專題01集合與常用邏輯用語

一'知識速覽

1、集合中元素的性質

2、元素與集合的關系

知識點1集合與元素

3、集合的表示方法

4、常見數集的記法與關系圖

知識點2集合之間的基本關系子集、真子集、相等、空集

知識點3集合的基本運算，1、集合交用卜運算的表示

集合與常用邏輯用語----------------------------------------—Q2、集合運算中的常用二級結論

知識點4充分條件與必要條件1、充刖與^^牛

-----------------------------------2、充要條件

1、全稱量詞與全稱量詞命題

知識點5全稱量詞與存在量詞2、存在量詞與存在量詞命題

3、命題的否定

二'考點速覽

知識旅理

知識點1集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號e或e表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數集的記法與關系圖

集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*（或N+）ZQR

知識點2集合間的基本關系

表示

文字語言符號語言圖形語言

關系

集合A的所有元素都是集合B的

子集Aq3或3衛A

元素(尤eA貝！jXGB)O

或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

關系真子集AUB或BVA

中至少有一個元素不屬于A

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

知識點3集合的基本運算

1、集合交并補運算的表示

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形語言u⑷

符號語言AB=GA,eAB=|x|xGA,SJCGeA=何％wU,MxwA}

2、集合運算中的常用二級結論

(1)并集的性質：AU0=A;AUA=A；AUB=BUA；=

(2)交集的性質：Afl0=0；AAA=A；AHB^BHA；=

(3)補集的性質：45[%)=。；&%(%)=0.=

[MAU8)=(["([^)；[u(An8)=([uA)uQB).

知識點4充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若P,則/為真命題“若P，則為假命題

推出關系p*q

P是4的充分條件P不是9的充分條件

條件關系

q是P的必要條件q不是p的必要條件

定理關系判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件

性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果喏p，則如和它的逆命題“若鄉，則，’均為真命題，即既有°nq，又有“=0，就記作poq。

此時，p既是9的充分條件，也是9的必要條件，我們說，是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

(2)充要條件的含義

若夕是4的充要條件，則4也是夕的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，

因為這兩個命題的條件與結論不同。

(3)充要條件的等價說法:p是q的充要條件又常說成是q成立當且僅當。成立，或p與4等價。

知識點5全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“V”表示.

【注意】(1)全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；

(2)常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號表示：通常，將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x)，…表示,變量x的取值范圍用V表

示，那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x,2(x)成立”可用符號簡記為

【注意】(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；

(2)一個全稱量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。

如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行二

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號"h'表示.

【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號表示：存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立"可用符號簡記為

【注意】(1)從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；

(2)一個存在量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題

3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“土”，讀作"非"'或p的否定.

(1)全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題“五6"山(耳”的否定是存在量詞命題：3XEM,^(X).

（2）存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“七：6河心（九）”的否定是全稱量詞命題：\/x&M^q（x）

（3）命題與命題的否定的真假判斷：

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.

即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然.

（4）常見正面詞語的否定：

正面詞語等于（=）大于（＞）小于（＜）是都是

否定不等式（豐）不大于（＜）不小于（＞）不是不都是

正面詞語至多有一個至少有一^任意所有至多有n個

否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個

?

方法技巧

一、子集的個數問題

如果集合A中含有n個元素，則有

（1）A的子集的個數有2"個.（2）A的非空子集的個數有2"—1個.

（3）A的真子集的個數有2"—1個（4）A的非空真子集的個數有2"—2個.

【典例1】（2023?重慶?校聯考三模）數集{123,4,5}的非空真子集個數為（）

A.32B.31C.30D.29

【答案】C

【解析】因為集合{123,4,5}中含有5個元素，

所以集合{1,2,3,4,5}的非空真子集個數為25-2=30.故選：C

【典例2】（2023.福建泉州.泉州五中校考模擬預測）若集合A={無|ln尤＞l,xeN*},集合

8={x|x2-6x-7＜0},則的子集個數為（）

A.5B.6C.16D.32

【答案】C

【解析】由lnx＞l得了＞e,所以A={x|x〉e,xeN*},

解不等式一一6彳一7＜0得5={x|—l＜x＜7},

所以AB={3,4,5,6},所以的子集個數為24=16.故選：C

二、已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數值.

（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數的所有可能值；

（2）互異性的運用：根據集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.

【典例1】（2022秋?廣東廣州?高三校聯考階段練習）已知集合A={a-2,"+4a,12},且-3eA,則。等于

（）

A.-3或-1B.-1C.3D.-3

【答案】D

【解析】因為—3eA,當。-2=—3,得。=—1,則4={-3,12},不合題意，故舍去.

當°2+4a=—3,故。=一1（舍去）或a=—3,此時A={—5,—3,12},滿足.故選：D

【典例2】（2022秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學校聯考期中）設集合A={0,1,4},若q-leA,則實數

a=.

【答案】2

【解析】當a-1=0時,a=l,此時4={0,1,1},不符合條件；

當a-1=1時,。=2,此時-={0,1,4},符合條件;

若4-1=",即“2_〃+1=0,無實根，不符合條件.

所以a=2.故答案為：2.

三、利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍

第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數，若A7B,

且A中含參數應考慮參數使該集合為,空集的情形；

第三步：將集合間的包含關系轉化為方程（組）或不等式（組），求出相關的參數的值或取值范圍.

常采用數形結合的思想，借助數軸解答.

【典例1】（2023?全國?模擬預測）設集合4=聞。+1）（尤-3）40},8={x|a-5<x<。},若AgB,則實數

a的取值范圍是（）

A.[3,4]B.（3,4）C.（-8,4]D.[3,+oo）

【答案】B

【解析】由已知可得，集合4={N-l<xV3},8={x|a-5<x<。},

[a>3

因為AgB,所以<,,（注意端點值是否能取到），

a-5<-1

解得3<。<4,故選：B.

【典例2】（2023?全國?高三專題練習）（多選）已知集合B=[x\ax+l=0},且加A,則實數

a的取值可能為（）

A.-3B.-2C.0D.3

【答案】BCD

【解析】由題知2=4B={x\ax+\=Q],A=

所以8=10,{-；}，{f,O.

當2=,一；*卜寸，此種情況不可能，所以舍去；

當2={-孑時，一5+1=0,解得a=3；

當2={：}時，1。+1=°，解得”=-2；

22

當B=。時，a=0.

綜上可得實數。的可能取值為3,0,—2.故選：BCD.

四、根據集合運算的結果確定參數的取值范圍

法一：根據集合運算結果確定集合對應區間的端點值之間的大小關系，確定參數的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數軸表示所給集合；

（3）根據集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“="；（2）千萬不要忘記考慮空集。

[典例1]（2023?海南海口?校聯考一模）已知集合A=^x\x2-2x-3<01,B=（x|-l<x<TW}，若AB=A,

則實數加的取值范圍為（）

A.（-3,+oo）B.（-<?,-3]C.[3,+oo）D.（-1,3]

【答案】B

【解析】解不等式，-2X-3<0,得—1<X<3,于是A=（T,3）,而3=（-1,T〃），

因為AIB=A,則因此一加23,解得力z4—3,

所以實數加的取值范圍為（-8,-3].故選：B

【典例2】（2023.河南開封?開封高中校考模擬預測）設集合A={x|x<2或xN4},3={x|aVxWa+1},若

瓜A）3=0,則。的取值范圍是（）

A.或a>4B.a<1或。24C.a<1D.a>4

【答案】B

【解析】由集合A={TX<2或XN4},得'A={x[24x<4},

又集合8={x|aVxWa+1}且&A）B=0,貝!Ja+l<2或a24,即a<l或aN4.故選：B.

五、利用充分必要條件求參數的策略

1、巧用轉化法求參數：把充分條件、必要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關

于參數的不等式（不等式組）求解；

2、端點取值需謹慎：在求參數范圍時，要注意邊界或區間端點值的檢驗，從而確定取舍。

【典例1】（2023?全國?高三專題練習）已知集合A=[-2,5],B^[m+1,2m-l].若“無eB”是“xeA”的充

分不必要條件，則機的取值范圍是（）

A.（-?,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【解析】若“xeB”是“xeA”的充分不必要條件，則8A,

m+1<2m-1

所以，加+112,解得2<〃/43,即機的取值范圍是（2,3].故選：B.

2m-1<5

【典例2】（2023?全國?高三專題練習）己知"p:（x-⑼2>3（尤-㈤”是“4：1+3了-440”成立的必要不充分

條件，則實數機的取值范圍為（）

A.f-7）1（1*）B.[1,+?）C.（-7,1）D.[-7,1]

【答案】A

【解析】由（x-，w）2>3（x-w?）得：x<m^x>3+m,所以P：x<〃?或%>3+加；

由尤2+3X-440得：-4<x<1,所以q:-44x41.

因為p是9的必要不充分條件，即qnp且。4Q,

所以{x|-4*xWl}是{x[x</或]>3+加}的真子集,

所以切>1或〃2+3<-4,解得勿>1或根<一7.故選：A

易混易錯

易錯點1對集合表示方法的理解存在偏差

點撥：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元

素類型（點集或者數集）及代表元素的含義。

【典例1】（2023?安徽安慶?安徽省桐城中學校考一模）集合A={A|y=lg（x2-4））,集合

卜|廣五一24一3卜全集U=R,貝。@A）B為（

A.[-2,2]B.[-2,+co）C.{2}D.（-oo,2]u[3,+oo）

【答案】B

【解析】對于集合A，由/一4>0=無>2或x<-2,所以A=（e,—2）.（2,4W）,^A=[-2,2],

y=>JX2-2X-3=^（X-1）2-4>0,.\B={y|y>0},故（6人73=|-2,+co）.故選：B

【典例2】（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中校考模擬預測）已知集合A={（x,v）|y=x3},B={（x,y）\y=4無},

則AB=（）

A.{-2,0,2}B.{（0,0）}C.{（0,0）,（2,8）}D.{（-2,-8）,（0,0）,（2,8））

【答案】D

[y=x3jx=—2]元=0fx=2

【解析】解方程組”，可得。或c或。，

[y=4尤[y=-8[y=0[y=8

又因為&={（尤，刈丫=/},8={（無，切尸旬，則A3={（-2,-8）,（0,0）,（2,8）}.故選：D.

易錯點2忽視（漏）空集導致錯誤

點撥：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往

往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解。

【典例1】（2023.全國?高三專題練習）已知集合4={*€W.<2},3={尤|ax-1^0},若BUA,則實數。=

（）

A.g或1B.0或1C.1D.1

【答案】B

【解析】由集合A={xeN*|國<2}={0,1},

對于方程辦-1=。，

當。=0時，此時方程無解，可得集合3=0,滿足5UA；

當awO時，解得x=L,要使得BOA,則滿足，=1,可得。=1,

aa

所以實數。的值為0或1.故選：B.

【典例2】（2023?全國?高三對口高考）設集合M={Mx>-2},N=付p-l<尤42p+l},若NuM,則實數

（）

A.l<x<3B.0<x<2C.x<2D.0<x<2

【答案】B

2

【解析】由一之1得0<九（2,

x

2

所以“1〈尤<