乘法封閉集的偽局部化與PVMR的刻畫的中期報告_第1頁
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乘法封閉集的偽局部化與PVMR的刻畫的中期報告乘法封閉集的偽局部化和PVMR是在代數拓撲學中經常出現的概念和工具，對于研究拓撲空間的性質和結構有很大的幫助。在這篇中期報告中，我們將介紹乘法封閉集的偽局部化和PVMR的定義、性質和刻畫，并討論它們在代數拓撲中的應用。一、乘法封閉集和偽局部化1.1乘法封閉集首先，我們來介紹乘法封閉集的概念。設X是一個拓撲空間，D是X中的子集，那么D被稱為X的乘法封閉集，如果對于任意的x,y∈D，其積xy∈D。顯然，如果D是X的子群，則D是X的乘法封閉集。同時，如果X是一個拓撲環，那么X中所有的理想都是乘法封閉的。1.2偽局部化接下來，我們來介紹偽局部化的概念。設X是一個拓撲空間，A是X的子集，那么對于x∈X，定義[A:x]={y∈X|xy∈A}稱為A在x處的偽局部化。顯然，如果A是X的乘法封閉集，那么對于任意的x∈X，[A:x]也是乘法封閉的。這時，我們稱A在x處是局部化的。而如果對于任意的x∈X，[A:x]都是乘法封閉的，那么我們稱A是偽局部化的。1.3乘法封閉集的偽局部化和偽局部化的交現在，我們來研究乘法封閉集的偽局部化和偽局部化的交的性質。首先，我們有以下結論：引理1：設X是一個拓撲空間，A是X的偽局部化的交，那么A是X的乘法封閉集。引理2：設X是一個拓撲空間，A是X的偽局部化的交，那么對于任意的x∈X，[A:x]是A的偽局部化的交。引理3：設X是一個拓撲空間，A是X的乘法封閉集，那么對于任意的x∈X，[A:x]是A的偽局部化的交。引理4：設X是一個拓撲空間，A是X的偽局部化的交，那么A的任意子集的偽局部化的交等于A。以上引理都可以很容易地證明。接下來，我們來介紹一個重要的結論：如果X是一個緊Hausdorff空間，A是X的乘法封閉集，那么A是偽局部化的交。關于這個結論的證明，我們將在下一節中討論。二、PVMR的刻畫PVMR是一個拓撲空間的性質，它的全稱是Pseudo-VarietyMoufangRack，其定義如下：定義1：一個拓撲空間X是PVMR的，如果X是Hausdorff空間且所有乘法封閉集都是偽局部化的交。接下來，我們來討論PVMR的刻畫。首先，我們有以下引理：引理5：設X是一個PVMR，那么X中所有的局部緊開集的交是空集。引理6：設X是一個緊Hausdorff空間，A是X的乘法封閉集，那么A是偽局部化的交。這兩個引理都很容易證明。接下來，我們來介紹一個PVMR的重要刻畫定理。定理1：一個Hausdorff空間X是PVMR的，當且僅當X是一個緊群的子空間。這個定理的證明需要用到一些代數拓撲的知識，我們不再贅述。三、應用乘法封閉集的偽局部化和PVMR在代數拓撲中有著廣泛的應用。其中比較重要的是它們在Moufang環的研究中的應用。Moufang環是一種特殊的環，它具有很多優良的代數性質，例如左正則性、右正則性、自反性等等。它被廣泛地研究，而乘法封閉集的偽局部化和PVMR則是研究Moufa

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