北理工高等代數(shù)課件大綱contents目錄引言線性方程組與矩陣向量空間與線性變換特征值與特征向量多項(xiàng)式與行列式線性變換的矩陣表示01引言123高等代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，主要研究線性代數(shù)、多項(xiàng)式代數(shù)、抽象代數(shù)等領(lǐng)域的基本概念、性質(zhì)和定理。高等代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。學(xué)習(xí)高等代數(shù)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維和解決問(wèn)題的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高等代數(shù)的定義與重要性高等代數(shù)起源于19世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和需要而逐步形成和完善。線性代數(shù)的研究可以追溯到17世紀(jì)，而抽象代數(shù)的研究則是在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初開(kāi)始興起。20世紀(jì)以來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，高等代數(shù)的研究和應(yīng)用也得到了更廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。010203高等代數(shù)的發(fā)展歷程02線性方程組與矩陣線性方程組的定義線性方程組是由一組線性方程組成的數(shù)學(xué)模型，其中包含未知數(shù)和已知數(shù)。線性方程組的解法通過(guò)消元法、代入法、高斯消元法等解線性方程組，得到未知數(shù)的值。解的存在性討論線性方程組解的存在性，如唯一解、無(wú)窮多解等。線性方程組的解法矩陣是一個(gè)由數(shù)字組成的矩形陣列，表示為二維數(shù)組。矩陣的定義矩陣中的每個(gè)元素都有行標(biāo)和列標(biāo)，表示其在矩陣中的位置。矩陣的元素矩陣的行數(shù)和列數(shù)稱為矩陣的維度。矩陣的維度矩陣的基本概念矩陣的加法一個(gè)數(shù)與一個(gè)矩陣相乘，得到一個(gè)新的矩陣。矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的性質(zhì)01020403討論矩陣的一些基本性質(zhì)，如轉(zhuǎn)置、逆、行列式等。相同維度的兩個(gè)矩陣可以相加，得到一個(gè)新的矩陣。兩個(gè)矩陣相乘，需要滿足一定的條件，得到一個(gè)新的矩陣。矩陣的運(yùn)算與性質(zhì)03向量空間與線性變換向量空間的基本概念01向量空間是一個(gè)由向量構(gòu)成的集合，滿足加法、數(shù)乘等封閉性、結(jié)合律、分配律等基本性質(zhì)。02向量空間中的向量可以用坐標(biāo)表示，坐標(biāo)系的選擇對(duì)于向量的表示具有重要意義。向量空間中的零向量和負(fù)向量的定義和性質(zhì)。03線性變換的定義與性質(zhì)線性變換是向量空間中的一種變換，它將向量空間中的向量映射到另一個(gè)向量空間中的向量，滿足加法、數(shù)乘等線性性質(zhì)。線性變換可以用矩陣表示，矩陣的行和列對(duì)應(yīng)于輸入和輸出空間的基向量。線性變換的性質(zhì)包括：線性變換的加法、數(shù)乘、復(fù)合、逆變換等。向量空間的子空間是指向量空間中的一部分，仍然滿足向量空間的性質(zhì)。基底是向量空間中一組線性無(wú)關(guān)的向量，可以用來(lái)表示向量空間中的任意向量。向量空間的子空間與基底子空間的性質(zhì)包括：子空間的加法、數(shù)乘封閉性、子空間的基底等。基底的選擇對(duì)于向量的表示和線性變換的矩陣表示具有重要意義。04特征值與特征向量特征值與特征向量的定義與性質(zhì)特征值對(duì)于給定的矩陣A，如果存在一個(gè)非零向量x和常數(shù)λ，使得Ax=λx，則稱λ為矩陣A的特征值，x為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征向量的性質(zhì)特征向量與特征值一一對(duì)應(yīng)，不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)，矩陣乘以特征向量等于特征值乘以特征向量。相似變換法通過(guò)相似變換將矩陣A變換為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素即為特征值，對(duì)應(yīng)的非零列向量即為特征向量。冪法通過(guò)反復(fù)計(jì)算矩陣的冪來(lái)逼近特征向量，當(dāng)矩陣A的冪趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的列向量即為特征向量。定義法根據(jù)特征值的定義，通過(guò)解方程組Ax=λx來(lái)計(jì)算特征值和特征向量。特征值與特征向量的計(jì)算方法在線性變換中的應(yīng)用通過(guò)求出線性變換矩陣的特征值和特征向量，可以了解線性變換的性質(zhì)和行為。在矩陣分解中的應(yīng)用通過(guò)求出矩陣的特征值和特征向量，可以將矩陣分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的部分，便于分析和計(jì)算。在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用在解決某些數(shù)值問(wèn)題時(shí)，需要求解方程組的根或者求解某些函數(shù)的極值，通過(guò)利用特征值和特征向量的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。特征值與特征向量的應(yīng)用05多項(xiàng)式與行列式VS由數(shù)字、未知數(shù)和四則運(yùn)算符號(hào)通過(guò)有限次運(yùn)算得到的代數(shù)式稱為多項(xiàng)式。性質(zhì)多項(xiàng)式是整式的一種，具有整式的所有性質(zhì)。此外，多項(xiàng)式還有次數(shù)、根等特性。定義多項(xiàng)式的定義與性質(zhì)行列式是n個(gè)數(shù)字按照一定排列和順序構(gòu)成的代數(shù)式，通常用大寫字母A或D表示。定義行列式具有一系列獨(dú)特的性質(zhì)，如轉(zhuǎn)置、乘法、除法等。行列式的值是一個(gè)標(biāo)量，可以用來(lái)解決線性方程組等問(wèn)題。性質(zhì)行列式的定義與性質(zhì)計(jì)算方法行列式的計(jì)算方法包括展開(kāi)法、遞推法、歸納法等。其中，展開(kāi)法是最基本的方法，通過(guò)將行列式按某一行或某一列展開(kāi)，將其化為更簡(jiǎn)單的形式。應(yīng)用行列式在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用，如解線性方程組、求矩陣的逆和行列式、判斷二次型是否正定等。此外，行列式在計(jì)算機(jī)科學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用價(jià)值。行列式的計(jì)算方法與應(yīng)用06線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示方法線性變換的矩陣表示具有一些重要的性質(zhì)，如線性組合性質(zhì)、數(shù)乘性質(zhì)、轉(zhuǎn)置性質(zhì)等。矩陣表示法的性質(zhì)線性變換是向量空間中的一種運(yùn)算，它將向量空間中的元素進(jìn)行線性變換。矩陣表示法是將線性變換用矩陣形式表示的一種方法。定義給定一個(gè)線性變換，選取一組基向量，將線性變換作用在這組基向量上，得到新的向量組，用矩陣表示這個(gè)新的向量組，即為該線性變換的矩陣表示。矩陣表示法的步驟矩陣加法兩個(gè)線性變換的矩陣表示可以通過(guò)矩陣加法進(jìn)行運(yùn)算。標(biāo)量乘法標(biāo)量與線性變換的矩陣表示相乘，相當(dāng)于將線性變換放大或縮小。矩陣乘法兩個(gè)線性變換的矩陣表示可以通過(guò)矩陣乘法進(jìn)行運(yùn)算，滿足結(jié)合律和分配律。逆矩陣對(duì)于可逆的線性變換，存在逆矩陣，使得逆矩陣與原矩陣相乘為單位矩陣。線性變換的矩陣運(yùn)算規(guī)則線性變換的矩陣表示的應(yīng)用通過(guò)將線性方程組的增廣矩陣轉(zhuǎn)換為系數(shù)矩陣和常數(shù)列矩陣，利用線性變換的矩陣表示可以方便地求解線性方程組。特征值和特征向量通過(guò)將特征值和特征向量的定義轉(zhuǎn)換為矩陣形式，利