2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若α>b,則下列各式一定成立的是（）

A.a2>b2B.ac2>bc2C.α3>b3D.?<Λ

2.若角。滿足CoSO<0,tan。<0,則角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)镽的是（）

A.y=2xB.y=（%—I）3C.y=x+?D.y=?lnx?

4,設(shè)集合4={a?a=ATr+aA∈Z},集合B={a?a=2kπ±今k∈Z）,貝IJa與B的關(guān)系為（）

A.A=BB.C.A^BD.ACyB=0

5.聲強(qiáng)級乙式單位：dB）由公式Ll=IO仞（6第）給出，其中/為聲強(qiáng)（單位：勿/小2）.若平時(shí)常

人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為10-6w∕7n2,則聲強(qiáng)級為（）

A.6dBB.12dBC.60dBD.60OdB

6.設(shè)α>0,b>0,則"α+b≤2"是''αb≤l”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/Q）=W，有如下四個結(jié)論：

①函數(shù)/（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；

②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?,1）；

③函數(shù)f（%）的圖象是中心對稱圖形；

④方程f（x）=-X+1有且只有一個實(shí)根.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

8.已知角α為第一象限角，且siW>cos5,則S嗚的取值范圍是（）

A.（-y,0）B.（-l,-y）C.（0,f）D.（芋,1）

9.某廠以％千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每小時(shí)可獲得利

潤100(3x+l-3元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度是

()

A.2千克/小時(shí)B.3千克/小時(shí)C.4千克/小時(shí)D.6千克/小時(shí)

10.定義在R上的偶函數(shù)y=/(x)滿足f(x-1)=一/(x),且在［0,1］上單調(diào)遞增，α=/(?),

h=∕(ln√2),c=/(2022),則α,b,C的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

11.已知集合/={x∣—2<%<0},集合B={x∣0<X≤1},則AUB—.

12.已知角α∈(%前)，若Sin(Tr+α)=；,則α=；SinG+a)=.

13.設(shè)zn>l,n>1,且l0g2m?l0g2幾=1，則log2^幾的最小值為.

14.設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?,如果VX∈/,都有一％∈/,旦/(一%)=/Q),已知函數(shù)/(%)的

最大值為2,則/(%)可以是.

2x

15.已知下列五個函數(shù)：y=x,y=；，y=xfy=lnχfy=e,從中選出兩個函數(shù)分別

記為f(x)和g(x),若/(無)=/(X)+g(x)的圖象如圖所示，則F(X)=.

16.已知函數(shù)f(x)=GnP"1①給出以下四個結(jié)論:

(∣x∣,amp;X≤a.

①存在實(shí)數(shù)α,函數(shù)/Q)無最小值；

②對任意實(shí)數(shù)α,函數(shù)〃x)都有零點(diǎn)；

③當(dāng)ɑ≥0時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④對任意α∈(0,1),都存在實(shí)數(shù)m,使方程AX)=Hl有3個不同的實(shí)根.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(本大題共5小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題13.0分)

已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)PC-,/).

(I)求Sina+CoSa和sin2α的值;

(II)求tan(2a-》的值.

18.(本小題13.0分)

己知函數(shù)/(x)=2ax2—ax—1,a€R.

(I)當(dāng)α=!?時(shí),解不等式f(x)<0；

(∏)若命題"Vx∈R,不等式f(x)<。恒成立”是假命題，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍.

19.(本小題14.0分)

已知函數(shù)/(x)=Icos1-X+√3sin2x+α,x∈[0,%從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個

作為已知.

(1)求。的值；

(Il)求/Q)的最小值，以及取得最小值時(shí)X的值.

條件①：/(x)的最大值為6；

條件②：/(x)的零點(diǎn)為宏

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分.

20.(本小題15.0分)

已知函數(shù)f(x)=i051(2x+l)-mx,R.

2me

(I)當(dāng)Tn=O時(shí)，解不等式f(x)>-I；

(∏)若函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，求小的值；

(Iil)當(dāng)m=—1時(shí)，若函數(shù)y=∕(x)的圖象與直線y=b有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

21.(本小題15.0分)

設(shè)全集U={l,2,???,n}(n∈N*),集合4是U的真子集.設(shè)正整數(shù)t≤n,若集合4滿足如下三個

性質(zhì)，貝U稱4為U的R(t)子集：

①t∈A↑

(2)?a∈A,?fo∈CuA,若αbeU,P!∣Jαh∈A；

(3)?α∈A,VbecU4，若a+bCU，則α+bCA.

(1)當(dāng)《=6時(shí)，判斷4={1,3,6}是否為U的R(3)子集，說明理由;

(∏)當(dāng)n≥7時(shí)，若4為U的R(7)子集，求證：2C4；

(In)當(dāng)n=23時(shí)，若4為U的R(7)子集，求集合A.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于4,當(dāng)α=O,b=—2時(shí)，a2<∕j2,A錯誤；

對于B,當(dāng)C=O時(shí)，etc?=心,8錯誤；

對于C,函數(shù)y=/是幕函數(shù)，在R上為增函數(shù)，若a>b,必有。3>川，C正確：

對于當(dāng)α=-1,b=-2時(shí)，+>去,。錯誤；

故選：C.

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案.

本題考查不等式的性質(zhì)，注意不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由cos8<0,可知。為第二、第三象限角或終邊在X軸負(fù)半軸上，

由tan0<0,可知。為第二、第四象限角,

所以cos。<0,tanθ<0時(shí)，角0是第二象限角*

故選：B.

由已知分別求得。的位置，取交集得答案.

本題考查象限角與軸線角，考查三角函數(shù)值的符號，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：對于4,函數(shù)丫=2丫是定義域R上的增函數(shù)，其值域是(0,+8),不滿足題意；

對于8,函數(shù)y=(x-1)3是定義域R上的增函數(shù)，且值域是R,滿足題意；

對于C,函數(shù)y=x+;是對勾函數(shù)，不是定義域(-8,0)U(O,+8)上的增函數(shù)，不滿足題意;

對于。，函數(shù)y=I"制不是定義域(0,+8)上的增函數(shù)，不滿足題意.

故選:B.

根據(jù)題意判斷選項(xiàng)中的函數(shù)是否是定義域上的增函數(shù)，且值域是R即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和值域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：當(dāng)對于集合4,當(dāng)Zc取奇數(shù)時(shí)，令k=2n-l,a=2nπ—pn∈Z,

當(dāng)k取偶數(shù)時(shí)，令k=2n,a=2kπ+neZ,、

則4=B,

故選：A.

對于集合力，可分A為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，從而可解.

本題集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：聲強(qiáng)級LI(單位：dB)由公式Ll=IOlg(消z)給出，其中/為聲強(qiáng)(單位：W∕m2),

若平時(shí)常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為勿/根則聲強(qiáng)級為6，

Io-62,IOXlg(^L12)=10×IglO=60(dB)

故選：C.

由題意，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得結(jié)果.

本題主要考查新定義，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)棣?gt;0,b>0,且α+b≤2,所以2≥a+b≥2√αh.所以項(xiàng)≤1,即ab≤1,

充分性成立；

當(dāng)a=10,b=0.1時(shí)，ab≤1,所以a+b≤2不成立，必要性不成立；

所以a>0,b>0,"a+b≤2"是"ab≤l”的充分而不必要條件.

故選：A.

利用基本不等式判斷充分性成立，舉例說明必要性不成立，即可得出結(jié)論.

本題考查了充分必要條件的判斷問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：f(%)=盤的定義域?yàn)镽J(X)=W^=I—島，

所以f(x)在R上遞增，①錯誤；

1oO?

由于3'+1>1,0<pπ<1,0<pπ<2,-2<-pπ<0,-1<1-舊<1'

所以〃X)的值域?yàn)?一1,1)，②錯誤；

由于f(—x)=∣?=京=一/(%)，

所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，③正確；

O?

由/(%)=T+1得1-廣五=T+1*-尹宜=0,

構(gòu)造函數(shù)g(%)=%在R上單調(diào)遞增，

221

g(°)=0-τπ=τ<°MD=1-w=5>°,

所以g(x)在R上存在唯一零點(diǎn)，即方程f(x)=-x+1有且只有一個實(shí)根，④正確.

所以正確結(jié)論的序號是③④.

故選：D.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域、對稱性以及方程的根等知識確定正確答案.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、值域、對稱性以及函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：???角α為第一象限角，???2kτr<α<1+2∕OT,keZ,

則∕ot<*+∕c7Γ,fc∈Z,又S嗚>cos],

???s嗚的取值范圍是(一乎,0),

故選：A.

由已知可得罪J范圍，結(jié)合S嗚>COS最可得S嗚的取值范圍.

本題考查了三角函數(shù)值的符號和三角函數(shù)線，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：由題意得，生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為：

/(x)=哼?100(3x+1-|)=10000(3+?-?)=10000[-2φ2+?+3],1≤x≤10,

令t=；三≤t≤1.則f(t)=10000(-2t2+t+3)=-20000[(t-i)2-^∣],

故當(dāng)t=*時(shí)，f(t)最大,此時(shí)X=4.

故選：C.

生產(chǎn)IOO千克該產(chǎn)品獲得的利潤為/(X)=產(chǎn)?100(3x+l-令t=%由換元法求二次函數(shù)最

大值即可.

本題考查了二次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：?∕(x-1)=-/(乃得f(x-2)=-f(x-1)=f(x),?/(x)的周期為2,

又/㈤為偶函數(shù)，則α=/(?)=/(1012-?)=/(-?)=∕φ,

C=/(2022)=/(O),?.?0<ln√2<ln√^=?./(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，???c<b<α.

故選：A.

由/(κ一D=-F(X)得2)=f(x),則f(x)的周期為2,結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可化簡a,b,

c,最后根據(jù)單調(diào)性比較大小.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】W-2<x≤1}

【解析】解：已知集合A={x∣-2<X<0},集合B={x∣0≤x≤1),

則AUB={x∣-2<X≤1},

故答案為：{x∣-2<x≤l}.

由并集及其運(yùn)算求解即可.

本題考查了并集及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】?_坐

o2

【解析】解：角α∈(TT[TT),若sin(ττ+α)=-S譏α=

.1.π7π

?sma=-LO?ɑO=π+7=v?

故SinG+α)=cosa=eos?=-cos=一字

故答案為：?;—當(dāng)

o2

由題意，利用誘導(dǎo)公式，求得結(jié)果.

本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

【解析】解：m>1,n>1,.?.log2m>0,log2n>0,

log2m-log2n=1,貝InOg2∏m=log2m+log2n≥2y∣log2m-log2∏=2>

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，等號成立，

故log2∏ιn的最小值為2,

故答案為：2.

由題意，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式，求得log2∏m的最小值.

本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-X2+2

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(χ)的定義域?yàn)?,如果VXe/,都有一xe∕,且八一工)=/(X),該函數(shù)為

偶函數(shù)，

又已知函數(shù)/"(X)的最大值為2,故可取f(x)=-X2+2.

故答案為：一產(chǎn)+2.

可知該函數(shù)是偶函數(shù)，且最大值為2,據(jù)此舉例即可.

本題考查函數(shù)的奇偶性以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】-+ex

X

【解析】解：由圖象可知，函數(shù)F(X)的定義域?yàn)?一8,0)U(O,+8),可排除函數(shù)y="尤；

又因?yàn)镕(X)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是奇函數(shù)，排除F(X)=X+；；

A

F(X)的圖象滿足F(I)=1+e>3,F(-l)=-1+?>-1,

所以F(X)=：+X∈(-∞,0)U(0,+∞).

故答案為：-+ex.

X

根據(jù)函數(shù)尸(X)的定義域?yàn)?-8,0)u(0,+∞),且FQ)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用F(I)和尸(一1)的

值判斷即可.

本題考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】②③

【解析】解：函數(shù)amP'x>a,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，

①當(dāng)a=0時(shí)，=amP'x>^,函數(shù)的圖象如圖所示:

U刈，amp;X≤0

對于①：無論α取何值，函數(shù)/(x)都有最小值，故①錯誤；

對于②：對任意實(shí)數(shù)α,根據(jù)函數(shù)的圖象函數(shù)f(x)都有零點(diǎn)，故②正確；

對于③：當(dāng)α≥0時(shí)，函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故③正確；

對于④：對任意ɑ6(0,1),如上圖②，都存在實(shí)數(shù)τn,使方程“x)=nι有2個不同的實(shí)根，故④錯

誤.

故答案為：②③.

首先對實(shí)數(shù)ɑ進(jìn)行分類①α=0,(2)a>0,③α<0,分別畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)一步利用函數(shù)的圖

象和性質(zhì)判斷①②③④的結(jié)論.

本題考查的知識要點(diǎn)：函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題和

易錯題.

17.【答案】解：(I);角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-∣t),

??OP?=1,???sina=±cosa=—|,

124

???sina+cosa=-,sin2a=2sinacosa=一五.

(∏)由(I)可得,tana==—^?tan2a=^tanc^=―=胃,

'/''cosa3l-tanza7

9

/r兀、tan2a-l17

???tan(2α-Q==乳?

【解析】(I)由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義求得SiTIa和CoSa的值，可得要求式子的值.

(口)由(1)可得1所0的值，利用二倍角的正切公式求得tm2a的值，可得tan(2α—1的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角公式、兩角和差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式/(x)<0,即2χ2-χ-i<o,

因式分解為(2x+I)(X-1)<O,

解得一^<χ<1>

.?.不等式f(x)<O的解集為(-g,1).

(II)解法一：先解Vx∈R,不等式/(x)<0恒成立，

α=0時(shí)，f(x)<0化為一1<0,成立.

a≠0時(shí),Vx∈ft,不等式f(%)<0恒成立,

財(cái)？l<Lα∕n,解得一8<α<0,

14=αz+8α<0

綜上可得a6(―8,0].

???命題FeR,不等式/Q)<0恒成立"是假命題，

?,?aG(—8,—8]U(0?+8).

解法二：若命題FeR,不等式f(X)<0恒成立"是假命題，

則叼XeR,不等式f(χ)≥0成立”是真命題，

a=0時(shí)，f(x)≥0化為一1≥0,不成立，舍去.

aψ2,

0時(shí)，則｛2J=a-4×2a×(-1)≥0或｛:2+Qa≥0,

解得a>0,或a≤-8.

?,?aε(—∞,—8]U(0>+∞).

【解析】(I)當(dāng)a=1時(shí)，不等式AX)<0,BP2X2-X-1<0,因式分解為(2x+l)(x-1)<0,

進(jìn)而得出不等式/(x)<0的解集.

(II)解法一：先解VX∈R,不等式f(x)<。恒成立，對a分類討論：a=0時(shí)，f(x)<0化為一1<0,

成立.aH0時(shí),VxeR,不等式/(x)<0恒成立,產(chǎn)(/。/°,解得a范圍，根據(jù)命題"Vx∈R,

不等式f(x)<O恒成立”是假命題，即可得出a的范圍.

解法二：若命題“VxeR,不等式/(χ)<0恒成立"是假命題，可得eR,不等式F(X)≥0成

立”是真命題，對a分類討論，結(jié)合三個二次的關(guān)系即可得出a的范圍.

本題考查了三個二次的關(guān)系、不等式的解法、分類討論方法、簡易邏輯的應(yīng)用，考查了推理能力

與計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)∕(x)=2cos2x+y∕3sin2x÷α=1+cos2x+y∕3sin2x+α=2sin(2x+看)+

α+1,X∈[θ/?],2x÷∈,?],

若選條件①，2x+=?,%=,時(shí),有2+α+l=6,α=3,

若選條件②，則f(])=2sin(jι÷ξ)+α÷l=2×(-?)+α÷l=α=O;

(∏)若選條件①，由(1)得f(%)=2sin(2x+^)+4,

當(dāng)2%+3==,%=軻,/(%)取得最小值為-1+4=3.

OO

若選條件②,由⑴得f(x)=2sin(2x+*+l,

則當(dāng)2X+^=MX=卵寸，"X)取得最小值為-1+1=0?

【解析】(I)化簡/Xx)的解析式，根據(jù)條件①或②求得α的值.

(H)利用換元法求三角函數(shù)最值即可.

本題考查二倍角公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解:(I)當(dāng)m=O時(shí)，fG)=?ɑgi(2^+1)>T=?θgι2,

則2工+1<2,

解得X<0,

故不等式的解集為(-8,0);

(II)?.?函數(shù)/0)是偶函數(shù)，

???f(,-x)=/(X)，

?logι(2^x+1)+mx=logι(2x+1)—mx,

22

2x+ι

即2?HX=Iogi(2x+1)-logι(21*+1)=logι(2x+1)-Iogi-?=logι2x=-%,

222222

：?m=--1；

(IlI)當(dāng)Tn=—1時(shí)，/(%)=logι(2x÷1)+%=IogM2"+1)-logι2x=?ogi??=?og?(l+2^x)

2222Z2

由于y=1+2-在R上為減函數(shù)，

???f(x)在R上為增函數(shù)，

???1+2-x>1,

/(x)<O,

：函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=b有公共點(diǎn)，

：.b<0,

故b的范圍為(—8,0).

【解析】(I)根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即可求出不等式的解集；

(口)根據(jù)偶函數(shù)可知/(乃=/(-X),即可求出k的值；

(IIl)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性先判斷/■(久)為增函數(shù)，且求出函數(shù)f(x)值域，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定

方法，即可求出b的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)當(dāng)n=6時(shí)，U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},QuA=[2,4,5},

取α=l,b=2,貝!∣αb=26U,但ab=2C4,不滿足性質(zhì)②，

:?A={1,3,6}不是[7的/?(3)子集；

(Il)證明：當(dāng)Ji≥7時(shí)，力為U的R(7)子集，則7∈4

假設(shè)164設(shè)XeCU4即XC力，

取α=l,b=X,則αb=XeU,但αb=xC4,不滿足性質(zhì)②，

.?.1C4,1∈CuAi

假設(shè)2∈4

取α=2,b=l,α+b=36U,且α+b=3WA,則3∈Cf7A,

再取α=2,b=3,ab=6EU,則α6=6eA,

再取α=6>b=