關于試驗設計方法2①例如：為了提高產量，提高某有效成分的收率，改善產品的質量而進行的改變原料配比和工程條件試驗；②在試驗農場，為了掌握作物取得最高產量和提高產品質量所需要的栽培條件而進行的品種對比試驗，施肥對比試驗、農藥效果對比試驗……等。這些試驗的目的是一樣的，都要弄清楚試驗過程中自變量對于因變量的影響的大小和趨勢，有時還要尋找其最佳條件。第2頁,共193頁，2024年2月25日，星期天35.1概述

在工業生產和科學研究的實踐中，所需要考察的因素往往很多，而且因素的水平數也常常多于2個，若對每個因素的每個水平都相互搭配進行全面實驗，試驗次數是驚人的，如：對于3因素4水平的試驗，若在每個因素的每個水平搭配上只作一次試驗，就要做

次試驗。第3頁,共193頁，2024年2月25日，星期天4對于4因素4水平的試驗，全面實驗次數至少為次，對于5因素4水平的全面實驗次數至少為次。可見，因素的增加，試驗次數增加很快。用正交試驗，可以大大減少，而且統計分析的計算也將變得簡單。正交試驗設計簡稱正交設計，它是利用正交表科學地安排與分析多因素試驗的方法，是最常用的試驗設計方法之一。第4頁,共193頁，2024年2月25日，星期天51、試驗設計方法常用的術語：試驗指標：作為試驗研究過程的因變量，常為試驗結果特征的量（如收率、純度等），見下圖。因素：作為試驗研究過程的自變量，常常是造成試驗指標按某種規律發生變化的那些原因。如圖所列的成分、溫度等。常用C，T等符號表示。第5頁,共193頁，2024年2月25日，星期天6水平：試驗中因素所處的具體狀態或情況，又稱為等級。舉例

第6頁,共193頁，2024年2月25日，星期天75.2正交試驗設計方法簡介正交試驗設計方法的優點和特點：用正交表安排多因素試驗的方法，稱為正交試驗設計法。我國60年代開始使用，70年代得到推行。第7頁,共193頁，2024年2月25日，星期天8此方法的特點：完成試驗要求所需的實驗次數少。數據上的分布很均勻；可用相應的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對試驗結果進行分析，引出許多有價值的結論。第8頁,共193頁，2024年2月25日，星期天9例5-1

某化工廠想提高某化工產品的質量和產量，對工藝中三個主要因素各按三個水平進行試驗（見表5-1）。試驗的目的是為提高合格產品的產量，尋求最適宜的操作條件。對此實例該如何進行試驗方案的設計呢？第9頁,共193頁，2024年2月25日，星期天10很容易想到的是全面搭配法方案：第10頁,共193頁，2024年2月25日，星期天11很容易想到的是全面搭配法方案：第11頁,共193頁，2024年2月25日，星期天12此方案數據點分布的均勻性極好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺點是實驗次數多達

次（指數3代表3個因素，底數3代表每因素有3個水平）。因素、水平數愈多，則實驗次數就愈多，例如，做一個6因素3水平的試驗，就需

次實驗，顯然難以做到。因此需要尋找一種合適的試驗設計方法。第12頁,共193頁，2024年2月25日，星期天13常用的試驗設計方法有：正交試驗設計法、均勻試驗設計法、單純形優化法、雙水平單純形優化法、回歸正交設計法、序貫試驗設計法等。可供選擇的試驗方法很多，各種試驗設計方法都有其一定的特點。所面對的任務與要解決的問題不同，選擇的試驗設計方法也應有所不同。第13頁,共193頁，2024年2月25日，星期天145．3正交試驗設計方法的優點和特點用正交表安排多因素試驗的方法，稱為正交試驗設計法。其特點為：①完成試驗要求所需的實驗次數少。②數據點的分布很均勻。③可用相應的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對試驗結果進行分析，引出許多有價值的結論。第14頁,共193頁，2024年2月25日，星期天15從例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次實驗。那么采用簡單比較法方案又如何呢？先固定T1和p1，只改變m，觀察因素m不同水平的影響，做了三次實驗，發現m＝m2時的實驗效果最好，合格產品的產量最高，因此認為在后面的實驗中因素m應取m2水平。固定T1和m2，改變p的三次實驗，發現p＝p３時的實驗效果最好，因此認為因素p應取p３水平。

固定p３和m2，改變T

的三次實驗，發現因素T宜取T2水平。第15頁,共193頁，2024年2月25日，星期天16因此可以引出結論：為提高合格產品的產量，最適宜的操作條件為T2p３m2。與全面搭配法方案相比，簡單比較法方案的優點是實驗的次數少，只需做9次實驗。但必須指出，簡單比較法方案的試驗結果是不可靠的。運用正交試驗設計方法，不僅兼有上述兩個方案的優點，而且實驗次數少，數據點分布均勻，結論的可靠性較好。第16頁,共193頁，2024年2月25日，星期天17正交試驗設計方法：正交試驗設計方法是用正交表來安排試驗的。對于例1適用的正交表是L9（34），其試驗安排見表5-2。第17頁,共193頁，2024年2月25日，星期天18第18頁,共193頁，2024年2月25日，星期天19所有的正交表與L9（34）正交表一樣，都具有以下兩個特點：

（1）在每一列中，各個不同的數字出現的次數相同。在表L9（34）中，每一列有三個水平，水平1、2、3都是各出現3次。

第19頁,共193頁，2024年2月25日，星期天20（2）表中任意兩列并列在一起形成若干個數字對，不同數字對出現的次數也都相同。在表L9（34）中，任意兩列并列在一起形成的數字對共有9個：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一個數字對各出現一次。第20頁,共193頁，2024年2月25日，星期天21這兩個特點稱為正交性。正是由于正交表具有上述特點，就保證了用正交表安排的試驗方案中因素水平是均衡搭配的，數據點的分布是均勻的。因素、水平數愈多，運用正交試驗設計方法，愈發能顯示出它的優越性，如上述提到的6因素3水平試驗，用全面搭配方案需729次，若用正交表L27（313）來安排，則只需做27次試驗。第21頁,共193頁，2024年2月25日，星期天22在化工生產中，因素之間常有交互作用。如果上述的因素T的數值和水平發生變化時，試驗指標隨因素p變化的規律也發生變化，或反過來，因素p的數值和水平發生變化時，試驗指標隨因素T變化的規律也發生變化。這種情況稱為因素T、p間有交互作用，記為T×P。第22頁,共193頁，2024年2月25日，星期天235.4正交表使用正交設計方法進行試驗方案的設計，就必須用到正交表.5.4.1各列水平數均相同的正交表各列水平數均相同的正交表，也稱單一水平正交表。這類正交表名稱的寫法舉例如下：第23頁,共193頁，2024年2月25日，星期天24什么是正交表？正交表本身只是數學的含義【整齊可比性】：每一列中所有數字出現的次數是相等的。【均衡分散性】：任意兩列間橫向組合的數字對搭配次數也是相等的。正交表是運用組合數學理論構造的一種規格化的表格。第24頁,共193頁，2024年2月25日，星期天25關于正交的直觀印象數據點分布是均勻的；每一個面都有3個點；每一條線都有1個點；第25頁,共193頁，2024年2月25日，星期天26正交表的記號及含義正交表是一種特別的表格，是正交設計的基本工具。我們只介紹它的記號、特點和使用方法。第26頁,共193頁，2024年2月25日，星期天27

記號及含義正交表的列數（最多能安排的因素個數，包括交互作用、誤差等）正交表的行數（需要做的試驗次數）各因素的水平數（各因素的水平數相等）q正交表的代號第27頁,共193頁，2024年2月25日，星期天28如表示？表示各因素的水平數為2，做8次試驗，最多考慮7個因素（含交互作用）的正交表。第28頁,共193頁，2024年2月25日，星期天29

正交表的特點1、正交表中任意一列中，不同的數字出現的次數相等；表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻分布的（每個因素的各水平出現的次數相同）

——整齊可比性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數字看成有序數對時，所有可能的數對出現的次數相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出現的次數相等

——均衡分散性這是設計正交試驗表的基本準則

第29頁,共193頁，2024年2月25日，星期天30

正交試驗設計的基本步驟

確定目標、選定因素（包括交互作用）、確定水平；2.選用合適的正交表；3.按選定的正交表設計表頭，確定試驗方案；4.組織實施試驗；5.試驗結果分析。第30頁,共193頁，2024年2月25日，星期天31一個例子某化工廠想提高某化工產品的質量和產量，對工藝中三個主要因素各按三個水平進行試驗。試驗的目的是為提高合格產品的產量，尋求最適宜的操作條件水平因素溫度℃壓力MPa加堿量kg符號Tpm123T1(80)T2(100)T3(120)P1(5.0)P2(6.0)P3(7.0)M1(2.0)M2(2.5)M3(3.0)第31頁,共193頁，2024年2月25日，星期天32如何安排試驗？全組合方法T1T2T3P1P2P3m1m1m127組第32頁,共193頁，2024年2月25日，星期天33如何安排試驗？正交試驗設計－用正交表L9（34）序號列號1234ABC123456789111222333123123123123231312123312231第33頁,共193頁，2024年2月25日，星期天34正交表本身只是數學的含義【整齊可比性】：每一列中所有數字出現的次數是相等的【均衡分散性】：任意兩列間橫向組合的數字對搭配次數也是相等的正交表是運用組合數學理論構造的一種規格化的表格第34頁,共193頁，2024年2月25日，星期天35三因素三水平，選用正交表L9（34）T1T2T3P1P2P3m1m1m1？？第35頁,共193頁，2024年2月25日，星期天36用正交表安排試驗正交試驗設計－用正交表L9（34）試驗號列號1234因素TPm（空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319組第36頁,共193頁，2024年2月25日，星期天37列號

試驗號123試驗指標yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4K1j

K2j

nK1=K1j/

nK2=K2j/

n

極差Y1+Y2Y3+Y42K1/nK1/nmax{}-min{}Y1+Y3Y2+Y42K2/nK2/nmax{}-min{}Y1+Y4Y2+Y32K3/nK3/nmax{}-min{}第37頁,共193頁，2024年2月25日，星期天38各列水平均為2的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。各列水平數均為3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。各列水平數均為4的常用正交表有：L16（45）各列水平數均為5的常用正交表有：L25（56）第38頁,共193頁，2024年2月25日，星期天395.5混合水平正交表各列水平數不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一個混合水平正交表名稱的寫法：

L8（41×24）常簡寫為L8（4×24）。此混合水平正交表含有1個4水平列，4個2水平列，共有1＋4＝5列。第39頁,共193頁，2024年2月25日，星期天405.6選擇正交表的基本原則一般都是先確定試驗的因素、水平和交互作用，后選擇適用的L表。在確定因素的水平數時，主要因素宜多安排幾個水平，次要因素可少安排幾個水平。

（1）先看水平數。若各因素全是2水平，就選用L(2＊)表；若各因素全是3水平，就選L(3＊)表。若各因素的水平數不相同，就選擇適用的混合水平表。第40頁,共193頁，2024年2月25日，星期天41

（2）每一個交互作用在正交表中應占一列或二列。要看所選的正交表是否足夠大，能否容納得下所考慮的因素和交互作用。為了對試驗結果進行方差分析或回歸分析，還必須至少留一個空白列，作為“誤差”列，在極差分析中要作為“其他因素”列處理。

（3）要看試驗精度的要求。若要求高，則宜取實驗次數多的L表。第41頁,共193頁，2024年2月25日，星期天42

（4）若試驗費用很昂貴，或試驗的經費很有限，或人力和時間都比較緊張，則不宜選實驗次數太多的L表。

（5）按原來考慮的因素、水平和交互作用去選擇正交表，若無正好適用的正交表可選，簡便且可行的辦法是適當修改原定的水平數。第42頁,共193頁，2024年2月25日，星期天43（6）對某因素或某交互作用的影響是否確實存在沒有把握的情況下，選擇L表時常為該選大表還是選小表而猶豫。若條件許可，應盡量選用大表，讓影響存在的可能性較大的因素和交互作用各占適當的列。某因素或某交互作用的影響是否真的存在，留到方差分析進行顯著性檢驗時再做結論。這樣既可以減少試驗的工作量，又不致于漏掉重要的信息。第43頁,共193頁，2024年2月25日，星期天445．7正交試驗的操作方法（1）分區組。對于一批試驗，如果要使用幾臺不同的機器，或要使用幾種原料來進行，為了防止機器或原料的不同而帶來誤差，從而干擾試驗的分析，可在開始做實驗之前，用L表中未排因素和交互作用的一個空白列來安排機器或原料。與此類似，若試驗指標的檢驗需要幾個人（或幾臺機器）來做，為了消除不同人（或儀器）檢驗的水平不同給試驗分析帶來干擾，也可采用在L表中用一空白列來安排的辦法。這樣一種作法叫做分區組法。第44頁,共193頁，2024年2月25日，星期天45

（2）因素水平表排列順序的隨機化。如在例5-1中，每個因素的水平序號從小到大時，因素的數值總是按由小到大或由大到小的順序排列。按正交表做試驗時，所有的1水平要碰在一起，而這種極端的情況有時是不希望出現的，有時也沒有實際意義。因此在排列因素水平表時，最好不要簡單地按因素數值由小到大或由大到小的順序排列。從理論上講，最好能使用一種叫做隨機化的方法。所謂隨機化就是采用抽簽或查隨機數值表的辦法，來決定排列的。第45頁,共193頁，2024年2月25日，星期天46

（3）試驗進行的次序沒必要完全按照正交表上試驗號碼的順序。為減少試驗中由于先后實驗操作熟練的程度不勻帶來的誤差干擾，理論上推薦用抽簽的辦法來決定試驗的次序。

（4）在確定每一個實驗的實驗條件時，只需考慮所確定的幾個因素和分區組該如何取值，而不要（其實也無法）考慮交互作用列和誤差列怎么辦的問題。交互作用列和誤差列的取值問題由實驗本身的客觀規律來確定，它們對指標影響的大小在方差分析時給出。第46頁,共193頁，2024年2月25日，星期天47

（5）做實驗時，要力求嚴格控制實驗條件。這個問題在因素各水平下的數值差別不大時更為重要。例如，例5-1中的因素（加堿量）m的三個水平：m1＝2.0，m2=2.5，m3=3.0，在以m＝m2=2.5為條件的某一個實驗中，就必須嚴格認真讓m2=2.5。若因為粗心和不負責任，造成m2=2.2或造成m2=3.0，那就將使整個試驗失去正交試驗設計方法的特點，使極差和方差分析方法的應用喪失了必要的前提條件，因而得不到正確的試驗結果。第47頁,共193頁，2024年2月25日，星期天485．8正交試驗結果分析方法

正交試驗方法之所以能得到科技工作者的重視并在實踐中得到廣泛的應用，其原因不僅在于能使試驗的次數減少，而且能夠用相應的方法對試驗結果進行分析并引出許多有價值的結論。因此，有正交試驗法進行實驗，如果不對試驗結果進行認真的分析，并引出應該引出的結論，那就失去用正交試驗法的意義和價值。第48頁,共193頁，2024年2月25日，星期天495.9極差分析方法正交試驗結果的極差分析方法，極差指的是各列中各水平對應的試驗指標平均值的最大值與最小值之差。用極差法分析正交試驗結果可引出以下幾個結論：第49頁,共193頁，2024年2月25日，星期天50（1）在試驗范圍內，各列對試驗指標的影響從大到小的排隊。某列的極差最大，表示該列的數值在試驗范圍內變化時，使試驗指標數值的變化最大。所以各列對試驗指標的影響從大到小的排隊，就是各列極差D的數值從大到小的排隊。

第50頁,共193頁，2024年2月25日，星期天51（2）試驗指標隨各因素的變化趨勢。為了能更直觀地看到變化趨勢，常將計算結果繪制成圖。（3）使試驗指標最好的適宜的操作條件（適宜的因素水平搭配）。（4）可對所得結論和進一步的研究方向進行討論。第51頁,共193頁，2024年2月25日，星期天52用正交表安排試驗正交試驗設計－用正交表L9（34）試驗號列號1234因素TPm（空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319組第52頁,共193頁，2024年2月25日，星期天53第53頁,共193頁，2024年2月25日，星期天54第54頁,共193頁，2024年2月25日，星期天55正交試驗結果分析極差分析法極差指的是各列中各水平對應的試驗指標平均值的最大值與最小值之差

列號

試驗號123試驗指標yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4以L4（23）為例第55頁,共193頁，2024年2月25日，星期天56列號

試驗號123試驗指標yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4Kj1

Kj2

nKj1/

nKj2/

n

極差Y1+Y2Y3+Y42I1/KII1/Kmax{}-min{}Y1+Y3Y2+Y42I2/KII2/Kmax{}-min{}Y1+Y4Y2+Y32I3/KII3/Kmax{}-min{}第56頁,共193頁，2024年2月25日，星期天57極差分析法:某列的極差最大，表示該列的數值在試驗范圍內變化時，使試驗指標數值的變化最大。所以各列對試驗指標的影響從大到小的排隊，就是各列極差D的數值從大到小的排隊試驗指標隨各因素的變化趨勢。為了能更直觀地看到變化趨勢，常將計算結果繪制成圖。第57頁,共193頁，2024年2月25日，星期天58一個實例項目：研究某種鋼質工件的熱處理工藝.任務：提高鋼材硬度.水平因素淬火溫度℃回火溫度℃回火時間min符號T1T2t123840850860410430450406080第58頁,共193頁，2024年2月25日，星期天59正交表安排試驗試驗號列號1234硬度因素T1T2tyj123456789840840840850850850860860860123123123410430450430450410450410430406080804060608040190200175165183212196178187第59頁,共193頁，2024年2月25日，星期天60正交試驗結果分析直觀分析：第6組淬火溫度850℃，回火溫度410℃，回火時間60min的效果最好，指標硬度最高.第60頁,共193頁，2024年2月25日，星期天61正交試驗結果分析K1K2K3nK1=K1/

nK2=K2/

n

k3=K3/

n極差D5655605613188.333186.6671871.6665515615743183.667187191.3337.6665805525543193.333184184.6679.3335606085183186.667202.667172.66730回火時間t2>回火溫度T21>淬火溫度T11

60min410℃

840℃

第61頁,共193頁，2024年2月25日，星期天621、單試驗指標正交實驗[例1]某煉鐵廠為了提高鐵水的溫度，需要通過試驗選擇最好的生產方案。經初步分析，主要有3個因素影響鐵水的溫度，它們是焦比、風壓和底焦高度，每個因素都考慮3個水平，具體見下表。問對這3個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度？第62頁,共193頁，2024年2月25日，星期天63第63頁,共193頁，2024年2月25日，星期天64第64頁,共193頁，2024年2月25日，星期天65第65頁,共193頁，2024年2月25日，星期天66第66頁,共193頁，2024年2月25日，星期天67第67頁,共193頁，2024年2月25日，星期天68第68頁,共193頁，2024年2月25日，星期天692、正交試驗多指標分析法綜合分析法：[例2]：為了提高某產品質量，要對生產該產品的原料進行配方試驗，要檢驗3項指標；抗壓強度、落下強度和裂紋度。前兩個指標越大越好，第3個指標越小越好，根據以往的經驗，配方中有3個重要因素；水份，粒度和堿度。它們各有3個水平，試進行試驗分析，找出最好的配方方案。第69頁,共193頁，2024年2月25日，星期天70第70頁,共193頁，2024年2月25日，星期天71第71頁,共193頁，2024年2月25日，星期天72第72頁,共193頁，2024年2月25日，星期天73第73頁,共193頁，2024年2月25日，星期天74第74頁,共193頁，2024年2月25日，星期天75抗壓強度：B3C1A2落下強度：B3C2A3裂紋度：A2C1B3這個方案不完全相同，對一個指標是好方案，而對另一個指標卻不一定是好方案，如何找出對各個指標都較好的一個共同方案呢？這正是我們要解決的，第75頁,共193頁，2024年2月25日，星期天76通過各因素對各指標影響的綜合分析，得出較好的試驗方案是：

B3粒度第3水平8C1堿度第1水平1.1

A2水份第2水平9第76頁,共193頁，2024年2月25日，星期天77綜合平衡法：分析多指標的分析方法是：先分別考察每個因素對各指標的影響，然后進行分析比較，確定出最好的水平從而得出最好的試驗方案，這種方法叫綜合平衡法。對多指標的問題，要做到真正好的綜合平衡，有時是很困難的，這是綜合平衡法的缺點。綜合評分法，在某種意義上可以克服這個缺點。第77頁,共193頁，2024年2月25日，星期天78綜合評分法綜合評分法：就是根據各個指標的重要性的不同，給每一個試驗評出一個分數，作為這個試驗的總指標（一個指標！），根據這個總指標（分數），利用上例（直觀分析法）作進一步的分析，從而選出較好的試驗方案。第78頁,共193頁，2024年2月25日，星期天79舉例說明：[例3]：某廠生產一種化工產品，需要檢驗兩個指標：核酸純度和回收率，這兩個指標都是越大越好，有影響的因素有4個，各有3個水平，具體情況見下表，試通過試驗找出較好方案，使產品的核酸含量和回收率都有所提高。第79頁,共193頁，2024年2月25日，星期天80第80頁,共193頁，2024年2月25日，星期天81這個方法的關鍵是如何評分，下面著重介紹評分的方法。在這個試驗中，兩個指標的重要性是不同的，根據實驗經驗知道，純度的重要性要比回收重要性大，如果化成數量來看，可認為純度是回收率的4倍，也就是說若將回收率看成1，純度就4，這個4和1分別叫兩個指標的權，按這個權給出每個試驗的總分為：總分＝4×純度+1×回收率算出每個試驗的分數，列在表的最右邊，再根據這個分數，用直觀分析第81頁,共193頁，2024年2月25日，星期天82第82頁,共193頁，2024年2月25日，星期天83第83頁,共193頁，2024年2月25日，星期天845.10混合水平的正交試驗設計實際問題中，有時各因素的水平數是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗問題，解決這類問題一般比較復雜，有兩種方法：（1）直接利用混合水平的正交表；（2）擬水平法，把水平不同的問題化成水平數相同的問題來處理。第84頁,共193頁，2024年2月25日，星期天85混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平數不完全相等的正交表。例如：L8（4×24）表示做8次試驗，最多可安排5個因素，其中1個是4水平的（第1例），4個是2水平的（第2列到第5列）。第85頁,共193頁，2024年2月25日，星期天86第86頁,共193頁，2024年2月25日，星期天87L8（4×24）表有兩個重要特點：（1）每一列中不同數字出現的次數是相同的。例如：第1列中有4個數字，1,

2，3,

4，它們各出現2次，第2列到第5列中，都只有兩個數字1,2，它們各出現4次。第87頁,共193頁，2024年2月25日，星期天88（2）每兩列各種不同的水平搭配出現的次數是相同的。但要注意，每兩列不同水平的搭配的個數是不完全相同的。例如：第1列是4水平的列，它和其它任何一個水平的列數在一起，由行組成的不同的數對一共有8個：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2）它們各出現一次；2列到第5列都是2水平列，它們之間任何兩列的不同水平的搭配共有4個：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）它們各出現兩次。第88頁,共193頁，2024年2月25日，星期天89由以上兩點看出，每個因素的各水平之間的搭配也是均衡的。其它常用的混合水平正交表還有：L12（31×24），L16（41×212），L16（43×28），L18（21×37）第89頁,共193頁，2024年2月25日，星期天90例4：某農科站進行品種試驗，共有4個因素：A（品種）、B（氮肥量）、C（氮、磷、鉀肥比例），D（規格）。因素A是4水平的，另外3個因素都是2水平的，具體數值見下表，試驗指標是產量，數值越大越好，試用混合正交表安排試驗，找出最好的試驗方案。第90頁,共193頁，2024年2月25日，星期天91第91頁,共193頁，2024年2月25日，星期天92第92頁,共193頁，2024年2月25日，星期天93第93頁,共193頁，2024年2月25日，星期天945.11擬水平法[例5]今有某一試驗，試驗指標只有一個，它的數值越小越好，這個試驗有4個因素A，B，C，D，其中C是2水平的，其余3個因素都是3水平的，見下表，試安排試驗，并對試驗結果進行分析，找出最好的方案。第94頁,共193頁，2024年2月25日，星期天95第95頁,共193頁，2024年2月25日，星期天第96頁,共193頁，2024年2月25日，星期天97擬水平法實際是將水平少的因素歸入水平數多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平正交表可用時，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗的方法，可以對一個因素虛擬水平，也可以對多個因素虛擬水平。第97頁,共193頁，2024年2月25日，星期天98第98頁,共193頁，2024年2月25日，星期天99第99頁,共193頁，2024年2月25日，星期天小結極差分析法單試驗指標正交試驗設計多試驗指標正交試驗設計綜合分析:綜合平衡法;

綜合評分法;混合水平正交試驗設計:直接利用混合水平的正交試驗設計表;擬水平法.有交互作用正交試驗設計方差分析法第100頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1015.12有交互作用的正交試驗設計

在多因素試驗中，各因素不僅各自獨立地在起作用，而且各因素還經常聯合起來作用。即，不僅各個因素的水平改變時對試驗指標有影響，而且各因素的聯合搭配對指標也有影響，這就是交互作用。第101頁,共193頁，2024年2月25日，星期天102[例6]

有4塊試驗田，土質情況基本一樣，種植同樣的作物，現將氮肥，磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均畝產，記在下表中。第102頁,共193頁，2024年2月25日，星期天103第103頁,共193頁，2024年2月25日，星期天104從表中可以看出（1）不加化肥時，平均畝產僅有200㎏，只加2㎏磷肥時，平均為225㎏，增加25㎏/畝。（2）只加3㎏氮肥時，平均畝產215㎏，增加15㎏/畝這兩種情況下的總增產值合計為40㎏。（3）但是同時加2㎏磷肥，3㎏氮肥時，平均為畝產280㎏增加80㎏/畝，比前兩種情況的總增產量又增加40㎏。第104頁,共193頁，2024年2月25日，星期天105（4）顯然這后一個40㎏，就是2㎏磷肥，3㎏氮肥聯合起來所起的作用，叫做磷肥，氮肥這兩個因素的交互作用。有下式：氮肥磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的總效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）交互作用是多因素試驗中經常遇到的問題。第105頁,共193頁，2024年2月25日，星期天106交互作用表安排有交互作用的多因素試驗，必須使用交互作用表。第106頁,共193頁，2024年2月25日，星期天107第107頁,共193頁，2024年2月25日，星期天108在安排試驗時，交互作用占一列，稱為交互作用列。表的使用：第1列號是（）的，從左向右看，第2個列號是不帶括號的。比如要查第2列和第4列交互作用列，先找到（2），從左往右查，再從表的最上端的列號中找到4從上往下查看，兩者交叉處的數字是6，它表示第2列和第4列的交互作用就是第6列。第108頁,共193頁，2024年2月25日，星期天109第二步表頭設計——查交互作用表

表示位于第二、第四列的兩因素的交互作用要放于第六列。如L8（27）的交互作用表列號12345671（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）1

注意：主效應因素盡量不放交互列。如A、B因素已放C1、C2列，則C因素就不放C3列。第109頁,共193頁，2024年2月25日，星期天110水平數相同的有交互作用的正交試驗[例7]一個3因素2水平的有交互作用某產品的產量取決于3個因素A、B、C，每個因素都有2個水平，數值見下圖。每兩個因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗指標為產量，越高越好。試安排試驗，并分析試驗結果。第110頁,共193頁，2024年2月25日，星期天111第111頁,共193頁，2024年2月25日，星期天112解：3因素2水平的試驗，3個因素A、B、C要占3列，它們之間的交互作用A×B，B×C，A×C占3列，共占6列，可用正交表L8（27），來安排實驗，若A、B分別放在第1、2列，從表中查出A×B就在第3列，因此C就不能放在第3列。現將C放在第4列，由正交表A×C應放在第5列，B×C應在第6列。第112頁,共193頁，2024年2月25日，星期天113第113頁,共193頁，2024年2月25日，星期天114第114頁,共193頁，2024年2月25日，星期天115從極差大小看出，影響最大的因素是C，以2水平為好；其次是A×B，以2水平為好，第三是因素A，以1水平為好，第四是因素B，以1水平為好。由于因素B影響較小，1水平和2水平差別不大，但考慮到A×B是2水平為好，它影響比B大，所以因素B取2水平為好。（A×C），（B×C）的極差很小，對試驗的影響很小，忽略不計。

第115頁,共193頁，2024年2月25日，星期天116綜合分析考慮，最好的方案應當是C2A1B2，從試驗結果看出，這個方案確實是8個試驗中最好的一個試驗。［C2→（A×B）2→A1→B1，結果C2A1B2］［注：4號實驗，產量為75kg］小結：用直觀分析法對試驗結果進行了必要的分析，直觀分析法的優點：簡單、直觀、易做、計算量少。

第116頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1175.13正交試驗設計的方差分析上一章介紹了單因素，雙因素方差分析，對于更多因素方差分析把上面實驗結果推廣就行了。5.13.1方差分析的步驟和格式設用正交表安排m個因素的試驗，試驗總數為n，試驗結果分別為x1，x2，……，xn，假定每個因素有na個水平，每個水平做a次試驗，則n=ana。第117頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1181、計算離差的平方和（1）總離差的平方和ST記：第118頁,共193頁，2024年2月25日，星期天119記為：ST＝QT－P第119頁,共193頁，2024年2月25日，星期天120ST反映了試驗結果的差異，它越大，說明各次試驗結果之間的差異越大，試驗的結果之所以會有差異，一是因素水平的變化所引起的，二是因為有試驗誤差，因此差異是不可避免的。第120頁,共193頁，2024年2月25日，星期天121（2）各因素離差的平方和下面以計算因素A的離差的平方和SA為例來說明，設因素A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗。用Xij表示因素A的第i個水平的第j個試驗的結果（i=1,2,…na;j=1,2,…a）,則有：第121頁,共193頁，2024年2月25日，星期天122則有：第122頁,共193頁，2024年2月25日，星期天123記為：SA＝QA－P其中:Ki表示因素的第i個水平a次試驗結果的和.

第123頁,共193頁，2024年2月25日，星期天124SA反映了因素A的水平變化時所引起的試驗結果的差異，即因素A對試驗結果的影響。用同樣的方法可以計算其它因素的離差的平方和。對于兩因素的交互作用，我們把它當成一個新的因素看待，如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如：SA×B＝S（A×B）1+S（A×B）2第124頁,共193頁，2024年2月25日，星期天125（3）試驗誤差的離差的平方和SE設S(因+交)為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因為：ST＝S(因+交)+SE

SE為試驗誤差的離差平方和所以：SE＝ST－S(因+交)第125頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1262、計算自由度試驗的總自由度：f總＝試驗總次數－1＝n－1各因素的自由度：f因＝因素的水平數－1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積如：f（A×B）=fA×fB記fE為試驗誤差的自由度，因為：f總＝f（因+交）+fE所以：fE＝f總－f（因+交）第126頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1273.計算平均離差平方和（均方）有：第127頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1284.求F比將各因素的平均離差的平方和與誤差的平方和相比，得出F值，這個比值的大小反映了各因素對試驗結果影響程度的大小。第128頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1295.對因素進行顯著性檢驗對給出的檢驗水平α，從F頒布表中查出Fα（f因，fE）（通常叫臨界值）F＞Fα（f因，fE），說明該因素對試驗結果的影響顯著，兩數差別越大，說明該因素的顯著性越大；若F＜Fα（f因，fE），說明該因素對試驗結果的影響不顯著。第129頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1305.13.2

3水平的方差分析3水平正交設計是最一般的正交設計，它的方差分析方法最具有代表性。[例8]為提高某產品的產量，需要考慮3個因素：反應溫度，反應壓力和溶液濃度，每個因素都取3個水平，見下表，考慮因素之間的所有一級交互作用，試找出較好的工藝條件。第130頁,共193頁，2024年2月25日，星期天131第131頁,共193頁，2024年2月25日，星期天132解：3因素3水平的試驗，每兩個因素的交互作用要占的兩列，3個因素的所有一級交互作用共有3個，共占6列，連同3個因素A，B，C，在正交表中共占9列，先L27（313），按該表安排3因素的表頭設計，見下表進行試驗第132頁,共193頁，2024年2月25日，星期天133第133頁,共193頁，2024年2月25日，星期天134第134頁,共193頁，2024年2月25日，星期天135第135頁,共193頁，2024年2月25日，星期天136第136頁,共193頁，2024年2月25日，星期天137首先

第137頁,共193頁，2024年2月25日，星期天138第138頁,共193頁，2024年2月25日，星期天139第139頁,共193頁，2024年2月25日，星期天140由此得出：SA＝QA－P＝2.04SB＝QB－P＝1.16SC＝QC－P＝155.87S（A×B）＝S（A×B）1+S（A×B）2＝Q（A×B）1－P+Q（A×B）2－P＝Q（A×B）1+Q（A×B）2－2P＝1.32第140頁,共193頁，2024年2月25日，星期天141

S（A×C）＝Q（A×C）1+Q（A×C）2－2P＝0.28S（B×C）＝Q（B×C）1+Q（B×C）2－2P＝0.18最后計算實驗誤差的差離平方和，有：SE＝ST－S因+交＝ST－（SA+SB+SC+SA×B+SB×C+SA×C）＝0.34第141頁,共193頁，2024年2月25日，星期天142自由度：fA=fB=fC=3-1=2F（A×B）=f（A×C）=f（B×C）=2×2=4f總＝n-1=27-1=26fE=f總－f因+交＝26－18＝8（2×3+4×3）=18第142頁,共193頁，2024年2月25日，星期天143計算平均離差的平方和（均方），然后求F。取α＝0.01，通常：①F>F0.01（f因，fE）該因素的影響是最顯著的“**”②F<F0.01（f因，fE），但F>F0.05（f因，fE）則稱該因素的影響是顯著的“*”②F<F0.05（f因，fE），則該因素的影響是不顯著的。第143頁,共193頁，2024年2月25日，星期天144第144頁,共193頁，2024年2月25日，星期天145可以看出，因素A，B，C和交互作用A×B對試驗結果的影響是顯著的，從大小看，因素C最顯著，依次A，B，A×B，試驗的指標為產品的產量，越大越好，所以最優方案應取各因素中K的最大值所對應的水平。從表看出：A1，B3，C3為最好，交互作用A×B也是顯著的。但A×B占兩列，直觀分析法有困難。有必要把A和B的各種組合的試驗結果對照分析。第145頁,共193頁，2024年2月25日，星期天146第146頁,共193頁，2024年2月25日，星期天147從表中，可以看出當A取第1水平B取3水平時，結果為13.17是所有結果的最大值，于是最優方案可取A1B3C3而A1B1的試驗結果為13.16與13.17相差不多，也可取A1B1C3結果為7.23，A1B3C3結果為7.07.∴A1B1C3比A1B3C3還要好。是因為我們分析計算本身是有誤差的，真正的最優方案要經實踐檢驗后確定。第147頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1485.13.3

2水平的方差分析一般分析法2水平正交設計，各因素離差平方和為因為:n=2a

,第148頁,共193頁，2024年2月25日，星期天149所以上式可簡化為:這里2水平設計計算平方和的一般公式，同樣適用于有交互作用的情況。第149頁,共193頁，2024年2月25日，星期天150例9：某農藥廠生產某種農藥，指標是農藥的收率，顯然是越大越好，根據經驗知，影響農藥收率的因素有4個；具體情況如下：第150頁,共193頁，2024年2月25日，星期天151第151頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1522水平4因素，并考慮A、B的交互作用，選用L8（27）安排實驗。按試驗逐次進行試驗，得出試驗結果分別為（%）86,95,91,94,91,96,83,88試進行方差分析（α＝0.05）解：列正交表L8（27）和試驗結果，第152頁,共193頁，2024年2月25日，星期天153第153頁,共193頁，2024年2月25日，星期天154計算離差平方和：類似地：

第154頁,共193頁，2024年2月25日，星期天155誤差平方和：

SE＝ST－（S因+S交）＝146－（8+18+50+60.5+4.5）＝5還可以另一種方法算出SESE＝S空列＝S5列+S6列

第155頁,共193頁，2024年2月25日，星期天156計算自由度總自由度fT＝8－1＝7因素的自由度fA＝fB＝fC＝fD＝2－1＝1交互作用的自由度f(A×B)=fA×fB=1誤差自由度fE＝fT－（f因+f交）＝7－5＝2第156頁,共193頁，2024年2月25日，星期天157計算均值：由于各因素和交互作用A×B的自由度都是1，因此它們的均方值與它們的各自平方和相等，只有誤差的均方值為MSE＝SE/2=5/2=2.5計算F值比：

FA＝MSA/MSE=8/2.5=3.2

FB＝18/2.5＝7.2，FA×B＝50/2.5＝20

FC＝60.5/2.5＝24.2，FD＝4.5/2.5＝1.8第157頁,共193頁，2024年2月25日，星期天158第158頁,共193頁，2024年2月25日，星期天159從F值的大小可以看出，各因素對試驗影響大小的順序為C→A×B→B→A→D最優條件：C2，B1，A1，D2，但考慮到交互作用A×B的影響較大，且它的第2水平為好，從正交表看出在C2，（A×B）2的情況下，有A1，B2和A2，B1，考慮到B的影響比A大，而B選B1為好，A只能先A2，這最優方案為：A2B1C2D2。9個試驗中，6號試驗A2B1C2D1（接近）為好。第159頁,共193頁，2024年2月25日，星期天1605.13.4混合水平的方差分析混合水平正交設計的方差分析，本質上與水平數相等正交設計的方差分析相同，只要在計算時注意各列水平數的差別就行了。以：L8（4×24）混合型正交表為例加以說明，總離差平方和仍為：第160頁,共193頁，2024年2月25日，星期天161因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：

4水平因素：第161頁,共193頁，2024年2月25日，星期天162例10

某鋼廠生產一種合金，為了校直冷拉，需要進行一次退火熱處理，以降低合金的硬度，根據冷加工變形量，在該合金技術要求范圍內，硬度越低越好，試驗的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數。考察的指標是洛氏硬度（HRc）,經分析研究，要考慮的因素有3個：第162頁,共193頁，2024年2月25日，星期天163退火溫度（A），取4水平：A1：730℃，A2：760℃，A3：790℃，A4：820℃，保溫時間（B）：2水平，B1：1h,B2:2h;冷卻介質（C），2水平，C1空氣，C2水，選用混合正交表L8（4*24），A，B，C放在1,2，3列。第163頁,共193頁，2024年2月25日，星期天164第164頁,共193頁，2024年2月25日，星期天165第165頁,共193頁，2024年2月25日，星期天166第166頁,共193頁，2024年2月25日，星期天167這里：ST＝QT－P＝7829.90－7825.01＝4.89第167頁,共193頁，2024年2月25日，星期天168

SE＝S空列＝S4列+S5列＝1.63第168頁,共193頁，2024年2月25日，星期天169第169頁,共193頁，2024年2月25日，星期天170F0.05（3,2）＝19.16，F0.10（3,2）＝9.16F0.05（1,2）＝18.51，F0.10（1,2）＝8.53從F值和臨界值比較看出，即使取α＝0.10，各因素都無顯著影響，相對來說B的影響大些，用（*）表示，如果只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差，這樣一來，新的誤差E有：SE’＝SA+SC+S空列＝0.44+0.18+1