2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1~8小題，每題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一種選項(xiàng)

是符合題目要求的.

1-COSy/x

(1)若函數(shù)=｛一晟—")在x=0連續(xù)，則

b,x<0

(A)ab=—(B)ab=--(C)ab=0(0)ab=2

22

(2)設(shè)二階可到函數(shù)/(x)滿足/⑴=/(-1)=1,/(0)=—1且/"(x)>0,則

(A)￡/(X)6t￥>0

(B)Jf(x)dx<0

,0pl

(C)JJ(x)公〉｝/(尤)公

(D)￡f(x)dx<￡f(x)dx

(3)設(shè)數(shù)列｛%,,｝收斂，則

(A)當(dāng)初limsinx,=0,limx=0

rt-KOH-?CCzz

(B)當(dāng)+小/)=0時(shí)，則limx.=0

Y〃一

(C)當(dāng)lim(x+x2)=0,lim=0

“—>8"n〃一>8

(D)當(dāng)初lim(x+sinx〃)=0,limx=0

rt—>00zzW—>00M

(4)微分方程y〃-4y'+8y=/'(i+cos2x)的特解可設(shè)為y&二

(A)Ae2x+e~\Bcos2x+Csin2x)

(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2\Bcos2x+Csin2x)

(D)Ajce2x4-xe2x(Bcos2x+Csin2x)

(5)設(shè)/(x)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在任意的(x,y),都有曳工3>0,如3則

oxdy

(A)/(O,O)>/(1,1)

(B)/(O,O)</(1,1)

(C)/(O,D>/(1,O)

(D)/(O,1)</(1,O)

(6)甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10(單位:m)處,圖中，實(shí)線表達(dá)甲的速度

曲線□=%(/)(單位:m/s)虛線表達(dá)乙的速度曲線u=三塊陰影部分面積的數(shù)值依

次為10,20,3,計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為*)(單位:S),則

(A)Z0=10(B)15<?O<20(C)r()=25(D)?o>25

000

(7)設(shè)A為三階矩陣，「=(%,%，%)為可逆矩陣，使得尸7尸=o10則

002

A(at,a2,a3)=

(A)ax+a2

(B)%+2%

(C)a2+%

(D)。]+2%

'20O-'21O-■]0o'

(8)已知矩陣4=021,B=020,c=020,則

001001000

(A)A與C相同，B與C相同

(B)A與C相同，B與C不相同

(C)A與C不相同，B與C相同

(D)A與C不相同，B與C不相同

二、填空題：9~14題，每題4分，共24分.

(9)曲線y=x(1+arcsin2x)的斜漸近線方程為

(10)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程I"='+e’擬定，則_________

［y=sintdx'…

(12)設(shè)函數(shù)/'(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

df(x,y)=yeydx+x(1+y)f(0,0)=0,則f(x,y)=

(13)

’41_2、f

(14)設(shè)矩陣/12a的一種特征向量為1,則@=

31

2/

三、解答題：15~23小題,共94分。解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié).

(15)(本題滿分10分)

求lim

(16)(本題滿分10分)

2階連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)，y=/■(e，,cosx),求電d2y

設(shè)函數(shù)f(“,/)具有

\7Axo'dV

>=o*=0

(17)(本題滿分10分)

求lim^"^kn(1+k-\

18氣nIn)

(18)(本題滿分10分)

已知函數(shù)y(x)由方程二+y3-+3y-2=0擬定，求y(x)的極值

(19)(本題滿分10分)

/(x)在［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，/⑴>0,1呼號(hào)<0,證明

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(0,1)至少存在一種根

(2)方程/(x)+/"(x)+[/'(x)『=O在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的實(shí)根

(20)(本題滿分11分)

己知平面區(qū)域〃={(x,y],2+/<2葉，計(jì)算二重積分JJ(x+I)?dxdy

D

(21)(本題滿分11分)

3

設(shè)y(x)是區(qū)間(0,萬)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且y(l)=0,點(diǎn)尸是曲線L:y=y(x)上的任意一

點(diǎn)，L在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,匕,)，法線與x軸相交于點(diǎn)(X.,0),若X°=yp

,求L上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足的方程。

(22)(本題滿分11分)

三階行列式A=(',%,%)有3個(gè)不同的特征值，且%=4+2a2