金科大聯考-2024屆高三12月質量檢測

數學

全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區城內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作

答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4={才％2—4x+3W0},B={y|y=2*+l},則A3=()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(1,3)D.[1,3)

2.已知i(z—1)=z+1,則2=()

A.—iB.1—iC.iD.1+i

3.已知a,b為單位向舉，若(a+2b)_L(3a->)，則cos(a,b)=()

3311

A.-B.一一C.-D.——

5555

什》皿\asinx

4.右函數=[廣—sinx為偶函數，則實數a=()

A.1B.0C.-1D.2

5.芻薨是《九章算術》中出現的一種幾何體，如圖所示，其底面A3CD為矩形，頂棱尸。和底面平行，書中

描述了芻薨的體積計算方法：求積術曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即

V=-(2AB+PQ)BCh(其中是芻薨的高，即頂棱PQ到底面ABCD的距離)，已知

AB=2BC=4,APAD和LQBC均為等邊三角形，若二面角P—AD—8和Q—3C—A的大小均為150°,

則該芻薨的體積為()

1

Q

A.巫B.36c.拽D,473

22

6,若tanJ+A=—3,tan￡=3,則可"，=()

I4)sin(df+J3)

734

A.一1B.—C.—D.一

555

7.設等比數列｛4｝的公比為％為〉0,設甲：q>l；乙：4+2〉4，則（)

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知雙曲線C:——三=1（6〉0）,點尸（2,0）,0（3,0）,若C上存在三個不同的點M滿足=2\MP\,

則。的離心率的取值范圍為（）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知圓G：（x+2）2+/=i,圓—。）2=9,則下列結論正確的是（）

A.若G和外離，貝1Ja〉2石或。<一26

B.若G和。2外切，則a=±2A/3

C.當a=0時，有且僅有一條直線與G和。2均相切

D.當a=2時，G和02內含

10.已知正實數滿足尤+4）=孫，則（）

A.xy<16B.x+y>9

C.4-工的最大值為0D.4、+4y的最小值為2"

x16

2

11.已知/(x)=log2x+x,g(x)=2*+x,若/(a)=g(“=2,貝!]()

A.ci=2'B.a+Z>=2C.a-Z?>1D.—<ab<2,\/2-2

12.在三棱錐A—ABC中，AAJ,平面ABC,AB，AC,"=AB=AC=3,尸為△ABC內的一個動點(他

括邊界)，AP與平面ABC所成的角為45°,則()

A.4P的最小值為逐B.AP的最大值為逐+后

C.有且僅有一個點P,使得APL5CD.所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積為土等

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設S"是公差不為0的等差數列｛風｝的前〃項和，若34=4，則邑出=.

&2023

14.已知函數/(%)=1口(改+1),且＞=2%為曲線y=/(x)的一條切線，則〃=.

22

15.設片,K是橢圓C：T+2r=l(a〉6〉0)的左、右焦點，。為坐標原點，/為C上一個動點，且

ab

\MF^+2MFl-FlO的取值范圍為［1,3］,則橢圓C的長軸長為.

16.已知函數/(x)=sin(0x+9)(0〉O,O＜9＜工］,花/(x)W二］,且/(0)+/(區］=0,則

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

ahc

17.(本小題滿分10分)記人鉆。的內角的對邊分別為a,A,c,面積為S,且5=——.

4

(1)求"5。的外接圓的半徑；

27r

(2)若人+c=2,且4=——,求BC邊上的高.

3

18.(本小題滿分12分)設5“為數列｛g｝的前〃項和，,+,+…+｝=2"—1.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

〃+2

(2)設勿=——，證明：4+勿+…+々＜4.

以一

19.(本小題滿分12分)已知函數/(%)=9"(%2一公一1),〃￡葭

3

⑴討論〃尤）的單調性；

（2）當時，設西,々分別為了（無）的極大值點、極小值點，求/（%）一/（%2）的取值范圍.

20.（木小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—A5CD中，AB//CD,AB1,BC,2AB=2BC=CD=PD=PC,

設石，尸,M分列為棱AB,PC,CD的中點.

（1）證明：訪〃平面K44；

（2）若PA=PM,求所與平面PCD所成角的正弦值.

21.（本小題滿分12分）已知函數/'（x）=x'nx—211?+依2—?R.

（1）證明：/（X）有唯一的極值點；

（2）若/（九）20,求a的取值范圍.

22.（本小題滿分12分）已知拋物線。：丫2=20小5〉0）,e為。的焦點，