一、單選題1．在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，ΔABC的面積為S=，則()A．a222Sb2a2，「2)「241(24)「24)sin2A+sin2Bsin2C=sinA.sinB，則的取值范圍是()22則的取值范圍為()「973)(28191「73)(2811「973)(28191「73)(2811,D是邊BC上一點，ABLAD且則ΔABC面積的最大值為()AGLBG，則cosC的取值范圍是()9．在ΔABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，b＝c，且滿足＝1B，若點O是ΔABC外一點，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()ABC3D10．如圖，某城市有一條公路從正西方MO通過市中心O后轉向東北方ON，為了緩解城市交通壓力，現準備修建一條繞城高速公路L，并在MO,ON上分別設置兩個出口A,B，若AB部分為直線段，且要求市中心O與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為()二、多選題11．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30。，該小車在公路上由東向西勻速行駛7．5分鐘后，到達B處，此時測A．此山的高PO=kmB．小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最小仰角為30。C．PA=2kmD．小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最大仰角的正切值為20 下列說法正確的是()A．‘ABC是等邊三角形B．若AC=2，則A,B,C,D四點共圓C．四邊形ABCD面積最大值為+3D．四邊形ABCD面積最小值為一313．在‘ABC中，若B=，角B的平分線BD交AC于D，且BD=2，則下列說法正確的是ADDC 214．在銳角ΔABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R，若a=，15．設ΔABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．下列有關等邊三角形的四個命題中正確的是().16．已知ΔABC三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且ZC=，c=2．則下列結論A.ΔABC面積的最大值為B．.的最大值為2+) 三、填空題2，有下列結論：其中正確的是填寫所有正確結論的編號）中點，若AM=4，則AC+AB的最大值為.21．如圖，在平面四邊形ABCD中，DC=2AD=4，ZBAD=ZBDC=，22．如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，ZABC=,（2）若ACLBD，求tanZABD.參考答案：【分析】A、B由三角形面積公式及余弦定理判斷；C由A、B分析sinA+2cosA合輔助角公式、正弦函數性質即可確定目標式最大值；D根據C的分析，結合基本不等式可得sinA+2cosA>2，應用同角三角函數關系及三角形內角性質求得0<sinA<，根據A的結論即可求目標式最大值.ΔABC的面積為S=a22bcsinAa22則a2=bcsinA，A錯誤；b22a2b2+c2bcsinA 2 +—sinA，所以 +所以 +的最大值為，C正確；b由C分析知：sinA+2b4所以0<sinA<，而sinA=，故的最【分析】由面積公式與正余弦定理化簡后得出A,B關系后求解|π【分析】由sin2A+sin2B一sin2C=sinA.sinB，結合正余弦定理求得角C，繼而由sinBsinCcosAcosC 結合正余弦定理求出c=2，再表示出a=4sinA，b=4sinB，利用三角函數的性質求得a+b的范圍，即可求得答案.2=，而Ce0,，則C=，c2 2‘ABC是銳角三角形且C=，有Ae0,，B=一Ae0,，解得Ae,，2c【分析】根據余弦定理和‘ABC的面積公式，結合題意求出sinA、cosA的值，再用C表示一bcsinA，2S=a2-(b-c)2所以bcsinA=a2-b2-c2+2bc，‘ABC中，由余弦定理得，a2-b2-c2=-2bccosA，則bcsinA=2bc-2bccosA，化簡得5sin2A-4sinA=0，解得sinA=或sinA=0（不合題意，舍去因為Ae0,，所以C=π-A-B，又因為Be(0,)，所以π-Be(,π)，所以C=π-A-Be(-A,π-A)，因為Ce(0,)，所以Ce-A,，所以e,，=+44所以t=時，y取得最大值為ymax=2，求出最值.【詳解】如圖所示，-taB)tanB，再利用基本不等式 所以b=sin)，tB所以b+2c的最小值為8.【分析】設OE=t(t>0)，由三角形中的中位線的性質和比例的性質可得出t2+14tt2+14t,再得出421，由三角形的面積公式表示‘ABC的面積，根據二次函數的最值可得選項.【詳解】因為D,E分別是邊AB，AC的中點，所以DE//BC,DE=BC，所以==，2224大值6，t4【點睛】本題考查三角形的面積的最值求解，關鍵在于運用三角形的中位線性質和比例性質得出線段間的關系，再運用余弦定理和三角形的面積公式表示三角形的面積為一個變量的函數，屬于較難題.【分析】由條件可得CD=AB=c，然后根據余弦定理可得a2+b2=5c2、然后利用對勾函數的性質求出cosC的范圍即可.【詳解】如圖所示：,連接CG，并延長交AB于D，由G是三角形的重心，得D是AB的中點，∵AGLBGDG=AB=c，由重心的性質得CD=3DG，即CD=ABC2=BD2+CD22BD.CD.cosZBDC，2∵ZAGD>ZACD，ZBGD>ZBCD90O=ZAGB>ZACBZACB為銳角，∵‘ABC是鈍角三角形ZBAC或ZABC為鈍角，:b2+c2<a2或a2+c2<b【分析】設AC=x，ZBAC=θ,則AB=2x，結合正弦定理表示得S‘ABC=AB.AC.sinZBAC,由余弦定理可得x與θ的關系式，聯立前式由同角三角函數和二次函數性質化簡即可求解【詳解】如圖，設設AC=x，ZBAC=θ,則由正弦定理可得sinAD=sinDB①,可得=，則AB=2x，則S△ABC=AB.AC.sinZBAC=x.2x.sinθ=x2.sinθ,對‘ABC，由余弦定理可得cosZBAC=AB2CBC2245x2365x23625x4360x2+362【點睛】本題考查由三角形的邊角關系求解面積最值，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于難題，ABAC本題中的角平分線性質可當結論進行識記：AD為‘ABC的角平分線，ABAC BD 【分析】根據正弦和角公式化簡得ΔABC是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成θ的三角函數，利用三角函數求得最值.又因為b=c,所以ΔABC是等邊三角形.且SΔABO=AOXOBXsinθ=sinθ,因為平面四邊形OACB面積為此時平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【點睛】本題關鍵在于把所求面積表示成角的三角函數，屬于難度題.【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到AB2之(2+)ab，使用正弦定理及三角恒等變換得到ab之，進而求得AB的最短距離.【詳解】22當且僅當a=b時取等號，又O到AB的距離為20千米，所以a=Q22所以AB22，得AB，22【分析】分別求出PO、PA的值判斷AC；由等面積法可得O到AB的距離h=km，再求最大仰角的正切，可判斷D;由AO>BO判斷B.所以由等面積法可得O到AB的距離h=km，PO20PO20故選：BCD.【分析】根據正弦定理及三角恒等變換化簡條件式可判定A，由余弦定理可判定B，設ZD=θ,由正弦定理結合三角函數的性質可判定C、D.【詳解】由正弦定理a=2RsinA,b=2Rsi對于B，若A,B,C,D四點共圓，則四邊形對角互補，由A正確知ZD=,cosDDC2+DA2AC22.DA.DC:B不正確.2(2)2=一子一,△ADCsinθ△ADC四邊形ABCD‘ABC‘ADC四邊形ABCD‘ABC‘ADCcosθ,sinθcosθ+,四邊形ABCD四邊形ABCD故選：AC.<+3，:C正確，D不正確；【分析】A、B、C選項由已知結合正弦定理和差角公式及同角的基本關系進行變形即可判斷，D選項用角θ表示出AB+BC結合三角恒等變換以及均值不等式即可判斷.角B的平分線BD交AC于D，所以ZABD=ZCBD,ADABCDBC因為BD=BC，由正弦定理sin=sinZADB,sin=sinZBDC，因為ZADB和ZBDC互sinθsinθ + sinθ+cosθ +sinθ sinθ+cosθcosθ+sinθ43434333 33 +=θ=θ=或tanθ=θ=θ=或tanθ=3，故3綜上：當‘ABC為等邊三角形時，AB+BC的最小值是，故D正確.故選：ACD.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現“邊化角”，二是利用余弦定理實現“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值.【分析】由正弦定理求外接圓半徑；由題設知sinBE(,1)，結合b=2RsinB即可求范圍；由余弦定理及基本不等式求bc的最大值，注意取最大的條件；由C分析有b2222)9，結合正弦定理邊角關系及B,C的范圍，應用二倍角正余弦等恒等變換，根據三角函數的值域求范圍.cosA=正確；b22a22bc又B=CE(,)且CE(,)，則b222C)所以b2+c2+3bcE(11,15]，D正確.故選：ACD三角恒等變換將b2+c2轉化為三角函數性質求范圍.【分析】根據正弦定理及三角函數的圖象與性質及導數判斷函數單調性，即可判斷ABCD的真假.由正弦定理可知：任意‘ABC都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；∴‘ABC是等邊三角形，正確.∴‘ABC是等邊三角形，正確.f'(x)=xcossinx=(x-ta)cosx，0<x<時，x<tanx，∴函數f(x)在0,上單調遞減，因此==不成立.綜上可得：‘ABC是等邊三角形，正確.故選：BCD.【分析】A選項，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項，先利用向量的數量積計算公式和余弦定理得.=b2+一a2，利用正弦定理和三角恒等變換得到b2a2=cos2B,結合B的取值范圍求出最大值；C選項，利用正弦定理進行求cosBcosAcosBcosAtanA一，結合A的取值范圍得到的取值范圍.22 所以b2a2= 故b2a2=cos2B最大值為，22B正確；故C錯誤；cosB=cosA+=sinAcosA=3tanA1，cosAcosAcosA22故選：AB【點睛】三角函數相關的取值范圍問題，常常利用正弦定理，將邊轉化為角，結合三角函數性質及三角恒等變換進行求解，或者將角轉化為邊，利用基本不等式進行求解.【分析】利用同角的三角函數的基本關系結合面積、余弦定理可得a,c，計算出sinA可判斷A的正誤，而利用余弦定理、基本不等式可得關于A的三角函數不等式，從而可判斷B的合已知條件可判斷三角形是否存在.【詳解】設A,B,C所對的邊為a,b,c，因為‘ABC面積為12，故acsinB對于A，若cosB=，結合B為三角形內角可得sinB=，故ac=24.對于B，由余弦定理可得b2+c2-2b所以b2+c2=2bccosA+36>2bc即18>bc(1-cosA)，當且僅當b=c時等號成立.Acos2sinA=Acos22tanA 2=AA223<43<4 2512，故sinA的最大值為時等號成立，故B錯誤.22=36-2bccosA=bcsinA-2bccosA，bcbcbcbc22-2bccosA=36l5c-4ccosA=3622-2bccosA=36l5c-4ccosA=36222所以=，整理得到6sinA+8cosA=17，但6sinA+8cosA<10，故矛盾即=4不成立.所以=，整理得到3sinA+4cosA=5，故D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：三角形一般有7個幾何量（三邊和三角以及外接圓的半徑由已知的三個量一般可求出其余的四個量，求解過程中注意選擇合適的定理來解決，另外在邊角關系的轉化的過程，注意根據邊的特征和角的特征合理消元.18.①②④22-c2<0，故ΔABC為鈍角三角形.a22-c2a2+b2-c25k2ln22-c2 2ab ,5k2ln22-c22ln22-1.t=4，a=ln2時，ΔABC的面積為，故四個結論中，只有③不正確.填①②④.【點睛】解三角形中運用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式進邊角互換及運算是常見題形，要注意三角形內角和為180。來減少角的個數，及兩邊之和大于第三邊，兩邊第差小于第三邊來構造不等關系是常用處理技巧.【分析】由正弦定理和題設條件，得到A=B，即a=b，再在ΔABM和△ACM中，由余弦【詳解】因為acosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，在ΔABM中，由余弦定理，可得c2=AM2+BM2一2AM.BMcosZAMB=4在△ACM中，由余弦定理，可得c2=AM2+CM2一2AM因為ZAMB=πZAMC，所以cosZAMB=cosZAMC，222，2max故答案為：8.20.20.【詳解】分析：連接CD，因為DE是中垂線，所以AD=CD.在ΔBCD中，由正弦定理得到CD與角A的關系.在直角三角形DCE中，DE=CDsinA，兩者結合可得A的大小，從而在ΔABC中利用正弦定理求得AB，最后在ΔABE中利用余弦定理