考點11冪函數與二次函數6種常見考法歸類考點一冪函數的定義及其應用考點二冪函數的定義域和值域考點三冪函數的圖象及應用（一）依據圖象高低判定冪指數大小（二）圖象的識別（三）冪函數圖象過定點問題考點四冪函數的性質及其應用（一）由冪函數的單調性求參數（二）由冪函數的單調性解不等式（三）由冪函數的單調性比較大小（四）冪函數奇偶性的應用（五）冪函數的單調性和奇偶性的綜合應用（六）冪函數性質的綜合應用考點五冪函數的綜合問題考點六二次函數的圖象與性質（一）二次函數的圖象（二）二次函數的單調性（三）二次函數在閉區間上的最值（四）二次方程根的分布（五）二次函數中的恒成立問題1、冪函數的判斷及應用判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為（是常數）的形式，即滿足：（1）指數為常數；（2）底數為自變量；（3）系數為1．只有同時滿足這三個條件的函數才是冪函數，對于形如等函數都不是冪函數。2、常見的冪函數圖像及性質函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點3、冪函數的圖象及應用（1）冪函數圖象的畫法①確定冪函數在第一象限內的圖象：先根據α的取值，確定冪函數在第一象限內的圖象．②確定冪函數在其他象限內的圖象：根據冪函數的定義域及奇偶性確定冪函數f(x)在其他象限內的圖象．對于冪函數圖象的掌握，需記住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域．根據α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．（2）要牢記冪函數的圖象，并能靈活運用．由冪函數的圖象，我們知道：①所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．②任何冪函數的圖象與坐標軸最多只有一個交點（原點）；任何冪函數的圖象都不經過第四象限．③當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象上拋；當0<α<1時，冪函數的圖象右拋．當α<0時，冪函數的圖象在區間(0，＋∞)上是減函數．注：冪函數在第一象限內圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．④冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．⑤在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．在區間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸．4、形如y＝xeq\s\up6(\f(m,n))或y＝x－eq\s\up6(\f(m,n))(m，n為互質的正整數)類型函數的奇偶性判斷形如y＝xeq\s\up6(\f(m,n))或y＝x－eq\s\up6(\f(m,n))(m，n為互質的正整數)類型函數的奇偶性判斷：當m，n都為奇數時，冪函數在定義域上為奇函數；當m為奇數，n為偶數時，冪函數在定義域上為非奇非偶函數；當m為偶數，n為奇數時，冪函數在定義域上為偶函數.5、解決與冪函數有關的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數的概念，對于冪函數(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應冪函數的單調性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應用．在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較．6、二次函數及其應用(1)二次函數解析式的三種形式①一般式：；②頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.③零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.(2)二次函數的圖象與性質：二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸、頂點坐標、開口方向、值域、單調性分別是：①對稱軸：x＝－eq\f(b,2a).②頂點坐標：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).③開口方向：a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下.④值域：a＞0時，y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，－∞))；a＜0時，y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).⑤單調性：=1\*GB3①當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；=2\*GB3②當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，；.⑥與軸相交的弦長當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.7、二次函數在閉區間上的最值問題二次函數在閉區間上的最值：二次函數在閉區間上必有最大值和最小值.它只能在區間的端點或二次函數的頂點處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.閉區間上二次函數最值的取得一定是在區間端點或頂點處.對二次函數，當時，在區間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動.不論哪種類型，解題的關鍵都是對稱軸與區間的位置關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論.要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.8、有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數在某區間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區間和定軸動區間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區間兩個端點和區間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區間的左側；=2\*GB3②軸處在區間的右側；=3\*GB3③軸穿過區間內部（部分題目還需討論軸與區間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區間端點函數值正負.9、一元二次方程根的分布設x1，x2是實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩實根，則x1，x2的分布范圍與系數之間的關系如表所示.根的分布(m＜n＜p且m，n，p均為常數)圖象滿足的條件x1＜x2＜meq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,f（m）>0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,f（m）>0))x1＜m＜x2f(m)<0.m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,f（m）>0，,f（n）>0))m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）<0，,f（p）>0))m<x1＝x2<neq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n))只有一根在區間(m，n)內f(m)f(n)<0考點一冪函數的定義及其應用1．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）已知冪函數的圖像過點，則的值為___________．2．【多選】（2023秋·高三單元測試）已知函數為冪函數，則實數的可能性取值為（

）A．1 B．-2 C．3 D．-43．（2023秋·河北邯鄲·高三統考期末）已知冪函數滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．考點二冪函數的定義域和值域4．（2023·全國·高三專題練習）下列函數定義域為的是（）A． B． C． D．5．（2023·上海·高三專題練習）函數的定義域為_______．6．（2023·全國·高三專題練習）若冪函數的圖象過點，則的值域為____________．7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數則函數值域是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習）冪函數中a的取值集合C是的子集，當冪函數的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知冪函數的定義域為R.(1)求實數的值；(2)若函數在上不單調，求實數的取值范圍.10．（2023·北京·高三專題練習）已知函數.（1）若函數的定義域為，求實數的取值范圍；（2）若，都有成立，求實數的取值范圍.11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為__________．考點三冪函數的圖象及應用（一）依據圖象高低判定冪指數大小12．（2023·全國·高三專題練習）冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（

）A． B． C． D．13．（2023秋·上海浦東新·高三上海市建平中學校考階段練習）如圖所示是函數（均為正整數且互質）的圖象，則（

）A．是奇數且B．是偶數，是奇數，且C．是偶數，是奇數，且D．是奇數，且14．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數，且B．q為偶數，p為奇數，且C．q為奇數，p為偶數，且D．q為奇數，p為偶數，且（二）圖象的識別15．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）函數的圖像大致為（）A． B．C． D．16．（2023·全國·高三專題練習）函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．17．（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．18．（2023秋·四川遂寧·高三校考階段練習）函數的圖像大致是（

）A． B．C． D．19．【多選】（2023秋·遼寧·高三校聯考期中）函數的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．（三）冪函數圖象過定點問題20．（2023秋·河南開封·高三校考階段練習）函數的圖象恒過定點A，且點A在冪函數的圖象上，則＝________.21．（2023·全國·高三專題練習）函數（，且）的圖象恒過定點，在冪函數的圖象上，則=_______；22．（2023秋·福建漳州·高三校考階段練習）已知函數且的圖象恒過定點，則點的坐標為____________考點四冪函數的性質及其應用（一）由冪函數的單調性求參數23．（2023秋·高三課時練習）冪函數在上單調遞減，則實數的值為_______24．（2023春·四川廣安·高三校考階段練習）已知冪函數在上單調遞增．(1)求m的值及函數的解析式；(2)若函數在上的最大值為3，求實數a的值．25．（2023·全國·高三專題練習）冪函數在上單調遞增，則的圖象過定點（

）A． B． C． D．（二）由冪函數的單調性解不等式26．（2023·全國·高三專題練習）若，試求的取值范圍.27．（2023·全國·高三專題練習）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件28．（2023·全國·高三專題練習）滿足的實數m的取值范圍是（

）.A． B．C． D．29．（2023·貴州畢節·統考二模）已知，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．（三）由冪函數的單調性比較大小30．（2023·天津·一模）已知，，，則（

）A． B．C． D．31．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）已知，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．32．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數的圖象經過點與點，，，，則（

）A． B． C． D．33．（2023春·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學校考階段練習）已知冪函數的圖象過點．設，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．34．【多選】（2023·江蘇·校聯考模擬預測）若函數，且，則（

）A． B．C． D．（四）冪函數奇偶性的應用35．（2023·全國·高三專題練習）下列函數中，值域是且為偶函數的是（

）A． B． C． D．36．（2023·全國·高三專題練習）若冪函數的圖像關于y軸對稱，則實數______．37．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數為偶函數，則實數的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或238．（2023·全國·高三專題練習）設，則使函數的定義域為，且該函數為奇函數的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．、或39．（2023·全國·高三專題練習）設)，則“函數的圖象經過點（-1，-1）”是“函數為奇函數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（五）冪函數的單調性和奇偶性的綜合應用40．（2023·全國·高三專題練習）冪函數y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實數m的值為________.41．（2023·全國·高三專題練習）已知，若冪函數奇函數，且在上為嚴格減函數，則__________.42．（2023·全國·高三專題練習）“冪函數在上為增函數”是“函數為奇函數”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要43．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數的圖象過點，且，則a的取值范圍是______．44．（2023·全國·高三專題練習）已知是冪函數，且在上單調遞增，則滿足的實數的范圍為（

）A． B．C．D．45．（2023秋·山東德州·高三統考期末）函數同時滿足①對于定義域內的任意實數x，都有；②在上是減函數，則的值為（

）A．8 B．4 C．2 D．146．（2023·高三課時練習）已知冪函數（m為正整數）的圖像關于y軸對稱，且在上是嚴格減函數，求滿足的實數a的取值范圍．（六）冪函數性質的綜合應用47．【多選】（2023秋·廣東梅州·高三豐順縣豐順中學校考期末）若冪函數的圖象過，下列說法正確的有（

）A．且 B．是偶函數C．在定義域上是減函數 D．的值域為48．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數的圖象經過點，則（

）A．函數為增函數 B．函數為偶函數C．當時， D．當時，49．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數在區間上是減函數．(1)求函數的解析式；(2)討論函數的奇偶性和單調性；(3)求函數的值域．考點五冪函數的綜合問題50．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數在上單調遞減，函數，對任意，總存在使得，則的取值范圍為__________.51．（2023·全國·高三專題練習）已知冪函數在上單調遞增，函數，，，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．52．（2023·全國·高三專題練習）若函數是冪函數，且其圖象過點，則函數的單調遞增區間為___________.53．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知函數是冪函數，對任意，，且，滿足.若，，且的值為負值，則下列結論可能成立的有（

）A．， B．，C．， D．，54．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是冪函數，直線過點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．55．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，（1）當時，求的值域；（2）若對，成立，求實數的取值范圍；（3）若對，，使得成立，求實數的取值范圍．考點六二次函數的圖象與性質（一）二次函數的圖象56．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）函數，且與函數在同一坐標系內的圖象不可能的是（

）A． B．C． D．57．【多選】（2023·全國·高三專題練習）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．58．（2023·全國·高三專題練習）已知函數（其中）的圖象如圖所示，則函數的圖像是（

）A． B．C． D．59．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，如果且，則它的圖象可能是（

）A． B．C． D．（二）二次函數的單調性60．（2023·全國·高三專題練習）“函數在區間上不單調”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件61．（2023·全國·高三專題練習）函數的單調遞減區間為（

）A． B．C． D．62．（2023秋·山東菏澤·高三統考期末）已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．63．【多選】（2023·全國·高三專題練習）下列是函數的單調減區間的是（）A． B．C． D．64．（2023·全國·高三專題練習）已知函數f（x）＝在R上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．65．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上不是單調函數，則實數的取值范圍________.66．（2023·河北·高三學業考試）已知函數在區間上具有單調性，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．（三）二次函數在閉區間上的最值67．（2023·全國·高三專題練習）函數在區間上的最大值為．求的解析式；68．（2023·全國·高三專題練習）當時，求的最大值（a為常數，結果可用a來表示）．69