2024年高一數學寒假自學精品課（人教A版2019必修第二冊）預習03講平面向量的數乘運算（精講+精練）①平面向量數乘的定義及相關運算②平面向量的線性運算③平面向量共線的判定及應用一、向量的數乘（1）向量數乘的定義一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：①②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.（2）向量數乘的幾何意義對于：①從代數角度看，是實數，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對于長度來說，當時，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當時，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．（3）向量數乘的運算律實數與向量的積滿足下面的運算律：設、是實數，、是向量，則：①結合律：②第一分配律：③第二分配律：二、向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量,,以及任意實數,,,恒有.三、向量共線定理（1）內容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.（2）向量共線定理的注意問題：①定理的運用過程中要特別注意．特別地，若，實數仍存在，但不唯一．②定理的實質是向量相等，應從大小和方向兩個方面理解，借助于實數溝通了兩個向量與的關系．③定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法．要證三點共線或兩直線平行，任取兩點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數使向量相等即可．題型一：題型一：數乘運算的定義及其幾何意義策略方法②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.【題型精練】一、單選題1．已知平面內的兩個非零向量，滿足，則與（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反2．化簡為（

）A． B．C． D．3．已知，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C．且 D．以上說法都不對4．下列計算正確的個數是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．35．下列說法中正確的是（）A．與的方向不是相同就是相反 B．若共線，則C．若，則 D．若，則6．已知點在線段上，且，若向量，則（

）A．2 B． C． D．二、多選題7．若都是非零向量，且，則（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．8．如圖，設兩點把線段三等分，則下列向量表達式正確的是（

）A． B．C． D．9．[多選]向量，則下列說法正確的是（）A． B．向量方向相反C． D．三、填空題10．化簡：．11．若，則.12．已知，若記，則．題型二：題型二：平面向量的線性運算策略方法向量線性運算的基本方法(1)類比法:向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算.例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形在向量的數乘中同樣適用,但是在這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作向量的系數.(2)方程法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.【題型精練】一、單選題1．已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設，則等于（

）A． B．C． D．2．在中，，則（

）A． B． C． D．3．在梯形ABCD中，，，則（

）A．5 B．6 C．－5 D．－64．在梯形中，是中點，，設，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在四邊形ABCD中，，設，，則等于（

）A． B．C． D．二、多選題6．如圖，點是線段的三等分點，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．7．如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．設四邊形中，且，則這個四邊形是．9．如圖，在中，向量，且，則.10．若點M是所在平面內一點，且滿足：．則與的面積之比為．題型三：題型三：平面向量共線的判定及應用策略方法(1)證明或判斷三點共線的方法①一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數λ,使得AB→=λAC→(或BC→②利用結論:若A,B,C三點共線,O為直線外一點?存在實數x,y,使OA→=xOB→+y(2)利用向量共線求參數的方法已知向量共線求λ,常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解.若兩向量不共線,必有向量的系數為零,利用待定系數法建立方程,從而解方程求得λ的值.【題型精練】一、單選題1．設，是兩個不共線向量，若向量與向量共線，則的值等于（

）A． B． C． D．2．設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．3．設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則k的值為（

）A．－8 B．8 C．6 D．－6二、多選題4．下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線5．（多選）已知，則下列結論正確的是（

）A．A，B，C，D四點共線 B．C，B，D三點共線C． D．三、填空題6．設與是兩個不共線向量，且向量與共線，則.7．已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，則實數t的值為.四、解答題8．在平行四邊形中，是的中點，在對角線上，且，求證：共線9．判斷三點是否共線.(1)已知兩個