專題03空間幾何（解答題10種考法）1．（2023·貴州·校聯考模擬預測）如圖，四棱錐中，，，，，與交于點，過點作平行于平面的平面.

(1)若平面分別交，于點，，求的周長；(2)當時，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)4(2).【解析】（1）由題意可知，四邊形是直角梯形，∴與相似，又，∴，，因為過點作平行于平面的面分別交，于點，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質定理得，，，所以與相似，相似比為，即，因為的周長為6，所以的周長為.

（2）∵平面平面，∴平面與平面的夾角與平面與平面的夾角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中點，因為為等邊三角形，∴，平面平面，平面，∴平面，以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，，，設平面的法向量，則，即，取，則，∵平面，∴是平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.2．（2023·江西九江·統考一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點（端點除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中點，連接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，為的中點，為的中點，可得，又，故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，設，則設平面的一個法向量為，，，所以，令，得，，即平面的一個法向量為可得，解得或(舍)即為的中點，易知，故線段的長為.3．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯考模擬預測）如圖所示，在多面體中，底面為直角梯形，，，側面為菱形，平面平面，M為棱的中點．

(1)若點N為的中點，求證：平面；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）證明：連接，，因為M，N分別為，的中點，所以為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點O，連接，因為側面為菱形，且，所以在中，，解得，所以'，即，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，過O作的垂線，交于H并延長，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，故，，，，，則，，，，，設平面的法向量為，則，即，取，可得，設平面的法向量為，，即，令，則，所以，則，故平面與平面夾角的余弦值為．

4．（2023·新疆·統考三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點C（C，在平面同側），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，為圓柱的母線(2)【解析】（1）存在，當為圓柱的母線時，．證明如下：連接BC，AC，，因為為圓柱的母線，所以平面ABC，又因為平面ABC，所以．因為AB為圓O的直徑，所以．又，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）以為原點，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，因為劣弧的長為，所以，，則，．設平面的法向量，則，令，解得，，所以．因為x軸垂直平面，所以平面的一個法向量．所以，又二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．5．（2023·河南·校聯考二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為，為線段上的動點.

(1)求證：平面；(2)設直線與平面所成的角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接，.在正六棱柱中，因為底面為正六邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，因為為線段上的動點，所以平面，所以平面.（2）取的中點為Q，連接，.因為底面邊長為1，所以，因為，所以，所以.易得，，，所以平面，所以，因為，所以平面，即為平面的一個法向量.連接，以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標系，則，，，，，所以，所以，，.設（），所以，則，因為，所以，所以的取值范圍是.6．（2023·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）如圖，在六面體中，四邊形是菱形，，平面，，為的中點，平面．

(1)求；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）四邊形是菱形，，又平面，平面，平面，同理可得：平面．，平面，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，四邊形是平行四邊形；連接交于點，連接交于點，連接，設，，則，延長交于點，連接，平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，則，為的中點，．，，即，解得：，.（2）由（1）知，兩兩垂直，故以為坐標原點，正方向分別為軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，，；設平面的法向量為，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.7．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側面底面，側面底面，點F是PB的中點，動點E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.(2)當點E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為側面底面，側面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故;同理側面底面，側面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故，又底面，故垂直于底面（2）由（1）知底面，底面，故，點F是PB的中點，且，故，；又平面，,故平面，平面，故，而平面，故平面，故即為二面角的平面角，即；而,以A為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，故，設平面的法向量為，則，即，令，則，即，設平面的法向量為，則，即，令，則，即，故，由原圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.8．（2023·河北衡水·河北衡水中學校考一模）如圖所示，四點共面，其中，，點在平面的同側，且平面，平面.(1)若直線平面，求證：平面；(2)若，，平面平面，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）平面，平面，，平面，平面，平面；，四點共面，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，四邊形為平行四邊形，，則，，，，，設平面的法向量，，令，解得：，，；平面軸，平面平面，平面軸，平面的一個法向量，，即銳二面角的余弦值為.9．（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）在三棱臺中，為中點，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在三棱臺中，為中點，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，，設平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.10．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知正四棱臺的體積為，其中.

(1)求側棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點P，使得？若存在請確定點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【解析】（1）依題意，在正四棱臺中，，所以上底面積，下底面積，設正四棱臺的高為，則.連接，則，所以，設側棱與底面所成的角為，則，由于線面角的取值范圍是，所以.（2）連接，設正四棱臺上下底面的中心分別為，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，，設線段上存在一點，滿足，，，則，，若，則，即，解得，舍去，所以在線段上不存在一點，使得.

11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學校考模擬預測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點為，在平面內過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）延長，設其交點為，連接，則為平面與平面的交線，取線段CD的中點M，連接KM，直線KM即為所求．證明如下：延長，設其交點為，連接，則為平面與平面的交線，因為，所以，又，所以，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，取的中點，連接，∵分別為的中點，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖.由已知可得，所以，設平面的法向量為，則得，取得，，平面的一個法向量.設直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.

12．（2023·河北滄州·?？既＃┤鐖D，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內，且.

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）如圖，連接，因為該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，

，所以，所以，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以.因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，，則，，，，，，

則，，，設平面的一個法向量為，則即令，則，記直線與平面所成的角為，則，解得（負值舍去），即.設平面的一個法向量為，，，則即令，則.所以.因此平面與平面所成角的余弦值為.13．（2022·貴州安順·統考模擬預測）如圖，在正方體中，E是棱上的點（點E與點C，不重合）．

(1)在圖中作出平面與平面ABCD的交線，并說明理由；(2)若正方體的棱長為1，平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為，求線段CE的長．【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）

如圖1，分別延長，交于點，連接，則即為所求交線.因為，平面，平面，所以，平面，平面.又平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.（2）

如圖2，以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，設，.則，，，，所以，，，.根據正方體的性質可知，平面，所以即為平面的一個法向量.設是平面的一個法向量，所以，，即，令，則，，所以，是平面的一個法向量.由已知可得，，即，即，整理可得，，解得或（舍去），所以，，即.14．（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預測）直三棱柱中，，為的中點，點在上，.

(1)證明：平面；(2)若二面角大小為，求以為頂點的四面體體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴平面，平面，∴.又，，平面，∴平面，平面，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面.（2）因為，為的中點，，所以，

∴為正三角形，如圖建立空間坐標系，由（1）易知平面的一個法向量，設，∵，，設平面的法向量為，則，即，取，由，解得或（舍去），∵，點到平面距離為，∴以為頂點的四面體體積為.15．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)，.【解析】（1）證明：在梯形中，，，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：取中點，連接，，，，，，，為二面角的平面角.，，，，.

（3）由（2）知：①當與重合時，；②當與重合時，過作，且使，連接，，則平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，；

③當與，都不重合時，令，，延長交的延長線于，連接，在平面與平面的交線上，在平面與平面的交線上，平面平面，過作交于，連接，由（1）知，，又，平面，，平面，平面，.又，平面ACH，，平面，，.在中，，從而在中，，，，.，.綜上所述，，.

16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的動點..

(1)證明：；(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，點為靠近的的四等分點【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因為，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，則

，，，，，，，，設，所以，，因為，所以，即.（2）設平面的法向量為，因為，，所以，令，則，平面的一個法向量為，設平面與平面DEF所成的二面角為，則，當時，取最小值為，此時取得最大值，所以，所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時點為靠近的的四等分點.17．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）已知是平行六面體中線段上一點，且．

(1)證明：平面；(2)已知四邊形是菱形，，并且為銳角，，求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）如圖：

記與交于點，延長交于，連接，∵四邊形是平行四邊形，，即是的中點，又是的中點，，又平面平面，所以平面．（2）如圖：過點作于，由于四邊形是菱形，，又由于是的中點，，由于菱形中平面平面，所以平面．以為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，不妨設菱形的邊長為2，則，，設，由于，由于，設平面的法向量為，則令，得，又平面的法向量為，．記二面角的大小，則，故二面角的正切值為．18．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）如圖，在三棱錐中，，點分別是棱的中點，平面.

(1)證明：平面平面；(2)過點作的平行線交的延長線于點，，點是線段上的動點，問：點在何處時，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由可知，又，故（三線合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面（2）

在平面中，過作，垂足為，不妨設，由于，則，以所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，設，則，，，.設平面的法向量，由，即，則是其中一條法向量；設平面的法向量，由，即，則是其中一條法向量.設平面與平面夾角為，則，當時，取到最大值，此時正弦值取到最小值為.19．（2023·內蒙古赤峰·校聯考三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，四邊形是圓的內接四邊形，為底面圓的直徑，在母線上，且，，．

(1)求證：平面平面；(2)設點為線段上動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)1【解析】（1）如圖，設交于點，連接，由已知可得，又，所以四邊形為菱形，所以，∵，，，∴，∴，∴，又，所以，因為為的中點，∴，．由余弦定理可得，∴，所以，即，又平面，，∴平面．又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，又，，平面，∴平面，又平面，∴．由（1）知，，平面，所以平面，∴，又點為的中點，所以．以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

則，，，，，，設，則，∴，，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以為平面的一個法向量．設直線與平面所成的角為，則，構建，則，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，∴時，取到最大值4．此時，取到最大值1.另解：由，知，當時，，此時平面，設直線與平面所成的角為，因為，當時，取到最大值1．20．（2023·浙江·校聯考三模）如圖，三棱臺中，，，為線段上靠近的三等分點.(1)線段上是否存在點，使得平面，若不存在，請說明理由；若存在，請求出的值；(2)若，，點到平面的距離為，且點在底面的射影落在內部，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)存在，(2)【解析】（1）取的靠近點的三等分點，連接、、，則，又因為，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，平面，因為，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，因此，線段上是否存在點，且當時，平面.（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，由，，，所以，，所以，，所以，，過點在平面內作，垂足為點，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，則，又因為，，、平面，所以，平面，因為點到平面的距離為，即，且，所以，，由圖可知，為銳角，所以，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，，設平面的法向量，則，取，則，，所以，，因為，因此，與平面所成角的正弦值為.21．（2023·湖北武漢·統考三模）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，側面是等邊三角形，平面平面，，．(1)證明：；(2)點Q在側棱上，，過B，Q兩點作平面，設平面與，分別交于點E，F，當直線時，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)0【解析】（1）證明：在中，設，因為，由余弦定理可知：，解得，所以，所以．又因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．由平面，所以.（2）連交于點M，連接，，設交于點H．在中，過P作的平行線交的延長線于N，由，有，則，所以點H為線段中點．在中，因為直線平面，平面平面，所以直線直線，且直線過點H，所以點E為線段中點．以點A為坐標原點，分別為軸，軸，過點A垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設．則，，,，．因為點E為線段中點，所以，設平面（平面）的法向量為，因為，，由，得，令，則．設平面（平面）的法向量為，因為，，由，得．令，則．所以，所以二面角的余弦值為0.22．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點是母線的中點，圓柱底面半徑.(1)求證：平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：連接，，則，且，，連接，，由圓柱的性質可得，所以四邊形是平行四邊形，，所以為中點，所以易知，平面，平面，所以平面；（2）設，則，，當且僅當時取等，如圖所示，建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，所以，令，，所以，取平面的法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值，所以平面與平面夾角的余弦值為.23．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知在多面體中，，，，，且平面平面.

(1)設點F為線段BC的中點，試證明平面；(2)若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取的中點，連接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵，分別為，的中點，∴，且.又，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形.∴，∴平面.（2）∵平面，平面，所以，又因為，所以三者兩兩互相垂直，∴以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴.∴.可取平面的法向量，設平面的法向量，，，則，取，則，.∴，∴，∴二面角的余弦值為.

24．（2022·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）如圖①所示，長方形中，，，點是邊靠近點的三等分點，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】(1)(2)平面和平面夾角余弦值的最小值為【解析】（1）解：取的中點，連接，因為，則，當平面平面時，點到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；（2）解：連接，因為，所以，所以為的平面角，即，過點作平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，過作于點，由題意得平面，設,,，所以，所以，所以，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，因為，則，令，可得：，設兩平面夾角為，則，令，所以，則所以，所以當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為.25．（2023·湖南永州·統考一模）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，且分別為的中點，在線段上，且．

(1)求證：平面；(2)當時，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）如圖所示：

取中點，連接，分別為的中點，且底面為矩形，所以，且，又因為平面，平面，平面，平面，所以平面，且平面，又因為，平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以由面面平行的性質可知平面（2）如圖所示：

注意到側面為正三角形以及為的中點，所以由等邊三角形三線合一得，又因為，且面，面，，所以面，又因為面，所以，又因為底面為矩形，所以，因為，面，面，所以面，因為面，所以，又，所以，又由三線合一，又，所以建立上圖所示的空間直角坐標系；因為，所以，又因為為的中點，，所以，所以，，，不妨設平面與平面的法向量分別為，所以有以及，即分別有以及，分別令，并解得，不妨設平面與平面的夾角為，所以；綜上所述：平面與平面的夾角的余弦值為.26．（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點，平面經過點與棱交于點．

(1)試用所學知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)靠近的三等分點處(2)【解析】（1）過作直線與平行，延長與交于點，連接與的交點即為點．因為底面是矩形，是的中點，所以，且．又，所以，因為是的中點，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點處．

（2）因為是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，．

設平面的法向量為，則即令，則，所以．．設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．27．（2021·天津紅橋·統考二模）如圖，在四棱錐中，平面，且，，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）過作于點，則，，由于平面，平面，所以，以為原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，因為為的中點，所以，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，因為，所以，又因為平面，所以平面（2）由（1）知，，平面的法