2022-2023學年貴州省安順市高一(下)期末數學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若復數Z滿足zi=1+2i,則復數Z的共規復數5=()

A.-2—iB.—2+iC.2—iD.2+i

2.若三點4(2,3)、8(4,7)、C(3,y)共線，則實數y的值為()

A.1B.IC.3D.5

3.在一次知識競賽中，某班6名學生的成績(單位：分)分別是65,60,70,72,86,80,

則這6名學生成績的75%分位數是()

A.70分B.72分C.80分D.84分

4.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么互為對立的兩個事件是()

A.“至少有一個紅球”與“都是紅球”

B.“至少有一個紅球”與“都是黑球”

C.“至少有一個紅球”與“至少有一個黑球”

D.“恰好有一個紅球”與“恰好有兩個紅球”

5.已知向量為=(Sina,—3)花=(1,COSa)，若五1石,則tan(α+.)=()

A.-?B.iC.-2D.2

6.己知正三棱柱4BC-4BιG的所有棱長都是2,點M在棱CG上運動，則為M+BM的最

小值為()

A.2?ΓzB.4C.2y∕~5D.2+2√^2

7.已知向量五=(2,-1)石=(L3)，則向量值在向量石上的投影向量下=()

A?七,一分B-(~?-?C?*?D?(一看,一命

8.銳角AABC中，內角4、B、C的對邊分別為服b、c,S為AABC的面積，且α=3,AB-AC=

亨S，貝防的取值范圍是()

A.(0,2θ)B.(√^,2θ)C.(0,6)D.(3√^3,6)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件4="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正面

朝上”，下列結論中正確的是()

1

-

A.該試驗樣本空間共有4個樣本點B.P（AB）4-

C.4與B為互斥事件D.4與B為相互獨立事件

10.根據某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數據（單位：。C）繪制如下折線圖,

那么下列敘述正確的是（）

A.5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差小

B.5號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大

C.最高氣溫的眾數為27。C

D.最低氣溫的中位數為12。C

11.下列命題正確的是（）

A.若向量N,b滿足五.6=1.3則b=目

B.已知平面內的一組基底瓦,石，則向量瓦+￡,瓦-孩也能作為一組基底

C.模等于1個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等

D.在△4BC中，若希?瓦t>0,則△4BC為鈍角三角形

12.木工小張在處理如圖所示的一塊四棱臺形狀的木塊

4BCD-4B1GD1時，為了經過木料表面CDDlG內一點P和

棱力兒將木料平整鋸開，需要在木料表面CDDICl過點P畫直

線，.則下列結論正確的是（）

A.IIIDDyB.l∕∕BB1C」與直線力&相交D」與直線CCl相交

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.己知平面非零向量方與方的夾角為申若|引=1,|2五一3|=2，則IM=.

14.現有一組數據5,7,3,7,3,則這組數據的方差是.

15.若復數Z=(α2-ɑ-2)+(α2+2α)i(i為虛數單位，α∈R)對應的點在第二象限，則α的

取值范圍是.

16.唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯(如圖1)所示，它的盛Bg-./------、

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，直四棱柱ABCDGA中，E,F分別為AD「CDl的中點，AD=CD=2,DD1=3,

4ADC=120°.

(1)求證：EF〃平面4BCD；

(2)求三棱錐D-ACDl的體積.

18.(本小題12.0分)

2022年9月4市新冠肺炎疫情發生后，“疫”聲令下，省內各大市區紛紛聞訊而動，約5000名

醫務工作者積極馳援該市，為抗疫工作注入堅實而溫曖的力量，各方力量扭成一股繩，合力

書寫了守望相助的抗疫故事.現從各市支援4市某地區的500名醫務工作者中隨機抽取50名，

將這50人的年齡按照[25,35),[35,45),[45,55]這3個區間繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據頻率分布直方圖，估計這50名醫務工作者的平均年齡(同一組數據用該組區間的中點

值代表)；

(2)現需要對居民隔離的居民進行單管核酸檢測，防疫指揮部決定在[35,45),[45,551兩區間

段醫務工作者中按分層隨機抽樣方法抽取5人.假設5人已經選定，現要從這5人中選擇2人到某

戶進行檢測，求選中的兩人來自同一年齡段的概率.

19.(本小題12.0分)

已知函數/(x)=V^^3sin2x+cos(2x+今.

(1)求函數/(%)的對稱軸方程；

(2)將函數/(X)的圖象向左平移w(9>0)個單位長度后得到函數g(x)的圖象.若g(x)為偶函數,

求8的最小值.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，PAI平面ABCD,M是邊AC上一點，

且滿足ABCM是正方形，AB=1,PA=2.

(1)求證：平面PBM1平面P4C；

(2)己知：MD=λ(0<λ<2),二面角P-CD-A的平面角為/是否存在;I,使得tcmθ=√^^2?

若存在，求出;I；若不存在，說明理由.

B

21.(本小題12.0分)

如圖，在直角△力BC中，角4為直角，點M是AC邊的中點，點P滿足加=|四，點Q是BC邊

上的動點.

(1)若點Q是BC邊上靠近C的三等分點，設所=4荏+〃而，求;I+4的值；

(2)若AB=3,AC=2,求而.用的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c,且(S譏4+siτιC)2=siM8+譏AsinC.

(1)求COSB和SinB的值;

(2)設點。在邊AC上，且BC=2,BD是NABC的角平分線，求六+二會的最小值.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：由zi=1+2i,

得Z=*呷∩=2T,

lT

則復數Z的共規復數2=2+i?

故選：D.

由Zi=1+21,得Z=彳，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡復數z,則復數Z的共軌復數2可

求.

本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：已知三點4(2,3)、8(4,7)、C(3,y)共線，

則南=(2,4)，前=(l,y-3),

由題意可知而〃而，所以，2(y-3)=4,解得y=5.

故選：D.

求出向量而、就的坐標，可知超〃衣，利用平面向量共線的坐標表示可求得y的值.

本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：將成績按升序排列可得：60,65,70,72,80,86,

因為6X0.75=4.5,所以6名學生成績的75%分位數是第5位數80.

故選：C.

根據百分位數的定義運算求解.

本題主要考查百分位數的定義，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，設紅球的編號為1,2,黑球的編

號為a,b,

取2個球的全集U={(l,α),(l,e),(2,α),(2,b),(1,2),(a,b)},

對于4,事件4：“至少有1個紅球”={(l,α),(Lb),(2,α),(2,b),(1,2)},

事件8：“都是紅球”={(1,2)},

.?.AC?B={(1,2)}≠0,故A錯誤；

對于B,事件C：???“都是黑球”={(α,b)},

Λ∩C=0,A(JB=U,即A與C必然有一個會發生，故B正確；

對于C,事件D：”至少1個是黑球”={(l,α),(1,于),(2,a),(2,b),(α,b)},

.?.Λ∩D={(l,α),(1,6),(2,a),(2,b)}≠0,故C錯誤;

對于。,事件E：“恰好1個是紅球”={(l,a),(l,b),(2,a),(2,b)},

事件F：“恰好2個是紅球”={(1,2)},

所以EnF=。，但EUF≠U,所以E和F不是對立事件，只是互斥事件，故。錯誤.

故選：B.

根據對立事件的定義逐項分析.

本題考查互斥事件、對立事件等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.【答案】C

【解析】解:若方J.B，則S譏a-解。Sa=0,

若Sina=cosa=0,顯然不滿足siMa+cos2a=1,

可得CoSa=≠0,則tana=3,

tana+tan^

所以tan(a+》3+1

1—tɑnɑtɑn^1-3x1

故選：C.

根據向量垂直的坐標表示可得tanα=3,再結合兩角和差公式運算求解.

本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：如圖，將側面ACClAl和側面BCClBI展開成一

個平面，

則4M+BM≥Tl1B=√22+42=2√^5,

當且僅當B,M,4三點共線時，等號成立，

所以+BM的最小值為2√^石.

故選：C.

借助于側面展開圖分析運算.

本題考查兩點距離的和的最值求法，注意運用側面展開，考查數形結合思想和運算能力，屬于基

礎題.

7.【答案】D

【解析】解：因為W=(2,-l),b=(1,3)-

所以a?b=2X1+3X(―1)=—1，IeI=Λ/I2+32=√10?

所以向量五在向量石上的投影向量為器?b=-r?(l,?)=(―?,-?)?

Ibl?uJLU?u

故選：D.

首先求出五不，|石|，再根據投影向量的定義計算可得.

本題主要考查了投影向量的定義，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：因為荏?前=亨S，

即CbCoS4=×?bcsinA>

即SiTL4=LicosA,

因為△力BC為銳角三角形，

則COS4>0,

所以CtmA=，？，

則A=

因為Q=3,

ba3?/—

由正弦定理可得訴=,=m=2V3,

2

(0<B

由已知可得7r七,

^<B+^<π

解得2<β<≡

OL

1

則/<SinB<1,

因此b=2Λ∏SITIB∈（√^,2√^^）.

故選：B.

利用平面向量數量積的定義以及三角形的面積公式可求得tanA的值，結合角4的取值范圍可得出

角4的值，根據△4BC為銳角三角形求出角B的取值范圍，再利用正弦定理結合正弦函數的基本性

質可求得b的取值范圍.

本題考查了平面向量數量積的定義以及三角形的面積公式，重點考查了正弦定理，屬中檔題.

9.【答案】ABD

【解析1解：對于4分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則有｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，

反）｝四個樣本點，故A正確，

對于B,事件4與事件B相互獨立，則P（AB）=gxg=；,故8正確，

對于C,D,事件4與事件B相互獨立，故A與B為相互獨立事件不為互斥事件，故C錯誤，。正確，

故選：ABD.

根據相互獨立事件的定義以及概率乘法公式可解.

本題考查相互獨立事件的定義以及概率乘法公式，屬于基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4選項，由圖可知，5號到15號的最高氣溫的極差為27-15=12（。。），

5號到15號的最低氣溫的極差小于15-3=12（。。），

所以5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差小，故A正確；

對于B選項，由圖可知6號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯誤；

對于C選項，最高氣溫27。C出現了兩次，其他數據出現為1次，故27。C是最高氣溫的眾數，故C

正確；

對于。選項，最低氣溫由小到大的日期依次為：

14號、13號、15號、3號、6號、7號、8號、12號、9號、10號、11號，

所以7號（或8號或12號）的氣溫為最低氣溫的中位數，

結合圖形可知，最低氣溫的中位數小于12。。，故。錯誤.

故選：AC.

利用極差的定義可判斷4選項；觀測圖象可判斷B選項；利用眾數的定義可判斷C選項；利用中位

數的定義可判斷D選項.

本題主要考查了統計圖的應用，考查了極差、眾數和中位數的計算，屬于基礎題.

11.【答案】BD

【解析】解：對于選項A：例如五且6,口反向，可得五?b=a?m=O,

但不能得到至=3故A錯誤；

對于選項8：假設瓦?+石,瓦一石共線，則存在實數九使得%+需=4(百-底)=2部一；I筱，

且可,可不共線，可得｛I；'］，無解，

假設不成立，所以可+與,可-號不共線，則向量可+蒜,瓦-石也能作為一組基底，故B正確;

對于選項C：模等于1個單位長度的向量是單位向量，但單位向量的方向不確定，

所以單位向量不一定相等，故C錯誤；

對于選項Q：由通.配>0,可得荏?就=-'BA-^BC=-?~BA???^BC?cosB>0.可得COSB<0,

且8e(0,τr),則角B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故。正確；

故選：BD.

對于4：舉反例分析判斷；對于B：根據基底向量的定義分析判斷；對于C：根據單位向量、向量

相等的概念分析判斷；對于D：根據數量積的定義結合向量夾角分析判斷.

本題主要考查向量的相關知識，考查邏輯分析能力和推理能力，屬于中檔題，也是易錯題.

12.【答案】CD

【解析】解：根據題意，延長&A、BlB交于點M,則ClC、DlD的延長線也過點M,

如下圖所示：

因為M6Λ4ι,則Me平面P/Ui，則直線PM即為所求作的直線

所以，直線I與直線4&、直線SB”直線CC1、直線。Dl都相交.

故選：CD.

根據題意，延長&A、BlB交于點例，則ClC、OlC的延長線也過點M,則直線PM即為所求作的直

線，，由此可得出結論.

本題考查空間直線與直線的位置關系，涉及棱臺的結構特征，屬于基礎題.

13.【答案】2

【解析】解：因為平面非零向量五與石的夾角為全且INl=I,|2五一方I=2，|2方一至I=2，

則4片一4五不+,=4-4X1XI方ICOS界?b?2=4-2?b?+?b?2=4,

整理得I9|2-2|石I=0,解得IBl=2或IBl=0(舍去)，

所以IBl=2.

故答案為：2.

根據數量積的定義以及運算律運算求解.

本題主要考查平面向量的數量積以及向量的模長計算，屬于基礎題.

14.【答案】

【解析】解：由題意，5,7,3,7,3的平均值為：5+7+g+7+3=5,

根據方差的定義，這5個數的方差為：i[(5-5)2+2X(7-5)2+2X(3-5)2]=y.

故答案為：?.

根據方差的定義計算即可.

本題主要考查了方差的計算，屬于基礎題.

15.【答案】(0,2)

【解析】解：由題意可得：一：一2：°,解得0<α<2,

所以a的取值范圍是(0,2).

故答案為：(0,2).

根據復數的幾何意義列式求解即可.

本題主要考查了復數的幾何意義，屬于基礎題.

16.【答案】［/3,仁)

【解析】解：設圓柱的高為∕ι,則這種酒杯內壁表面積為2兀/?2+27ΓR∕1=ιo7r,可得R2+R∕1=5,

可得力='一R,由∕ι>0,可得W—R>O,可得O<R<V5>

AK

因為這種酒杯的容積不大于半球體積的2倍，即|近3+nR2h≤，R3,

可得九—R≤烏，

Λ?

解得R≥y∏,

所以/3≤R<y∕~5.

故答案為：［，耳,，石).

設圓柱的高為/1,利用組合體的表面積可得出∕1=?∣-R,由體積關系可得出關于R的不等式，再結

合h>0可求得R的取值范圍.

本題主要考查了圓柱和球的體積公式，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)???E,F分別為AD】，CDl的中點，

.?.EF//AC,

又?.?EFC平面力BmACu平面ABCD,

.?.EF〃平面4BCD；

(2)v?ADC^AD=CD=2,Z.ADC=120°,

.?.S^ADC=γAD-CDsin?ADC=gχ2x2x/=C，

又直四棱柱ABCD-AlBIClnI中DDlLABCD,

■.DDl為三棱錐Dl-ACD的高，

^一:極錐D-ACDl=V；棱錐％-4CD='S"DC=§X3X=√^3?

【解析】(1)由E,F分別為ADl,CDi的中點可得E/7/AC,再利用線面平行的判定定理可證EF〃平

W?ABCD;

(2)直四棱柱ABCC-AiBCDi中DDIIABCC可得DDI三棱錐DI-ACD的高，再利用等體積法求

解即可.

本題主要考查了線面平行的判定定理，考查了等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)依題意，醫務工作者的平均年齡為：30x0.5+40x0.3+50x0.2=37；

(2)根據直方圖可得，在［35,45),［45,55］區間中的兩段人數比例為3：2,

根據分層抽樣，在［35,45),［45,55］中分別抽取3人和2人，

將［35,45)里抽取的人數編號為：{α,b,c},將［45,55］里抽取的人數編號為：{4B},

于是5人抽取2人所有可能的事件為：ab,ac,be,AB,aA,aB,bA,bB,cA,cB,有IO種，

抽取的2人來自同一年齡段的事件為：ab,ac,be,AB,有4種，

根據古典概型的計算公式，兩人來自同一年齡段的概率為A=0.4.

【解析】(1)根據題干中平均值的定義直接計算即可；

(2)根據分層抽樣先確定兩個區間抽取的人數，然后將抽取的人進行編號，根據列舉法列出兩人來

自同一年齡段的事件與所有可能的事件，根據古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

19.【答案】解：(l)∕(x)=√~3sE2x+cos(2x+g)=√~^sin2久+；cos2%—加2x

=卒sin2x+?cos1x=sin(2x+?)-

由2χ+'="+在/c∈Z)可得X=萼+—kez),

OLZo

故函數/(X)的對稱軸方程為X=y+∣(fc∈Z).

(2)將函數/(x)的圖象向左平移*(W>0)個單位長度后得到函數g(x)的圖象，

則g(x)=sin［2(x+φ)+ξ］=sin(2x+2φ+^),

因為函數g(χ)為偶函數，則2a+*=∕OT+］(keZ),可得9=與+其kez),

因為尹>0,當k=0時，0取最小值也

【解析】(1)利用三角恒等變換化筒函數/(x)的解析式，利用正弦型函數的對稱性可求得函數f(x)

的對稱軸方程；

(2)利用三角函數圖象變換可得出函數g(x)的解析式，根據函數g(x)為偶函數可得出關于3的表達

式，即可求得正數9的最小值.

本題考查了三角函數的化簡，求值，考查三角函數圖像的變換以及函數的對稱性問題，是中檔題.

20.【答案】（1）證明：因為PAI平面4BCD,BMU平面ZBC。，所以P4J.BM,

因為正方形ABCM,所以ACJLBM,

又PAnAC=4PA,ACU平面PAC,所以BMl平面H4C,

因為BMU平面PBM,所以平面PBMI平面P4C；

（2）解：過P作PNJ.CD于N,連接4N,

BC

因為PA1平面ABCD,CDU平面/BCD,所以Pa1CD,

因為PNlC。，PNCPA=P,PN,PAu平面PAN,所以CD_L平面P4N,

又ANu平面P4N,所以CD_LAN,則NPM4為二面角P-CD-4的平面角。，

所以tan。=tan"M4=篇=焉=則AN=√^^,

又因為正方形ABCM中，有AC=CAB=>Γ∑,又PNJ.C。，所以此時N與C重合，

因為4ZMC-Z-ACB=3，所以ZTlDC=Y=Z.DAC,則√4C=CD=-√r^2,

所以4D=√^2AC=2=AM+MD<故A=MD=2-AM=1,

故存在4=1使得tern。='Γ~2.?

【解析】（1）根據面面垂直的判定定理證明即可；

（2）過P作PN1CD于N,連接AN,利用二面角的定義可求得4V的值，再根據線線關系即可得M。的

值，從而得符合條件的4的值.

本題主要考查面面垂直的證明，二面角的求法，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）在直角△4BC中，角4為直角，點M是4C邊

的中點，點P滿足9=W南，

則前二河，

又點Q是BC邊上靠近C的三等分點，

則詼=ICB,

即的=|就，

所以而=苑-前=:或-4麗=:(冠—四)+：而=,而荏，

??????

又而=4南+〃宿

又南、而不共線，

由平面向量基本定理可得「=；§,

即2+μ=1：

(2)以4點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

則8(3,0),C(0,2),P(2,0),M(0,l),

因為Q在CB上，

設詼=2方=(3尢一2Q，λ∈[0,1],

所以而=MC+CQ=(0,1)+(32,-2Q=(3λ,