的分布列及期望.

【答案】(1)82

4

(2)分布列見解析，E(^)=-

【分析】(1)利用平均數(shù)的計(jì)算方法，即可求解；

(2)由題意可求，甲乙分別進(jìn)入復(fù)賽的概率，然后求出4=0,1,2時(shí)的概率，即可得到分布

列和期望.

【詳解】(1)平均數(shù)1=(65x0.01+75x0.03+85x0.04+95x0.02)x10=82,

所以該校學(xué)生測試成績的平均數(shù)為82.

(2)由題意可知，從6道題中選4題共有C：=15,

因?yàn)榧啄艽饘?道題中的4道題，故甲能進(jìn)復(fù)賽的情況共有C：C；+C：=9；

所以甲能進(jìn)復(fù)賽的概率為E9，3，則甲不能進(jìn)復(fù)賽的概率為1-3(=(2,

因?yàn)橐夷艽饘?道題中的3道題，故乙能進(jìn)復(fù)賽的情況共有C；C；=3；

所以乙能進(jìn)復(fù)賽的概率為高=6，則乙不能進(jìn)復(fù)賽的概率為=

依題可得，J的可能取值為0,1,2,

由4_8342114

所以尸(J=0)=-x-=—>尸(J=n1)=7X7+三xv,

JJ乙JJJJJ/J

c/匠313

P(^=2)=-x-=—,

V75525

則分布列為：

go~n~~

8143

P

252525

貝ljE（A）=0x-^+lx^+2xC4

v72525255

5.（2023?重慶?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、

個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域.截至2022年底，我國移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)

體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家.下圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)3與年份代碼，的散

點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的f分別為1-5.

co/億戶

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并推斷它們

的相關(guān)程度：

（2）求w關(guān)于，的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).

fa,-7）（嗎-丘）.-7）（嗎-動(dòng)

附：樣本相關(guān)系數(shù)4=I""—I"，b=-----------------,a=w-b'T?

曲-（叱一寸

V1740?41.7

【答案】（1）0.98,兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性

（2）w=4.1/+2.7,2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)31.4億戶.

【分析】（1）由散點(diǎn)圖可判斷是否線性相關(guān)，再根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)即可;

（2）由數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程，并由方程計(jì)算預(yù)測即可.

【詳解】（1）由圖可知，兩個(gè)變量線性相關(guān).

1+2+3+4+5,7+12+13+19+24y

由已知條件可得：T==3,w=-------------------=15,

5

5

所以叱一討）=16+3+0+4+18=41,

i=\

2

叱一刃J=164+9+4+16+81=V174，^（rf-7）=,4+1+0+1+4=710，

4141

所以相關(guān)系數(shù)廠=而石々行"098,

因此，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

*41人

(2)結(jié)合(1)可知,/>=—=4.1,&=刃一6了=15-4.1x3=2.7

所以回歸方程是：的=41+2.7,

當(dāng)f=7時(shí),有/=4.1x7+2.7=31.4,即預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)為31.4億戶.

6.(2023?江蘇?金陵中學(xué)校聯(lián)考三模)一只不透朋的袋中裝有10個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有

數(shù)字0~9,先后從袋中隨機(jī)取兩只小球用事件N表示“第二次取出小球的標(biāo)號是2“，事件8

表示“兩次取出小球的標(biāo)號之和是加

⑴若用不放回的方式取球，求尸(/)；

(2)若用有放回的方式取球，求證：事件/與事件8相互獨(dú)立的充要條件是加=9.

【答案】⑴5；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算作答.

(2)利用列舉法求出概率，結(jié)合獨(dú)立性推理判斷充分性，再利用條件概率公式推理判斷必

要性作答.

1—9

【詳解】(1)用C表示“第一次取出小球的標(biāo)號是2“，則P(X|C)=0,P(C)=—,

P(mO］，

所以尸(，)=0(。+*)=00升。俘)=P(C)xP(HC)+P(C)xP(H。)

1八911

=—x0+—x—=—.

1010910

(2)記第一次取出的球的標(biāo)號為x,第二次的球的標(biāo)號為外用數(shù)組(x,y)兩次取球，則

n(Q)=100,

充分性：當(dāng)〃?=9時(shí)，

事件B發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0),

因此尸出)=喘=黑=上，事件48發(fā)生包含的樣