同濟線性代數第五版第一章第一節共七節緒論行列式矩陣向量線性方程組特征值與特征向量二次型目錄CONTENT緒論01線性代數的研究對象線性代數以向量為主要研究對象，向量是既有大小又有方向的量，可以表示空間中的點、線、面等幾何元素，也可以表示物理量如力、速度等。線性空間線性空間是向量所構成的空間，滿足一定的運算性質，如加法、數乘等。線性空間中的元素可以是實數、復數或更一般的數學對象。線性變換線性變換是線性空間之間的映射，保持向量加法和數乘的運算性質不變。常見的線性變換包括矩陣變換、微分變換等。向量矩陣方法01矩陣是線性代數的基本工具之一，可以表示線性變換、解線性方程組等。矩陣的運算性質如加法、乘法、轉置等在線性代數中起著重要作用。行列式方法02行列式是矩陣的一個重要性質，可以判斷線性方程組是否有解、求解矩陣的特征值等。行列式的計算方法和性質也是線性代數的重要內容。向量方法03向量方法以向量為研究對象，通過向量的運算性質如加法、數乘、內積等研究線性代數中的問題，如求解向量組的極大無關組、判斷向量組的線性相關性等。線性代數的研究方法早期發展線性代數的起源可以追溯到古代中國和古代希臘的數學研究。在中國，《九章算術》中就有關于方程組的解法研究；在希臘，歐幾里得等數學家對幾何問題進行了深入研究，其中涉及到了向量的概念。近代發展17世紀以后，隨著微積分學的發展，線性代數開始與解析幾何緊密結合，逐漸形成了一門獨立的數學分支。高斯、柯西等數學家在行列式理論、矩陣理論等方面做出了重要貢獻。現代發展20世紀以來，隨著計算機技術的飛速發展，線性代數在各個領域的應用越來越廣泛。同時，線性代數的理論也在不斷完善和發展，如抽象代數、泛函分析等數學分支與線性代數的交叉研究為現代數學的發展注入了新的活力。線性代數的發展歷史行列式02行列式的定義排列與逆序由1,2,...,n組成的一個有序數組稱為一個n級排列，一個排列中所有逆序的總數稱為這個排列的逆序數。n階行列式由n^2個數aij(i,j=1,2,...,n)排成的n行n列的數表稱為n階行列式，它代表一個數值，這個數值由n^2個數按一定規則計算得出。行列式的性質01行列式與它的轉置行列式相等。02互換行列式的兩行（列），行列式變號。如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。03行列式的性質01行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式。02行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。03行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。04把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變。ABCD行列式的計算直接計算法按照行列式的定義直接進行計算，適用于低階行列式。降階法根據行列式的性質，將高階行列式降為低階行列式進行計算。三角形行列式將行列式化為上三角形或下三角形，然后計算對角線上的元素之積。遞推法根據行列式的特點，找出相鄰階數行列式之間的關系，從而用遞推的方法進行計算。矩陣03由$mtimesn$個數按一定次序排成的$m$行$n$列的矩形數表稱為$mtimesn$矩陣。矩陣的概念通常用大寫字母表示矩陣，如$A,B,C,ldots$。矩陣的行數稱為矩陣的階數，列數稱為矩陣的維數。矩陣的表示如零矩陣、對角矩陣、單位矩陣等。特殊矩陣矩陣的定義矩陣的加法兩個$mtimesn$矩陣相加，對應元素相加。矩陣的數乘數與矩陣相乘，用該數乘以矩陣的每一個元素。矩陣的乘法設$A=(a_{ij})$是一個$mtimess$矩陣，$B=(b_{ij})$是一個$stimesn$矩陣，那么規定矩陣$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+a_{is}b_{sj}$。矩陣的轉置把矩陣$A$的行和列互換所得到的矩陣稱為$A$的轉置矩陣。01020304矩陣的運算可逆矩陣的性質若矩陣$A$可逆，則其逆矩陣唯一；若矩陣$A,B$都可逆，則$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。求逆矩陣的方法如伴隨矩陣法、初等變換法等。逆矩陣的概念對于$n$階矩陣$A$，如果存在一個$n$階矩陣$B$，使得$AB=BA=I$（其中$I$是單位矩陣），則稱$B$是$A$的逆矩陣。矩陣的逆向量04向量的表示方法向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量的模向量的模是一個標量，表示向量的大小，記作||v||。向量是既有大小又有方向的量向量是數學、物理學和工程科學等多個學科中的基本概念，指具有大小（magnitude）和方向的量。向量的定義向量的運算兩個向量的點積是一個標量，等于這兩個向量的模的乘積與它們之間夾角的余弦的乘積。點積可以判斷兩個向量的夾角以及一個向量在另一個向量上的投影長度。向量的點積向量的加法滿足平行四邊形法則或三角形法則，即兩個向量相加等于以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形，這個平行四邊形的對角線就是這兩個向量的和。向量的加法一個向量與一個標量相乘，得到的結果是一個與原向量方向相同或相反，大小等于原向量大小與標量絕對值的乘積的向量。向量的數乘線性組合若干個向量按照一定系數相加所得到的向量稱為這些向量的線性組合。線性相關與線性無關如果一組向量中至少有一個向量可以由其他向量線性組合得到，則這組向量稱為線性相關；否則稱為線性無關。極大線性無關組在一個向量組中，如果存在一個部分組，它本身線性無關，且包含向量組中任意一個向量后都變為線性相關，則稱該部分組為原向量組的一個極大線性無關組。010203向量的線性相關性線性方程組05定義線性方程組是由一個或幾個包含未知數的一次方程所組成的一組整式方程，主要探討未知數（包括一個或多個）的取值范圍及解的個數性質等問題。一般形式Ax=b，其中A為系數矩陣，x為未知數向量，b為常數向量。線性方程組的定義123通過對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，進而求解未知數的值。高斯消元法利用行列式的性質，直接求解線性方程組的解?？死▌t通過矩陣的逆或廣義逆來求解線性方程組。矩陣方法線性方程組的解法在電路分析、力學分析等領域，經常需要建立線性方程組來求解未知量。工程問題在經濟學中，線性方程組被廣泛應用于投入產出分析、最優化問題等。經濟問題在計算機圖形學中，線性方程組用于描述三維變換、光照模型等。計算機圖形學線性方程組的應用特征值與特征向量06設A是n階方陣，如果存在數λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對應于特征值λ的特征向量。對應于特征值λ的特征向量x滿足Ax=λx，即(A-λE)x=0，其中E是單位矩陣。特征值與特征向量的定義特征向量特征值設A是n階方陣，則|A-λE|稱為A的特征多項式，記為f(λ)。特征多項式|A-λE|=0稱為A的特征方程，其根稱為A的特征值。特征方程首先求出特征多項式f(λ)，然后解特征方程求出特征值λ，最后代入(A-λE)x=0求出對應的特征向量x。求解步驟010203特征值與特征向量的求解矩陣的相似對角化如果n階方陣A有n個線性無關的特征向量，則存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP為對角矩陣。矩陣的冪運算對于某些矩陣，可以通過求解其特征值和特征向量來快速計算矩陣的冪。求解微分方程對于某些線性微分方程，可以通過求解其特征值和特征向量來得到方程的通解。判斷矩陣是否可對角化如果n階方陣A有n個線性無關的特征向量，則A可對角化。特征值與特征向量的應用二次型0703變量與矩陣的對應關系二次型中的變量$x_1,x_2,...,x_n$與對稱矩陣A中的元素有一一對應的關系。01二次齊次多項式二次型是n個變量的二次齊次多項式，其一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$。02對稱矩陣二次型的系數$a_{ij}$可以組成一個n階對稱矩陣A，即$A=(a_{ij})$。二次型的定義標準形規范形化為標準形的方法二次型的標準形與規范形通過正交變換，二次型可以化為標準形$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是矩陣A的特征值。當標準形中的系數$lambda_i$只取1，-1，0三種值時，稱該標準形為規范形。規范形是