2023-2024學年江蘇省常熟市高一下冊4月月考數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.sin20°cos100+sin70°sin10°=()

A1B1C--D—

2222

2.已知點2(1,3),5(4,-1),則與才后同方向的單位向量為()

(34、(43、(34、<43

A\5，-5jB\5，-5jC\?5jD\-5,5

3.已知a、h>c為單位向量，且滿足a+B=c,貝la與石的夾角為()

A.30°B,60°C.90°D,120°

4.已知向量a=(3sina,-2),B=(l,l-cosa),若"花=-2,則tan2a=()

A,上B.-AC/D.-l

131355

5.已知點N、O、尸滿足前iH■百+萬弓=6,|a4|=|(?g|=|oc|,~PAKB='PC=VC~PA,

則點N、。、P依次是△48。的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內心

6.已知A48C是腰長為2的等腰直角三角形，D點是斜邊48的中點，點尸在。上，且而=3而，

則方?而二()

A15D15「15…

A.---B.------C.------D.2

4168

7.在△/18C中，辟卜|元|=2,4=120°,點M滿足=2+2〃=1,則|而|

的最小值為()

V2?亞

A.----B.----C.2D.1

714

8.在A48C中，BO=20C,過點O的直線分別交直線48,4c于N兩個不同的點，若

AB=mAM,衣=〃彳獷，其中根，〃為實數，則機2+41的最小值為()

9

A.lB.4C.—D.5

2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列等式成立的是()

hI巧

A.sin2750-cos275°=——B.—sin15°H----cos15°=——

2222

C.sin75°cos750=—C.tan1650=2-VT

4

10.八四。是邊長為2的等邊三角形，己知向量Z,B滿足而=2￡,~AC=2a+b,則下列結論中

正確的是()

A.Z為單位向量B.3為單位向量C.aLbD.(4a+6)15C

ii.已知向量￡=加=(cose,sine)(owe?%),則下列命題正確的是()

A.若"1b,則tan，=

B.若3在￡上的投影向量為一則向量Z與右的夾角為生

63

C存在6,使得卜+6|=|a|+W

D.a.B的最大值為百

12.下列四個等式中正確的是()

A.tan250+tan35°+6tan25°tan35°=5

B.sin50°(l+V3tanl0°)=l

《已知函數/(%)=同11司+百上05司，則/(X)的最小正周期是〃

D.已知a,戶2sin(a+/?)=sinasin/?,則85(-+?+sin(a+p：的最小值為1

V2Jsinasin/>cosacos夕

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

〔osin48°-cos180sin30°

sin18°

14.已知向量1=(4,2),加=(2,1),若"+25與"-石的夾角是銳角，則實數X的取值范圍為

15.如圖，已知菱形ABCD的邊長為1,ADAB=60°,DE=EC,DF=2FB,則

16.已知4、B、。為ZU5C的三內角，且角4為銳角，若tan8=2tan4,貝ij_L-+_1_的最

tanBtanC

小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖在平行四邊形48CD中，Z3=4,AD=2,ZBAD=6Q°,七為CZ)的中點，H為線段BE

上靠近點￡的四等分點，記方=Z,AD=b.

(1)用a,石表亦AE,AH;

(2)求線段4H的長.

(1)求COS%的值；

(2)求sin(2x+2］的值.

I3

19.在直角坐標平面xQy內，已知向量a=(1,5),05=(7,1),麗=(1,2),尸為直線QW上的

一個動點.當數?而取得最小值時，求：

(1)向量ZTA的坐標；

(2)cos4尸8的值；

(3)求點/到直線尸3的距離.

20.已知向量a=(2cosx,sinx+?sin6)，b-(2sinx,-cosx+y/2cos6).

(l)若1〃否,求COS(X+6)；

⑵若6=7,函數/(x)=Z%(xe[0,句)，求/(X)的值域.

21.在平行四邊形Z8C。中，AD=\,E為CD中效.

(1)若/氏4。=60°,且滿足衣.瓦？=1,求43的長；

(2)若75.就+2瓦5.就=30.赤，求sin/，4cs的最大值.

22.如圖，扇形鋼板尸。。的半徑為1m,圓心角為60°.現要從中截取一塊四邊形鋼板48co.其中頂

點8在扇形POQ的弧P0上，A>C分別在半徑。尸，OQ±,且43J_O尸，BC1OQ.

（1）設N/08=e,試用6表示截取的四邊形鋼板Z6C0的面積S（6）,并指出6的取值范圍;

（2）求當。為何值時，截取的四邊形鋼板Z5CO的面積最大.

答案

1.B2.A2.A；3.D；4.C；5.A；6.C；7.A；8.C；

9.AC；10.AD；11.BCD；12.ABC；

6

132

13.—：i4.(i-vrf,2)u(2)i+vrf)；15.—；16.—.

123

17.(1)由已知得荏=赤+瓦=1萬+L覺=而+"1在

-a+b，2分

222

....3..3/3

AH=AB+BH=AB+-BE=AB+-(BC+CE]=a+-\h=-a+-b,

44484

所以方=—d+B，~AH=-a+-b;5分

284

(2)由(1)得4H=±a+2b，

84

:25953III—I49

-a+-h——a+—b~+2x—x—5-/?xcos60°=

84641684T

所以線段Z"的長為二.

10分

2

713乃

18.(1)因為xw

1021025

713萬

(2)因為xe

29T

25

oo2[7

cos2x=2cosx-1=----?—9分

25

八萬=sm2xcosC+cos2xs〃=3」+(」]x^=.^I

所以sin2x-\—12分

333252I25J250

19.(1)OP=tOM=(t,2t),.............................1分

PA^(l-t,5-2t),PB=(7T,"2t),

.,.蘇.麗=(17)(7-/)+(5-2。(1-2/)=5/一20吐12=5(/-2)2-8......3分

當方.而取得最小值時，t=2.：.(9P=(2,4)...................4分

(2)。4=(一1,1),1沙卜正，P8=(5,—3),=V34...................6分

PAPB一5一3

/.cosZAPB8分

72x734

(2)設點力到直線P5的距離為九則

〃=|E^sin(%-4P8)=V^sin4P8=0xJl-j*=嚕........12分

20.(1)3=(2cosx,sinx+逝sin⑨，=(2sinx,-cosx+V2cos^),a//h,

2cosx(-cosx+V2cos0)=2sinx(sinx+>/2sin0)......................2分

即2^2(cosxcos-sinxsin0^=2(sin?x+cos2x),

五

V2cos(x+0)=1/.COS+夕)=一?.6分

(2)因為。=2，A5=(2cosx,sinx+l),B=(2sinx,—COSX+l)

4

f(x)=G?B=4sinxcosx+(sinx+1)(-cosx+1)

=3sinxcosx+(sinx-cosx)+l..................................8分

35

=--(sinx-cosx)2+(sinx-cosx)+—,

設/二sinx-cosx,則f=V^sin[x—wJ，

因為re[-1,5/2]，..........................9分

設g(')=-gJ+'+g'..................................10分

8

由二次函數性質可得：/（X）的值域為03.........................................................12分

21.（1）因為E為。。中點，CE=-CD

2

因為四邊形/BCD為平行四邊形，所以就=/+彳萬，....................1分

因為赤=元+赤=而+!而=而-,刀，........................2分

22

因為4）=1,彳乙.3云=1,Z.BAD=60°

所以衣?麗=（刀+而）（瓦_（在）=1,

1.---------1------,>.21I--------I1I.12

-ABAD--AB'^AD=-L45cos60o--U5+1=B.........................................4分

2221?211

解得|六卜;，所以48=:,....................................................................5分

(2)H><;7B-7C+2B^BC=3C^-CS,

所以臣-岡.（-西+2?_。）.（_百=3瓦赤，

------------------2-----?------------2--------?---------

所以-CS?。+。一一2。?。+2c5=3CACB,

—*2,2,.

所以。+2CB=6CACB7分

所以+2=6|oi|-cos,

10分

_V7

所以sinNACB=4-cos2NACB<>11分

一3’

所以sin4cs的最大值為立

12分

3

22.（1）因為NZ08=。，扇形鋼板尸0。的圓心角為60°,

所以/80C=三-。，

3

因為扇形鋼板尸。。的半徑為Im,ABLOP,BC1OQ,

所以04=cos。，AB=sin。，

所以S-%8=~OA-AB二;sin°cos8=-^-sin20,..................2分

OC=cos2-e],BC=sw\--o\,

U)13)

=-OC-5C=-cosf