專題09函數的最值

考點一求已知函數的最值

【方法總結】

導數法求給定區間上函數的最值問題的一般步驟

(1)求函數兀0的導數/(X)；

(2)求/(x)在給定區間上的單調性和極值；

(3)求人x)在給定區間上的端點值；

(4)將./(X)的各極值與｛x)的端點值進行比較，確定“V)的最大值與最小值；

(5)反思回顧，查看關鍵點，易錯點和解題規范.

【例題選講】

［例1］⑴函數/(x)=hu，-x在區間(0,e］上的最大值為.

答案一1解析［(x)=1一l,令/(x)=0得x=l.當xd(0,1)時,/(x)>0；當xd(l,e］時

X

當X=1時，兀0取得最大值，且/(x)max=/(l)=ln1—1=-1.

(2)函數寅x)=￥+x—21nx的最小值為.

答案:解析因為/(x)=x+l—2=婦辿二D(x>0),所以人勸在(0,1)上單調遞減，在(1,+oo)

2xx

上單調遞增，所以大X)min=7(1)=；+1=；.

(3)已知函數y(x)=；x3+加32+〃工+2,其導函數/(X)為偶函數，7(1)=-則函數8(工)=/(工戶在區間［0,

2］上的最小值為.

答案一2e解析由題意可得/(X)=X2+2〃LY+〃，?./(x)為偶函數，，加=。，故

171

???/(1)=”+2=3.廿-3..W)=/_3X+2,則〃X)=X2-3.故/尸式NT),則g，(x)=Q

—3+2x)=H(x—l>(x+3),據此可知函數g(x)在區間［0,1)上單調遞減，在區間(1,2］上單調遞增，故函數

g(x)的極小值，即最小值為g(l)=el-(l2-3)=-2e.

(4)已知函數；(x)=2sinx+sin2x,則加:)的最小值是.

答案一孚解析；；心)的最小正周期7=2兀，求兀V)的最小值相當于求寅x)在［0,2利上的最小

值./(工)=28立+2?052工=28&￥+2(2852%-1)=4852%+2(：08^—2=2(2(：0&￥—1)908^+1),令“￥)=0,解得

8&￥=；或COSX=-1,X￡［0,2兀］..??由CO&X=-1,得X=7l；由cosx=g,得冗=$或冗=；.二?函數的最值

只能在導數值為0的點或區間端點處取到,/(兀)=25缶兀+5皿271=0,/日=25訪：+5［11與=^^,/卜)=

X0)=0,人2兀)=0,.\Ax)的最小值為一平.

(5)設正實數x,則/&)=*的值域為.

答案'e解析令lnx=E,則““尸弓，令《=加，心0,??.力(加)=也，

erewe2/w

令〃(M=0,解得機=1,當03n<1時，h'(m)>0,函數〃(m)單調遞增，當淪1時,h'(m)<Q,函數gn)單調

遞減，...〃(/M)max=〃(l)=L：/(0)=0,當加1+8時，僦加)-0,；./(X)=單的值域為“L.

exlnx

(6)已知函數./(x)=ehix和g(x)=x+l的圖象與直線y=〃z的交點分別為P(xi,川)，0(x2，㈤，則亢1一足

的取值范圍是()

p,+°°1+001

A.[1,+oo)B.[2,+8)C.[2JD.L2J

答案A解析由題意知/(xD=g(X2),所以elnxi=X2+l,即》2=elnxi-1,則x1一X2=xi—elnxi+1,

xi>0.令〃a)=x-elnx+l(『>0),則〃(x)=l—當x>e時，/。)>0,當0<x〈e時，/if(x)<O所以砥0

XXf

在(0,e)上單調遞減，在(e,+oo)上單調遞增，所以〃(x)min=a(e)=1.又當x-0.時，萬㈤一十刃，當x-十

8時，〃(x)—+8,所以〃(X)在(0,+oo)上的值域為[1,4-co),所以X|一X2的取值范圍為[1,+8).

(7)已知不等式ex—l>Ax+lnx對于任意的x《(0,+oo)恒成立，則k的最大值為.

答案e—1解析Vxe(O,+oo),不等式e"—l》Lt+lnx恒成立，等價于Vx￡(O,+oo),A<---~也^

x

恒成立，^(p(x)=eA-1-lnx(x>0),則當xe(o,1)時，d(x)<0,當%e(l,+8)時，d(x)>0,

XX2

；?9(尢)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增，，研x)min=9(l)=e-1,???仁e—1.

v-|—pIH

(8)(多選)設函數/(x)=￡￡,則下列選項正確的是()

A./)為奇函數B.Hx)的圖象關于點(0,1)對稱

C._/(x)的最大值為1+1D._/(x)的最小值為一1+1

ee

答案BCD解析人x)=?+l,不滿足負一x)=一/)，故A項錯誤；令g(x)=，，則以一》)=辭=二三

e兇e囚d川e國

=一蚣)，所以g(x)為奇函數，則人X)關于點(0,1)對稱，B項正確；設危)=系+1的最大值為則蛉)

e同

的最大值為M-1,設小尸片+1的最小值為N,則g(x)的最小值為NT,當x>0時，g(x)=工，所以g'(x)

1—y

=——，當OVxVl時，g，(x)>0,當x>l時，g，(x)VO,所以當OVxVl時，g(x)單調遞增，當x>l時，

g(x)單調遞減，所以g(x)在x=l處取得最大值，最大值為g(l)=1，由于g(x)為奇函數，所以g(x)在X=-1

e

處取得最小值，最小值為g(—1)=一1，所以作)的最大值為用=1+1,最小值為N=-'+l,故C、D項

eee

正確.故選B、C、D.

［例2］已知函數/(x)=e'cosx—x.

⑴求曲線尸危)在點(0,./(0))處的切線方程；

(2)求函數人只在區間L2」上的最大值和最小值.

解析(1)因為/fjOne'cosx—x,所以/(x)=e，(cosx-sinx)—1,/(0)=0.

又因為/(0)=1,所以曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y=l.

(2)設/?(x)=e'(cosx—sinx)—1,則h'(x)=ex(cos%—sinx—sinx—cosx)=-2ersinx.

當xG10'42j時，h\x)<0,所以〃(x)在區間L0'支2」上單調遞減.

司磯

所以對任意xelf'o2」，有〃(x)</;(0)=0,即/(x)<0.所以函數?r)在區間Fo‘2」上單調遞減.

因此外)在區間"5上的最大值為的)=1,最小值為為=一

［例3)(2017?浙江)已知函數.危)=。一\6=

(1)求人x)的導函數；

--U解…

當X變化時，網,/(X)的變化如下表:

15

X1

2即132仔+q

一0+0一

1115

用)-e—0-e—

2222

/Q=^e—p,/(1)=0,7^)=^e—|,則人尤)在區間；，+°°)上的最大值為(eg.

又於)=(x一訴二1把一"=；(訴=1-l)2e-v>0.

「1工］A1n

綜上，加)在區間|_2，J上的取值范圍是LF22_

［例4］(2021?北京)已知函數以)=^^.

x2+a

(1)若a=0,求夕=/(x)在(1,{1))處的切線方程；

(2)若函數y(x)在》=-1處取得極值，求人x)的單調區間，以及最大值和最小值.

解析(1)當〃=0時，/(x)=—,則/(》)=/(-2)-：3-涮&=與6.

X2X4X3

當x=l時，/(1)=-4,

故y=/(x)在(1,7(I))處的切線方程為y—1=—4(x—1),整理得4x+y—5=0.

⑵已知函數外)=守，則&)=(/+次一?一『2》)&=2(七3*7).

x2+a(x2+a)2(x2+a)2

若函數兀0在x=-l處取得極值，則八一1)=0,即第2=0,解得。=4.

經檢驗，當。=4時，x=-1為函數/(x)的極大值，符合題意.

此時倜二號,其定義域為R"㈤=型"

令/(x)=0,解得制=-1,X2=4..危)，/(X)隨X的變化趨勢如下表:

X(-00,-1)-1(-1.4)4(4,+oo)

+0一0+

以)/極大值極小值/

故函數兀V)的單調遞增區間為(一8,-1),(4,+oo),單調遞減區間為(一1,4).

由上表知/(x)的極大值為/(—1)=1,極小值為/(4)=—L

又因為x<|時，"0；x>|時，.危)<0,

所以函數人外的最大值為八一1)=1,最小值為火4)=-1.

4

—工3~|~丫2,x^-1,

［例5］已知函數y(x)=-''

qlnx,x>l.

(1)求<X)在區間(一8,1)上的極小值和極大值；

(2)求人x)在［-1,e］(e為自然對數的底數)上的最大值.

解析(1)當x<l時，/(X)=-3X2+2X=-X(3X-2),

令/(x)=0,解得X—0或x=~.

當X變化時，/(X),火幻的變化情況如下表:

2

X(—8,0)0

3即

f(x)—0+0—

./w極小值極大值

故當x=0時，函數/(X)取到極小值，極小值為./(0)=0,

當x=|時，函數y(x)取到極大值，極大值為_^=上.

(2)①當一1%vl時，根據(1)知，函數大x)在［-1,0)和1)上單調遞減，在_0':上單調遞增.

因為人-1)=2,￡1=捺，10)=0,所以外)在［-1,1)上的最大值為2.

②當l-e時，./(x)=alnx,當好0時，/(x)$0；

當a>0時，段)在［1,e］上單調遞增.則以)在［1,e］上的最大值為J(e)=a.

故當它2時，｛x)在［-1,e］上的最大值為a；

當a<2時，八x)在［-1,e］上的最大值為2.

【對點訓練】

1.函數在［0,2］上的最大值是()

121

A.-B?白C.0D.+

ee22\e

1.答案A解析易知了=二三，xe［0,2］,令y>0,得0夕<1,令y'VO,得IV爛2,所以函數y

=工在［0,1］上單調遞增，在(1,2］上單調遞減，所以y=工在［0,2］上的最大值是ymax=L故選A.

ere

2.函數危)=2x—Inx的最小值為.

17r——1i1

11

2.答案l+ln2解析危)的定義域為(0,+oo),=當Oav^?時，/(X)〈0；當x》時，

xx22

/O0..7/(x)在O'J上單調遞減，在+°°)上單調遞增，.4)min=/@=lTn3=l+ln2.

3.已知/(x)=2x3—6/+加(加為常數)在［―2,2］上有最大值3,那么此函數在［-2,2］上的最小值是()

A.-37B.-29C.-5D.以上都不對

3.答案A解析???/(x)=6x2—12x=6x(x-2),在(一2,0)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，，

x=0為極大值點，也為最大值點，.；/(0)=機=3,；.加=3..\/(—2)=—37,人2)=—5..?.最小值是一

37.故選A.

4.已知函數兀v)=x+2sinr,xG［O,2n］,則7(x)的值域為()

A."X間C.停+e2.

D.[0,2兀]

4.答案D解析f(x)=1+2co&x,%G[0,2K],令/(X)=0,得cosx=-J.?.》二年或x=g,又/[3)

p>7i|12T?|

=y+^,后)號-S/(0)=0,<2兀)=2兀，.⑴=個_2s<0,.V(0)</-l3j</l3j</(2n),

?*../(X)max=X2lt)—271>Xx)min=/(0)=0,.\/(X)的值域為[0,27tl.

5.設0〈x。，則函數尸2-cosx的最小值是

sinx

5.答案3解析片西可詈回=量.因為—所以當廣加時,盧。；當

時，y'<0.所以當x=:時，ymin=3.

6.若曲線^=心「+鼻(一一1)存在兩條垂直于y軸的切線，則加的取值范圍為.

”Io]掰

6.答案Ie4J解析由題意可得，y=(x+l)ex---：=0,即〃z=(x+1)3cx在(一8,—1)上

。+1)

有兩個不同的解.設危)=(工+1)3^(工〈一1),/(尤)=(工+1)2可(工+4).當xv—4時，/(x)〈0；當一4Vx〈一1

27(-21()]

時，/(x)>0.所以<X)min=A-4)=一—，當X<一1時，Ax)<0,故機e4'J.

e4

7.已知實數x,歹滿足4、+9，=1,則2?巾+3>山的取值范圍是______.

7.答案(2,V13]解析由4，+9"=1得22、+32>=1,3>=十一2汽其中2筋6(0,1),所以2'6(0,

1),所以2-1+3>'+1=2'2，+3'3"=2'2，+3/予，令f=2l則/(f)=2f+3后彳則/(。=2—

q=,令/⑺=2一J占=。得?=嚕，所以函數7W在1'嚶)上單調遞增，在償I上單調

12Vm

遞減，且/(0)=3,A13J=亞，-)=2,所以2巾+3內的取值范圍為(2,V13].

8.己知函數｛r)=lm—"，其中xG【l，+8),若不等式y(x)W()恒成立，則實數0的取值范圍為()

f1—」工+oo]

A.[1>+°°)B.l-8,ejC.LeJD.+°°)

8.答案C解析當xG【l，+8)時，不等式/(x)WO恒成立等價于地上在[1，+8)上恒成立，

X

令g(x)="，貝"g'(x)=^一當O〈xve時，gr(x)>0；當x>e時，gr(x)<0；所以g(x)max=g(e)=L所以

xx1e

a^~.故選C.

e

9.已知函數｛x)=R—3x—l,若對于區間[-3,2]上的任意制，X2,都有1/(XD-/U2)|WK則實數，的最小

值是()

A.20B.18C.3D.0

9.答案A解析因為/(工)=3工2—3=3(工一1)(工+1),xE［-3,2］,所以於)在［-1,1］上單調遞減，

在［1,2］和［—3,—1］上單調遞增.八-3)=—19,大-1)=1,義1)=一3,負2)=1,所以在區間［—3,2］

上，4v)max=l,./(x)min=-19,又由題設知在［-3,2］上依］)一加2)|勺(外網一於)0^=20,所以，220,故

選A.

10.(多選)已知函數/3)=皿，g(x)=xei,若存在X|W(O,+oo),x2eR,使得7(xi)=g(X2)=%/V0)成立,

X

則下列結論正確的是()

A.Inx\=X2B.ln(-X2)=-xi

C.田2W的最大值為WD.O&e*的最大值為4

e2e2

答案AC解析由｛)得也&.,.0<<l,x<0.由(*)可得

10.xi)=g(X2=A(AV0),=X2e—X2<0(*),Xl2

Xi

—此也=—X2e—X2>0,兩邊同時取對數可得ln(—Inxi)—In修=ln(一也)一》2.*?>函數y=\nx+x在(0,

x\

+s)上為增函數，...一lnxi=—%2,.??lnxi=X2,?=?*=Z,故設/?(左)=廬?淤(%〈0),

XiX［

k2

：.h\k)=e(k+2k)9由次(%2+2%)>0,可得ZV—2,故〃(%)在(一8,—2)上單調遞增，在(一2,0)上單

調遞減，故M￡)max=/?(—2)=4，因此H.y的最大值為綜上，AC正確.

e2e2

11.設函數/(X)=R2+1一出工.

⑴求火X)的單調區間；

12一

(2)求函數g(x)=/(x)—x在區間匕」上的最小值.

11.解析(1)易知外)的定義域為(0,+oo),/(x)=2x--,

X

由/(x)>0,得x>當由/(x)<0,得0<x<*.

.?.{x)的單調遞減區間為當，單調遞增區間為停’十°°1

(2)由題意知g(x)=x2+1—Inx~x,gf(x)=2x—~—1=(入+一。

XX

由g'(x)>。，得x>1,由gr(x)<0,得0<x<l,

??.g(x)在，'［上單調遞減，在(1,2］上單調遞增，...在上，g(x)的最小值為g(l)=l.

ax2+bx+c

12.已知函數兀v)=-------(a>0)的導函數/(x)的兩個零點為一3和0.

ex

(1)求7(x)的單調區間；

(2)若兀0的極小值為一e3,求人x)在區間［-5,+8)上的最大值.

(2ax+。貯一(af+?加+(2a-6)x+b—c

解析(1W)=

令S(x)~~ax2-^-(2a—b)x+b—c,

因為ev>0,所以/(x)的零點就是g(x)=-〃/+(2.-6)x+b—c的零點，且/(x)與g(x)符號相同.

又因為心0,所以當一3Vx<0時，g(x)>0,即f(x)>0,

當x<—3或x>0時，g(x)<0,即/(x)〈0,

所以/(X)的單調遞增區間是(一3,0),單調遞減區間是(一00,-3),(0,+8).

(2)由⑴知,x=—3是人》)的極小值點，

9a~3b+c

ft-3)=—~---e3,

所以有,小,二

g(0)=6—c=0,

g(-3)——9a—3(2a—b)-hb—c—0,

x*2-I-5x-I-S

解得a=l,b=5,c=5,所以/(x)=----:---.

ev

由(1)可知當x=0時段)取得極大值.40)=5,

故於)在區間［—5,+oo)上的最大值取/(—5)和大0)中的最大者.

而火-5)=a=5e5>5=/(0),

e5

所以函數y(x)在區間［-5,+oo)上的最大值是5e5.

13.(2019?全國HI)己知函數HX)=2J3—辦2+2.

(1)討論外)的單調性；

(2)當0<"3時，記人初在區間［0,1］的最大值為最小值為加，求M一m的取值范圍.

13.解析的定義域為R,/(X)=6X2—2"X=2X(3X—〃).令/(x)=0,得x=0或x=；.

若心0,則當xG(—8,O)uk+8)時，/(x)>0,當xM力時，/(x)〈0,

故兀V)在(一8,0),+°°)上單調遞增，在3上單調遞減；

若。=o,則人不)在(-8,+oo)上單調遞增；

若"0,則當xe〔一8,fu(0,+co)時，/(x)>0,當xet，°)時，/(x)vo,

故_/(x)在［一孫3,(0(+8)上單調遞增，在°)上單調遞減.

'T上單調遞減，在R'1)上單調遞增，所以./(X)在［0,1］的最小值為

(2)當0＜。＜3時，由(1)知，.

^+2,最大值為X0)=2或次1)=4一心

2—a0<a<2,

4—a,0<a<2,.

于是m=----1-2,M=所以M—rn—32*3.

272,2<a<3.

①當0＜。＜2時，可知y=2—。+臺單調遞減，所以加一機的取值范圍是［了’2).

②當2%＜3時，夕=號單調遞增，所以加一機的取值范圍是昌’D

綜上，“"的取值范圍是島4

考點二已知函數的最值求參數的值(范圍)

【例題選講】

［例1】(1)函數負x)=x3-3x2—9x+A在區間［-4,4］上的最大值為10,則其最小值為.

答案一71解析/(x)=3x2—6x—9=3(x—3)(x+l).由/(x)=0得x=3或x=-l.又八一4)=%—76,

{3)=%—27,火-1)=后+5,犬4)=左一20.由Hx)max=a+5=10,得左=5,.\Xx)min=2-76=-71.

(2)若函數_/(x)=asinx+卜n3x在x=；處有最值，則。等于()

A.2B.1C.-D,0

3

答案A解析區)在尸：處有最值，技函數於)的極值點.又/(x)=〃c°sx+c°s3x,，周

=acos-+cos7t=0,解得a=2.

(3)函數/(x)=3x一始在區間(序―12,a)上有最小值，則實數a的取值范圍是.

2

答案(一1,2］解析/(x)=3-3x=-3(x+l)(%-1),令/(x)=0,得xi=-1,x2=l.當x變化時,

/(x),/(x)的變化情況如下表：

X(—00,-1)-1(-1，1)1(1,+8)

/(X)—0+0一

火X)極小值一2極大值24

又由力一/=一2,得(》+1/(》-2)=0.；.X3=-1,X4=2.在開區間(標一12,a)上有最小值，

CT—12<—1<ZZ,

最小值一定是極小值????,解得一1々32.

aW2,

(4)已知函數人工)=瓜丫-or存在最大值0,則a—.

答案-解析x>0.當aWO時，/(x)=L—。>0恒成立，函數段)單調遞增，不存在最

exx

大值；當〃>0時，令/(x)=1一a=o,解得x=l.當0<x<l時，/(x)>0,函數｛x)單調遞增；當時,

xaaa

/(x)<0,函數/(x)單調遞減..\/(x)max=/E)=lnL—1=0,解得a=L

ae

上有最大值，則。的取值可能為()

A.—6B.—5C.—4D.—3

答案ABC解析令/(x)=2x(3x-a)=o,解得制=0,》2=：他<0),當:<x<0時，/(x)<0；當x<

;或x>0時，〃x)>0,則以)的單調遞增區間為卜°°'力，(0,+8),單調遞減區間為

P,()］

bJ,從而危)在工

=:處取得極大值月=一祟由/)=一第得卜肥+工。,解得X-T，又於)在甘制

36

上有最大值，所以gv竺&一旦，解得好一4.所以選項A,B,C符合題意.

336

(6)設函數人》)=。*—cosx—2a,g(x)=x,若存在內，X2^［0,用使得./(xi)=g(x2)成立，則冷一xi的最小

值為1時，實數。=()

A.—1B.——C.-D.1

22

答案B解析令尸(x)=/(x)—虱工)=。*—cosx—x—2a,由/(x［)=g(x2)得X2=e\—COSXL2〃，則由一

x\=ex\—cosX］—x\—2a,則也一x1的最小值即尸(x)在［0,兀］上的最小值.'.?F'a)=e"+sinx—1K)恒成立，x

G［0,呼，如)在［0,兀］上單調遞增，."(X)min=F(0)=-2a=(X2-X|)min=l,."=一3.

【對點訓練】

1.已知函數人x)=2%3-6x2+”在［-2,2］上有最小值一37,則a的值為,/)在［-2,2］上

的最大值為.

1.答案33解析〃x)=6F—12x=6x(x-2).由〃x)=0,得x=0或x=2.當x變化時，/(x),/(x)

的變化情況如下表:

X-2(-2,0)0(0.2)2

/(X)+0—0

兀0-40+?極大值a-8+a

所以當X=—2時，/(x)min=—40+。=—37,所以。=3.

所以當x=0時，./(x)取得最大值3.

2.若函數y=x3+$2+加在［-2,1］上的最大值為玄則〃?等于()

A.0B.1C.2D.-

2

2.答案C解析y=3x2+3x=3x(x+l),易知當一IvxvO時，JO,當一2<t<-1或0〈x〈l時，?/>0,

所以函數了=始十1%2+機在(-2,-1),(0,1)上單調遞增，在(一1,0)上單調遞減，又當》=一1時，y

=w+-,當x=1時，y="i+.，所以最大值為機+'=2,解得施=2.

2222

2.已知函數7(X)=X3+3X2-9X+1,若兀r)在區間伏，2］上的最大值為28,則實數上的取值范圍為()

A.［-3,+oo)B.(_3,+oo)C.(—co,-3)D.(—co,—3］

2.答案D解析由題意知八x)=3x?+6x—9,令/(x)=